10.「2026广东惠州期中，★☆」脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用Cobb角来评估脊柱侧弯的程度，当Cobb角＞10°可确诊为脊柱侧弯。如图所示的是脊柱侧弯Cobb角($∠ O$)的检测示意图，$DA ⊥ OC$于点$A$，$CB ⊥ OD$于点$B$，已知Cobb角为$37°$，则$∠ AEC$的大小是。

10.答案 37°
解析 $\because DA ⊥ OC,∴ ∠ DAO=90°$,
$\because ∠ O=37°,∴ ∠ ADO=90°-37°=53°$,
$\because CB ⊥ OD,∴ ∠ CBO=90°$,
$\therefore ∠ DEB=90°-∠ ADO=90°-53°=37°$,
$\therefore ∠ AEC= ∠ DEB=37°$.故答案为37°.

11.学科特色 分类讨论思想「2026福建莆田期中，★☆」若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为56°,则这个等腰三角形的顶角的度数为。

11.答案 34°或146°
解析 设该等腰三角形为$△ ABC$,且$AB=AC$,则顶角为$∠ A$,
①当等腰三角形为锐角三角形时,如图1所示,
由题意得$∠ ABD=56°,BD ⊥ AC,∴ ∠ A=90°-56°=34°$；
②当等腰三角形为钝角三角形时,如图2所示,由题意得$∠ ABD = 56°,BD ⊥ AC,∴ ∠ BAD = 90°-56°= 34°,∴ ∠ BAC= 180°-34°= 146°$.
综上所述,这个等腰三角形的顶角的度数为$34°$或$146°$.

12.「2026广东广州期中，★☆」如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=6$，$AC=8$，$BC=10$，$AD$是高，$BE$是中线，$CF$是角平分线，$CF$交$AD$于点$G$，交$BE$于点$H$，给出以下结论：①$S_{△ ABE}=S_{△ BCE}$；②$∠ AFG=∠ AGF$；③$∠ FAG=2∠ ACF$；④$AD=2.4$。其中结论正确的是（填序号）。

12.答案 ①②③
解析 $\because BE$是$△ ABC$的中线,$∴ AE=CE$,
$\therefore S_{△ ABE}=S_{△ BCE}$,故①正确；
$\because ∠ BAC=90°,AD$是$△ ABC$的高,
$\therefore ∠ AFG+ ∠ ACG=90°,∠ DCG+ ∠ DGC=90°$,
$\because CF$是$△ ABC$的角平分线,$∴ ∠ ACG= ∠ DCG$,
$\therefore ∠ AFG= ∠ DGC$,又$\because ∠ DGC= ∠ AGF$,
$\therefore ∠ AFG= ∠ AGF$,故②正确；
$\because ∠ FAG+ ∠ DAC=90°= ∠ DAC+ ∠ ACD$,
$\therefore ∠ FAG= ∠ ACD$,
$\because ∠ ACD= 2∠ ACF,∴ ∠ FAG= 2∠ ACF$,
故③正确；
$\because 2S_{△ ABC}=AB·AC=BC·AD$,
$\therefore AD=\frac{AB·AC}{BC}=\frac{6×8}{10}=4.8$,故④错误.
故答案为①②③.

13. 核心素养 运算能力 「2026浙江金华期中」定义:如果一个三角形的两个内角α与β满足$2α+β=90°$,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
(1)若$△ ABC$是“准互余三角形”,$∠ C＞90°$,$∠ A=60°$,则$∠ B=$.
(2)如图,$△ ABC$是直角三角形,$∠ ACB=90°$.
①若$AD$是$∠ BAC$的平分线,则$△ ABD$是“准互余三角形”吗?说明理由.
②若点$E$是边$BC$上一点,$△ ABE$是“准互余三角形”,$∠ B=24°$,求$∠ EAC$的度数.

