8.[易错题]在$△ ABC$中，$AB=6\sqrt{3}$，$AC=6$，$\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，则$BC$边的长为（）

A.9
B.12
C.12或6
D.12或9

8.C

9.如图，AD是$△ ABC$的高.若$BD=2CD=6$，$\tan C=2$，则边$AB$的长为（）

A.$3\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{5}$
C.$6\sqrt{2}$
D.$3\sqrt{7}$

9.C

10.如图,在$△ ABC$中,$AC ⊥ BC$,$∠ ABC=30°$,点D是CB延长线上的一点,且$AB=BD$,则$\tan D$的值为（）

A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$2+\sqrt{3}$
D.$2-\sqrt{3}$

10.D

11.如图，$P(a,a)$是反比例函数$y=\frac{16}{x}$在第一象限内图象上的一个点，以$P$为顶点作等边$△ PAB$，使点$A,B$落在$x$轴上，则$△ POA$的面积是（）

A.3
B.4
C.$4-\frac{4\sqrt{3}}{3}$
D.$8-\frac{8\sqrt{3}}{3}$

第11题图 第12题图

11.D

12.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$\cos A=\dfrac{3}{5}$,$BC=12$,$D$是$AB$的中点,过点$B$作线段$CD$的垂线,垂足为点$E$,则$\cos ∠ DBE$的值为.

12.$\frac{24}{25}$

13.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB＜BC$.
点D是AC的中点,过点D作$DE⊥ AC$交
BC于点E,延长ED至点F,使得$DF=DE$,连接AE,AF,CF.
(1)求证:四边形AECF是菱形;
(2)若$\frac{BE}{EC}=\frac{1}{4}$,则$\tan∠ BCF$的值为.

13.(1)证明: $\because$ 点 $D$ 是 $AC$ 的中点, $\therefore AD=CD.\because DF=DE$, $\therefore$ 四边形 $AECF$ 是平行四边形. 又 $\because DE ⊥ AC, \therefore$ 四边形 $AECF$ 是菱形.
(2) $\sqrt{15}$ [解析]$\because \frac{BE}{EC}=\frac{1}{4},\therefore CE=4BE$, 设 $BE=a$, 则 $CE=4a$.由(1)可知,四边形 $AECF$ 是菱形, $\therefore AE=CE=4a,AE// CF$, $\therefore ∠ BEA=∠ BCF.\because ∠ ABC=90°, \therefore AB = \sqrt{AE^2-BE^2} = \sqrt{(4a)^2-a^2}=\sqrt{15}a,\therefore \tan∠ BCF=\tan∠ BEA=\frac{AB}{BE}=\frac{\sqrt{15}a}{a}=\sqrt{15}.$

14.[推理能力]已知在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=4$，$BD$是$AC$边中线，$DG$平分$∠ BDC$，且$BG⊥ DG$于点$G$，交$BC$于点$F$。求：
(1)$∠ ABD$的正弦值；
(2)$BG$的长。

14.解:(1)如图,过 $D$ 点作 $DM ⊥ AB$ 于 $M$,则 $∠ AMD=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ C = 90°$, $AC=6$, $BC=4$, $\therefore AB = \sqrt{AC^2+BC^2} = 2\sqrt{13}.\because D$ 是 $AC$ 的中点, $\therefore AD=CD=3$, $\therefore BD = \sqrt{CD^2+BC^2} = \sqrt{3^2+4^2} = 5$.
$\because ∠ C=∠ AMD=90°, \therefore \cos A = \frac{AM}{AD} = \frac{AC}{AB},即 \frac{AM}{3} = \frac{6}{2\sqrt{13}}$, 解得 $AM = \frac{9\sqrt{13}}{13}, \therefore DM = \sqrt{AD^2-AM^2} = \frac{6\sqrt{13}}{13}, \therefore \sin∠ ABD = \frac{DM}{BD} = \frac{\frac{6\sqrt{13}}{13}}{5} = \frac{6\sqrt{13}}{65}.$
(2)如图,过 $F$ 作 $FN ⊥ BD$ 于 $N$.$\because DG$ 平分 $∠ BDC,∠ C=90°,\therefore ∠ CDF=∠ BDF,∠ C=∠ DNF=90°.$在 $△ DCF$ 和 $△ DNF$ 中, $\because \begin{cases}∠ C=∠ DNF,\\∠ CDF=∠ NDF,\\DF=DF,\end{cases} \therefore △ DCF ≌ △ DNF$(AAS),$\therefore DC=DN=3,CF=NF,\therefore BN=BD-DN=5-3=2.$在 $\mathrm{Rt}△ BFN$ 中,$BN^2+FN^2=BF^2$,即 $2^2+CF^2=(4-CF)^2$,解得 $CF=\frac{3}{2},\therefore DF=\sqrt{DC^2+CF^2}=\sqrt{3^2+(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}.\because BG ⊥ DG,\therefore ∠ C=∠ BGD=90°,\therefore △ DCF ∽ △ DGB$,
$\therefore \frac{CF}{BG}=\frac{DF}{DB},即 \frac{\frac{3}{2}}{BG}=\frac{\frac{3\sqrt{5}}{2}}{5},解得 BG=\sqrt{5}.$