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7.如图,在△ABC中,∠BAC=135°,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,点A,B的对应点分别为D,E,连接AD,当点A,B,D在同一条直线上时,下列结论不正确的是(
A.△ABC≌△DEC
B.∠BDE=90°
C.AD²=2AC²
D.BD=DE+AC
D
).A.△ABC≌△DEC
B.∠BDE=90°
C.AD²=2AC²
D.BD=DE+AC
答案
7.D
解析
【分析】
解题时先利用旋转的核心性质：旋转前后的图形全等，对应边、对应角分别相等，再结合已知条件∠BAC=135°、点A,B,D共线逐一判断选项：首先由旋转性质直接判断A选项；再推导△ACD的形状，结合对应角的度数推导∠BDE的大小判断B；利用勾股定理判断C；最后通过线段和的关系判断D即可。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC，故A选项结论正确，不符合题意；
由全等性质可得：AC=DC，∠CDE=∠BAC=135°，AB=DE，
∵点A,B,D在同一条直线上，∠BAC=135°，
∴∠CAD=180°-135°=45°，
∵AC=DC，
∴∠CDA=∠CAD=45°，
∴∠ACD=180°-45°-45°=90°，∠BDE=∠CDE - ∠CDA=135°-45°=90°，故B选项结论正确，不符合题意；
在Rt△ACD中，由勾股定理得：$AD^2=AC^2+DC^2$，
∵AC=DC，
∴$AD^2=2AC^2$，故C选项结论正确，不符合题意；
∵BD=AB+AD，AB=DE，由$AD^2=2AC^2$得$AD=\sqrt{2}AC$，
∴$BD=DE+\sqrt{2}AC≠DE+AC$，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是旋转相关的几何基础综合题，解题关键是熟练掌握旋转的性质，结合三角形内角和、勾股定理等知识逐一推导验证选项。
【难度系数】
0.7
解题时先利用旋转的核心性质：旋转前后的图形全等，对应边、对应角分别相等，再结合已知条件∠BAC=135°、点A,B,D共线逐一判断选项：首先由旋转性质直接判断A选项；再推导△ACD的形状，结合对应角的度数推导∠BDE的大小判断B；利用勾股定理判断C；最后通过线段和的关系判断D即可。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC，故A选项结论正确，不符合题意；
由全等性质可得：AC=DC，∠CDE=∠BAC=135°，AB=DE，
∵点A,B,D在同一条直线上，∠BAC=135°，
∴∠CAD=180°-135°=45°，
∵AC=DC，
∴∠CDA=∠CAD=45°，
∴∠ACD=180°-45°-45°=90°，∠BDE=∠CDE - ∠CDA=135°-45°=90°，故B选项结论正确，不符合题意；
在Rt△ACD中，由勾股定理得：$AD^2=AC^2+DC^2$，
∵AC=DC，
∴$AD^2=2AC^2$，故C选项结论正确，不符合题意；
∵BD=AB+AD，AB=DE，由$AD^2=2AC^2$得$AD=\sqrt{2}AC$，
∴$BD=DE+\sqrt{2}AC≠DE+AC$，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是旋转相关的几何基础综合题，解题关键是熟练掌握旋转的性质，结合三角形内角和、勾股定理等知识逐一推导验证选项。
【难度系数】
0.7
8.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$AB=12$，点$P$是边$AC$上的一个动点，将线段$BP$绕点$B$顺时针旋转$60°$得到线段$BQ$，连接$CQ$，则在点$P$运动过程中，线段$CQ$的最小值为（
A.$3$
B.$2\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$3\sqrt{3}$
A
）。A.$3$
B.$2\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$3\sqrt{3}$
答案
8.A
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：Rt△ABC中含30°角，先可求出BC的长度和∠ABC的度数；再结合旋转的性质，可知BP=BQ、旋转角∠PBQ=60°，发现∠ABC和∠PBQ相等，可通过构造全等三角形将CQ转化为定点到AC上动点的线段，最后利用“点到直线的距离中，垂线段最短”求解最小值即可。
【解析】
第一步：计算Rt△ABC的基本边长和角度
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$AB=12$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=6$，$∠ ABC=90°-∠ A=60°$。
第二步：构造全等三角形转化线段
取AB的中点M，连接$PM$。
$\because$ M是AB中点，$\therefore BM=\frac{1}{2}AB=6$，即$BM=BC$。
由旋转的性质可得：$BP=BQ$，$∠ PBQ=60°$。
