20.如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 BC,AD 上,
$BE=DF$,连结 AE,CF,AC。
(1)求证:四边形 AECF 为平行四边形。
(2)若$CF=AF=5,AC=8$,求四边形 AECF 的面积。

第 20 题图

20.(1)证明:因为四边形ABCD为平行四边形,所以$AD=BC$,$AD// BC$即$AF// EC$,又因为$BE=DF$,所以$AF=EC$。所以四边形AECF是平行四边形。
(2)因为四边形AECF是平行四边形,$CF=AF=5$,所以四边形AECF是菱形,如图,连结EF交AC于点O,因为四边形AECF是菱形,所以$AC⊥ EF$,所以$AO=\frac{1}{2}AC=4$,$EF=2OF$,所以$OF=\sqrt{AF^2-AO^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$,所以$EF=2OF=6$,所以四边形AECF的面积$=\frac{1}{2}AC· EF=\frac{1}{2}×8×6=24$。

21.(改编)利用韦达定理,解决下列问题:
(1)已知$a,b$是方程$x^2+10x+5=0$的两个根,求$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$的值。
(2)结合二元一次方程组的相关知识,解决问题:已知$\begin{cases} x=x_1, \\ y=y_1 \end{cases}$和$\begin{cases} x=x_2, \\ y=y_2 \end{cases}$是关于$x,y$的方程组$\begin{cases} x^2 - y + k = 0, \\ x - y = 1 \end{cases}$的两个不相等的实数解。问:是否存在实数$k$,使得$y_1y_2 - \dfrac{x_1}{x_2} - \dfrac{x_2}{x_1}=2$?若存在,求出的$k$的值;若不存在,请说明理由。

21.(1)因为$a,b$是方程$x^2+10x+5=0$的两个根,所以$a+b=-10$,$ab=5$,所以$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}=\frac{(-10)^2-2×5}{5}=18$。
(2)存在,当$k=-2$时,$y_1y_2-\frac{x_1}{x_2}-\frac{x_2}{x_1}=2$,由$x^2-y+k=0$变形得:$y=x^2+k$,由$x-y=1$变形得:$y=x-1$,所以$y_1y_2=(x_1-1)(x_2-1)$,把$y=x-1$代入$y=x^2+k$,并整理得:$x^2-x+k+1=0$,由题意可知,$x_1,x_2$是方程$x^2-x+k+1=0$的两个不相等的实数根,故有:$\Delta=(-1)^2-4(k+1)＞0$,$k＜-\frac{3}{4}$,$x_1+x_2=1$,$x_1x_2=k+1$,所以$y_1y_2-\frac{x_1}{x_2}-\frac{x_2}{x_1}=(x_1-1)(x_2-1)-\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=x_1x_2-(x_1+x_2)+1-\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=k+1-1+1-\frac{1-2k-2}{k+1}$,所以$k+1-1+1-\frac{1-2k-2}{k+1}=2$,解得:$k=-2$。