13.解析 (1)$15°$.
(2)①$△ ABD$是“准互余三角形”.理由如下:
如图1,$\because AD$是$∠ BAC$的平分线,$∴ ∠ BAC=2∠ BAD$,
$\because ∠ ACB=90°,∴ ∠ BAC+ ∠ B=90°$,
$\therefore 2∠ BAD+ ∠ B=90°,∴ △ ABD$是“准互余三角形”.
②如图2,$\because ∠ ACB=90°,∴ ∠ AEB＞90°$,
$\because △ ABE$是“准互余三角形”,$\therefore 2∠ BAE+ ∠ B=90°$或$2∠ B+ ∠ BAE=90°$.
(i)当$2∠ BAE+ ∠ B=90°$时,
$\because ∠ B=24°,∴ ∠ BAE=\frac{90°-24°}{2}=33°$,
$\therefore ∠ EAC=90°-∠ B-∠ BAE=33°$；
(ii)当$2∠ B+ ∠ BAE=90°$时,
$\because ∠ B=24°,∴ ∠ BAE=90°-2×24°=42°$,
$\therefore ∠ EAC=90°-∠ B-∠ BAE=24°$.
综上所述,$∠ EAC$的度数为$33°$或$24°$.

1.「2026广东广州期中」已知:在$△ ABC$中,$∠ C＞∠ B$,AE平分$∠ BAC$交BC于点E.
(1)如图,$AD ⊥ BC$于点D,若$∠ C=60°,∠ B=30°$,则$∠ DAE$的度数为 .
(2)如图,$AD ⊥ BC$于点D,若$∠ B=α,∠ C=β$,则$∠ DAE$的度数为 (用含$α,β$的式子表示).

1.答案 (1)$15°$ (2)$\frac{1}{2}(β-α)$
解析 (1)$\because AD ⊥ BC,∴ ∠ ADC=90°$,
$\because ∠ C=60°,∠ B=30°$,
$\therefore ∠ BAC=180°-60°-30°=90°,∠ CAD=90°-60°=30°$,
$\because AE$平分$∠ BAC,∴ ∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC=45°$,
$\therefore ∠ DAE= ∠ CAE- ∠ CAD=15°$.
(2)$\because AD ⊥ BC,∴ ∠ ADC=90°,∵ ∠ B=α,∠ C=β$,
$\therefore ∠ BAC=180°-α-β,∠ CAD=90°-β$,
$\because AE$平分$∠ BAC$,
$\therefore ∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC=90°-\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β$,
$\therefore ∠ DAE= ∠ CAE- ∠ CAD=90°-\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β-(90°-β)$
$=90°-\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β-90°+β=\frac{1}{2}β-\frac{1}{2}α=\frac{1}{2}(β-α)$.

2.如图,在△ABC中,∠C＞∠B,AE平分∠BAC,点F为线段AE上一点(不与点E重合),且FD⊥BC于点D.若∠C=50°,∠B=30°,则∠EFD=°.

2.答案 10
解析 $\because ∠ C=50°,∠ B=30°$,
$\therefore ∠ BAC=180°-50°-30°=100°$,
$\because AE$平分$∠ BAC,∴ ∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=50°$,
$\therefore ∠ AEC=180°-∠ EAC-∠ C=180°-50°-50°=80°$,
$\because FD ⊥ BC,∴ ∠ EDF=90°$,
$\therefore ∠ EFD=90°-∠ AEC=90°-80°=10°$.故答案为10.

3.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$,交$AC$边上的高$BE$于点$F$,若$∠ C=α$,则$∠ BFD=$(用含$α$的式子表示).

3.答案 $45°+\frac{α}{2}$
解析 $\because ∠ ABC=90°,∠ C=α,∴ ∠ BAC=90°-α$,
$\because AD$平分$∠ BAC$,
$\therefore ∠ EAF=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(90°-α)=45°-\frac{1}{2}α$,
$\because BE ⊥ AC,∴ ∠ AEF=90°$,
$\therefore ∠ AFE=90°-∠ EAF=90°-(45°-\frac{1}{2}α)=45°+\frac{1}{2}α$,
$\therefore ∠ BFD= ∠ AFE=45°+\frac{1}{2}α$.故答案为$45°+\frac{α}{2}$.