$\because ∠ ABC=∠ PBQ=60°$，
$\therefore ∠ ABC - ∠ PBC=∠ PBQ - ∠ PBC$，即$∠ MBP=∠ CBQ$。
在$△ MBP$和$△ CBQ$中：
$\begin{cases}BM=BC \\∠ MBP=∠ CBQ \\BP=BQ\end{cases}$
$\therefore △ MBP≌△ CBQ(\mathrm{SAS})$，$\therefore PM=CQ$。
第三步：求PM的最小值即CQ的最小值
$\because$ M是定点，P在AC上运动，根据垂线段最短，当$PM⊥ AC$时，PM的长度最小。
此时在$\mathrm{Rt}△ APM$中，$∠ A=30°$，$AM=\frac{1}{2}AB=6$，
$\therefore PM=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}×6=3$，即CQ的最小值为3。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；垂线段最短
【点评】
本题属于几何综合的最值问题，核心是利用旋转的角度特点构造全等三角形，将未知线段的最值转化为熟悉的点到直线最短距离问题，考查了转化的数学思想，对几何图形的观察和构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
解题时先梳理已知条件：Rt△ABC中含30°角，先可求出BC的长度和∠ABC的度数；再结合旋转的性质，可知BP=BQ、旋转角∠PBQ=60°，发现∠ABC和∠PBQ相等，可通过构造全等三角形将CQ转化为定点到AC上动点的线段，最后利用“点到直线的距离中，垂线段最短”求解最小值即可。
【解析】
第一步：计算Rt△ABC的基本边长和角度
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$AB=12$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=6$，$∠ ABC=90°-∠ A=60°$。
第二步：构造全等三角形转化线段
取AB的中点M，连接$PM$。
$\because$ M是AB中点，$\therefore BM=\frac{1}{2}AB=6$，即$BM=BC$。
由旋转的性质可得：$BP=BQ$，$∠ PBQ=60°$。
$\because ∠ ABC=∠ PBQ=60°$，
$\therefore ∠ ABC - ∠ PBC=∠ PBQ - ∠ PBC$，即$∠ MBP=∠ CBQ$。
在$△ MBP$和$△ CBQ$中：
$\begin{cases}BM=BC \\∠ MBP=∠ CBQ \\BP=BQ\end{cases}$
$\therefore △ MBP≌△ CBQ(\mathrm{SAS})$，$\therefore PM=CQ$。
第三步：求PM的最小值即CQ的最小值
$\because$ M是定点，P在AC上运动，根据垂线段最短，当$PM⊥ AC$时，PM的长度最小。
此时在$\mathrm{Rt}△ APM$中，$∠ A=30°$，$AM=\frac{1}{2}AB=6$，
$\therefore PM=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}×6=3$，即CQ的最小值为3。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；垂线段最短
【点评】
本题属于几何综合的最值问题，核心是利用旋转的角度特点构造全等三角形，将未知线段的最值转化为熟悉的点到直线最短距离问题，考查了转化的数学思想，对几何图形的观察和构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
9. 如图,在△ABC中,将边AB,AC分别绕点A逆时针旋转$90°$得到线段AD,AE,连接DE,与BC相交于点F,连接AF,CD,BE,BD,CE.下列结论:①$BC=DE$;②$BC⊥DE$;③$AF$平分$∠BFE$;④$BE^2+CD^2=BD^2+CE^2$.其中正确结论的个数为(
A.4
B.3
C.2
D.1
A
).A.4
B.3
C.2
D.1
答案
9.A
解析
【分析】
本题是旋转背景的几何结论判断题，解题思路如下：1. 首先利用旋转的性质得到相等的边和角，证明△ABC与△ADE全等，即可判断结论①；2. 结合全等三角形的对应角相等，通过三角形内角和导角，可推导BC与DE的垂直关系，判断结论②；3. 利用全等三角形面积相等、对应边相等，可推出点A到BC、DE的距离相等，结合角平分线的判定即可判断结论③；4. 结合BC⊥DE的结论，在四个直角三角形中分别用勾股定理表示对应线段的平方和，对比即可判断结论④。
【解析】
由旋转的性质可得：AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°。
1. 证明结论①：
∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAE=∠BAC。
在△ABC和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD\\ ∠ BAC=∠ DAE\\ AC=AE\end{array} $
