根据国际田联《田径场地设施标准手册》,400米标准跑道由两条平行的直道和两个半径相等的弯道组成,有8条跑道,每条跑道宽1.2米,直道长87米;跑道的弯道是半圆形,跑道第一圈(最内圈边线)弯道半径为35.0米到38.0米之间.
【素材1】某校根据国际田联标准和学校场地实际,建成第一圈(最内圈边线)弯道半径为36米的标准跑道(如图).小轩同学计算了各圈(各跑道内圈边线)的长(π取3.14,结果保留一位小数):
第一圈长:$87×2+2π(36+1.2×0)≈400.1$(米);
第二圈长:$87×2+2π(36+1.2×1)≈407.6$(米);
第三圈长:$87×2+2π(36+1.2×2)≈415.2$(米).
【素材2】小轩紧靠第一圈边线逆时针跑步,邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车(均以所在跑道内圈边线长计路程),在图中起跑线的位置同时出发,经过20秒两人在直道第一次相遇.已知邓教练平均速度是小轩平均速度的2倍.
— 针对训练 —
(1)第三圈的两段半圆形弯道比第一圈的两段半圆形弯道长多少米?
(2)小轩计算的第八圈的长是多少米?
(3)小轩与邓教练的平均速度各是多少?
(注:在同侧直道,过两人所在点的直线与跑道边线垂直时,称两人直道相遇)

(1)$415.2-400.1=15.1$(米).答:第三圈的两段半圆形弯道比第一圈的两段半圆形弯道长 15.1 米.
(2)$87×2+2π(36+1.2×7)≈452.8$(米).答:小轩计算的第八圈的长是 452.8 米.
(3)由于两人是第一次相遇,邓教练的速度更快,且是在直道上两人相遇,那么两人一定在左边的直道上相遇,两人的总路程刚好是第一圈的长度加上这两个半圆形弯道长度的差,这两个半圆形弯道长度的差为$π(36+1.2×2)-π(36+1.2×0)= 2.4π$(米).设小轩的平均速度为$v$米/秒,则邓教练的平均速度为$2v$米/秒,由题意得$20(v+2v)= 400+2.4π$,解得$v≈6.8$,所以$2v≈13.6$.答:小轩的平均速度约为 6.8 米/秒,邓教练的平均速度约为 13.6 米/秒.

【分析】
(1) 所有跑道的直道长度完全相同，因此两圈跑道的弯道长度差就等于两圈跑道的总长度差，直接用已知的第三圈总长度减去第一圈总长度即可求解。
(2) 观察前几圈的长度计算公式可发现规律：第n圈的弯道半径为$36+1.2×(n-1)$，将$n=8$代入跑道长度公式“跑道长=直道总长$+2π×$弯道半径”计算即可得到第八圈的长度。
(3) 两人反向同时出发，相遇时两人的路程和等于总路程。由于两人分别在第一圈、第三圈跑道，第三圈弯道比第一圈弯道长$2.4π$米，因此总路程为第一圈长度加上该弯道差。设小轩的平均速度为$v$米/秒，则邓教练速度为$2v$米/秒，根据“路程和=速度和×相遇时间”列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 因为各跑道直道长度相等，所以第三圈与第一圈的弯道长度差为：
$415.2-400.1=15.1$（米）
(2) 第八圈的弯道半径为$36+1.2×(8-1)=44.4$米，代入跑道长度公式得：
$87×2+2×3.14×44.4$
$=174+278.832$
$\approx452.8$（米）
(3) 设小轩的平均速度为$v$米/秒，则邓教练的平均速度为$2v$米/秒。
两人相遇的总路程为第一圈长度加上第三圈与第一圈的弯道差，即$400+2.4π$米，根据题意列方程：
$20(v+2v)=400+2.4×3.14$
$60v=400+7.536$
$60v≈407.536$
解得$v≈6.8$，则$2v≈13.6$
【答案】
(1) 第三圈的两段半圆形弯道比第一圈的两段半圆形弯道长15.1米。
(2) 小轩计算的第八圈的长是452.8米。
(3) 小轩的平均速度约为6.8米/秒，邓教练的平均速度约为13.6米/秒。
【知识点】
圆的周长计算,相遇问题,一元一次方程的应用
【点评】
本题结合田径跑道的实际场景，将几何周长计算和行程相遇问题融合，既需要掌握圆周长的计算方法、找到不同跑道的长度规律，也需要熟练运用相遇问题的等量关系列方程求解，能够有效锻炼运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6