1.「2026 海南万宁期末」【阅读材料】小明同学发现一个规律:两个共顶点且顶角相等的等腰三角形,底角顶点连起来,在相对位置变化的同时,始终存在一对全等三角形,小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”.
【材料理解】
(1)如图1,△ABC与△ADE都是等腰三角形,AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,则有△ABD≌;线段BD和CE的数量关系是.
【深入研究】
(2)如图2,△ABC与△ADE都是等腰三角形,AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE=90°,EC与BD交于点P.
①请问△ABD与△ACE是全等三角形吗?如果是全等三角形,请说明理由.
②请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系,并说明理由.

(1)△ACE;BD=CE.
(2)①△ABD与△ACE是全等三角形.理由如下:
∵ ∠BAC = ∠DAE = 90°,
∴ ∠BAC + ∠BAE = ∠DAE + ∠BAE,即∠CAE = ∠BAD,
在△ABD 和△ACE 中,
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE(SAS).
②BD=CE,BD⊥CE.理由如下:
设AB,CE相交于点O(图略),
∵ △ABD≌△ACE,
∴ BD=CE,∠ABD=∠ACE,
∵ ∠BPC + ∠ABD + ∠BOP = 180° = ∠BAC + ∠ACE + ∠AOC,∠BOP=∠AOC,
∴ ∠BPC=∠BAC=90°,
∴ BD⊥CE.

2.「2026江苏苏州期中节选」【基础回顾】
(1)如图1,在等腰$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,过点$C$作直线$DE$,$AD⊥ DE$于点$D$,$BE⊥ DE$于点$E$,求线段$AD$,$BE$与$DE$之间满足的数量关系.
【变式探究】
(2)①如图2,在四边形$ABCD$中,$AC=BC$,$∠ ACB=∠ ADC=90°$,$CD=8$,则$△ BCD$的面积为.
②如图3,在$Rt△ AOB$中,$∠ AOB=90°$.分别以$BA$和$OB$为直角边作等腰$Rt△ ABD$和等腰$Rt△ OBC$,连接$DC$交$OB$的延长线于点$E$.判断$OA$与$BE$的数量关系并证明.

模型3 半角模型

(1)
∵ AD⊥DE,BE⊥DE,
∴ ∠D=∠E=90°,
∴ ∠ACD + ∠CAD = 90°,
∵ ∠ACB = 90°,
∴ ∠ACD + ∠BCE=90°,
∴ ∠CAD=∠BCE,
在△CAD 和△BCE 中,
$\begin{cases} ∠D=∠E, \\ ∠CAD=∠BCE, \\ AC=BC, \end{cases}$
∴ △CAD≌△BCE(AAS),
∴ CD=BE,AD=CE,
∵ DE=CD+CE,
∴ DE=BE+AD.
(2)①32.
详解:过点B作BH⊥DC交DC的延长线于点H(图略),易得△BHC≌△CDA,
∴ BH=CD=8,
∴ $S_{△BCD}=\frac{1}{2}CD·BH=\frac{1}{2}×8×8=32$.
②OA=2BE.
证明:如图,过点D作DT⊥OB于点T,连接CT,
同(1)可得△DTB≌△BOA(AAS),
∴ OA=BT,DT=OB=BC,
∵ ∠OBC=90°,∠DTE=90°,
∴ ∠CBE=∠DTE,
又
∵ ∠CEB=∠DET,
∴ △CEB≌△DET(AAS),
∴ BE=TE,
∴ OA=2BE.