1.如图,在$△ ABC$中,$AB＞AC$,AD是$∠ BAC$的平分线,P为AD上任意一点,求证:$AB-AC＞PB-PC$.

如图,在AB上截取AE,使AE=AC,连接PE,
∵ AD是∠BAC的平分线,
∴ ∠1=∠2,
在△AEP和△ACP中,$\begin{cases} AE=AC, \\ ∠1=∠2, \\ AP=AP, \end{cases}$
∴ △AEP≌△ACP(SAS),
∴ PE=PC,
在△PBE中,根据三角形三边关系可知BE＞PB-PE,
∴ AB-AC＞PB-PC.

2. 学科特色多解法 如图，$AB// CD$，$BE$平分$∠ ABC$，$CE$平分$∠ BCD$，点$E$在$AD$上，求证：$BC=AB+CD$.

【证法一】截长法:如图,在BC上截取BF,使BF=AB,连接EF.
∵ BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,
∴ ∠ABE=∠FBE,∠FCE=∠DCE.
在△ABE和△FBE中,
$\begin{cases} AB=FB, \\ ∠ABE=∠FBE, \\ BE=BE, \end{cases}$
∴ △ABE≌△FBE(SAS),
∴ ∠A=∠BFE.
∵ AB//CD,
∴ ∠A+∠D=180°,
∴ ∠BFE+∠D=180°.
∵ ∠BFE+∠CFE=180°,
∴ ∠CFE=∠D.
在△FCE和△DCE中,$\begin{cases} ∠CFE=∠D, \\ ∠FCE=∠DCE, \\ CE=CE, \end{cases}$
∴ △FCE≌△DCE(AAS),
∴ CF=CD,
∴ BC=BF+CF=AB+CD.
【证法二】补短法:如图,延长CD至点F,使CF=BC,连接EF.
∵ CE平分∠BCD,
∴ ∠BCE=∠FCE.
在△BCE和△FCE中,
$\begin{cases} BC=FC, \\ ∠BCE=∠FCE, \\ CE=CE, \end{cases}$
∴ △BCE≌△FCE(SAS),
∴ BE=FE,∠CBE=∠F.
∵ BE平分∠ABC,
∴ ∠ABE=∠CBE,
∴ ∠ABE=∠F.
∵ AB//CD,
∴ ∠A=∠EDF.
在△ABE和△DFE中,$\begin{cases} ∠A=∠EDF, \\ ∠ABE=∠F, \\ BE=FE, \end{cases}$
∴ △ABE≌△DFE(AAS),
∴ AB=DF,
∴ BC=CF=DF+CD=AB+CD.

3.「2026江苏徐州三十六中月考」【探究与发现】如图1，AD是△ABC的中线，且AB＞AC，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，可证得△ADC≌△EDB，其中判定两个三角形全等的依据为.
A.SSS
B.SAS
C.AAS
D.ASA
【变式与应用】如图2，EP是△DEF的中线，若EF=8，DE=6，则EP的取值范围是.
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中.
【问题拓展】如图3，OA=OB，OC=OD，∠AOB+∠COD=180°，连接AC，BD，E是AC的中点，连接OE，试证明：BD=2OE.

【探究与发现】B.
【变式与应用】1＜EP＜7.
详解:如图,延长EP至点H,使HP=EP,连接FH,
∴ EH=2EP,
∵ EP是△DEF的中线,
∴ PF=PD,
又
∵ ∠FPH=∠DPE,
∴ △FPH≌△DPE(SAS),
∴ FH=DE=6,
在△EFH中,由三角形三边关系得EF-HF＜EH＜EF+HF,
∴ 2＜2EP＜14,
∴ 1＜EP＜7.
【问题拓展】证明:如图,延长OE至点M,使EM=OE,连接CM,则MO=2OE,
同【变式与应用】可得△CEM≌△AEO(SAS),
∴ CM=AO=OB,∠MCE=∠OAE,
∴ CM//OA,
∴ ∠MCO+∠AOC=180°,
∵ ∠AOB+∠COD=180°,
∴ ∠AOC+∠BOD=180°,
∴ ∠MCO=∠BOD,
在△MCO和△BOD中,$\begin{cases} CM=OB, \\ ∠MCO=∠BOD, \\ CO=OD, \end{cases}$
∴ △MCO≌△BOD(SAS),
∴ MO=BD,
∵ MO=2OE,
∴ BD=2OE.