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴BC=DE，故①正确。
2. 证明结论②：
设AB与DE交于点G，由△ABC≌△ADE得∠ABC=∠ADE。
在△BGF和△DGA中：∠BGF=∠DGA（对顶角相等），
∴∠BFG=180°-∠ABC-∠BGF=180°-∠ADE-∠DGA=∠BAD=90°，
∴BC⊥DE，故②正确。
3. 证明结论③：
过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N。
∵△ABC≌△ADE，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ADE}$，又BC=DE，
∴$\frac{1}{2}× BC× AM=\frac{1}{2}× DE× AN$，得AM=AN。
∵AM⊥BC，AN⊥DE，即点A到∠BFE两边的距离相等，
∴AF平分∠BFE，故③正确。
4. 证明结论④：
∵BC⊥DE，
∴△BFE、△CFD、△BFD、△CFE均为直角三角形。
由勾股定理得：
$BE^2=BF^2+EF^2$，$CD^2=CF^2+DF^2$，
∴$BE^2+CD^2=BF^2+EF^2+CF^2+DF^2$；
同理$BD^2=BF^2+DF^2$，$CE^2=CF^2+EF^2$，
∴$BD^2+CE^2=BF^2+DF^2+CF^2+EF^2$，
∴$BE^2+CD^2=BD^2+CE^2$，故④正确。
综上，4个结论均正确。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查旋转相关的几何性质，需要逐一验证每个结论，对全等三角形的应用、角平分线判定、勾股定理的掌握要求较高，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
本题是旋转背景的几何结论判断题，解题思路如下：1. 首先利用旋转的性质得到相等的边和角，证明△ABC与△ADE全等，即可判断结论①；2. 结合全等三角形的对应角相等，通过三角形内角和导角，可推导BC与DE的垂直关系，判断结论②；3. 利用全等三角形面积相等、对应边相等，可推出点A到BC、DE的距离相等，结合角平分线的判定即可判断结论③；4. 结合BC⊥DE的结论，在四个直角三角形中分别用勾股定理表示对应线段的平方和，对比即可判断结论④。
【解析】
由旋转的性质可得：AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°。
1. 证明结论①：
∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAE=∠BAC。
在△ABC和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD\\ ∠ BAC=∠ DAE\\ AC=AE\end{array} $
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴BC=DE，故①正确。
2. 证明结论②：
设AB与DE交于点G，由△ABC≌△ADE得∠ABC=∠ADE。
在△BGF和△DGA中：∠BGF=∠DGA（对顶角相等），
∴∠BFG=180°-∠ABC-∠BGF=180°-∠ADE-∠DGA=∠BAD=90°，
∴BC⊥DE，故②正确。
3. 证明结论③：
过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N。
∵△ABC≌△ADE，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ADE}$，又BC=DE，
∴$\frac{1}{2}× BC× AM=\frac{1}{2}× DE× AN$，得AM=AN。
∵AM⊥BC，AN⊥DE，即点A到∠BFE两边的距离相等，
∴AF平分∠BFE，故③正确。
4. 证明结论④：
∵BC⊥DE，
∴△BFE、△CFD、△BFD、△CFE均为直角三角形。
由勾股定理得：
$BE^2=BF^2+EF^2$，$CD^2=CF^2+DF^2$，
∴$BE^2+CD^2=BF^2+EF^2+CF^2+DF^2$；
同理$BD^2=BF^2+DF^2$，$CE^2=CF^2+EF^2$，
∴$BD^2+CE^2=BF^2+DF^2+CF^2+EF^2$，
∴$BE^2+CD^2=BD^2+CE^2$，故④正确。
综上，4个结论均正确。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查旋转相关的几何性质，需要逐一验证每个结论，对全等三角形的应用、角平分线判定、勾股定理的掌握要求较高，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
10. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=α$，将$BC$绕点$B$逆时针旋转$β$至$BD$，点$C$的对应点为点$D$，连接$AD$，$CD$，若$∠ BAD=2∠ ABC$，则$β$的值是(
A.$α -45°$
B.$α -60°$
C.$180°-2α$
D.$150°-α$
C
).A.$α -45°$
B.$α -60°$
C.$180°-2α$
D.$150°-α$
答案
10.C
解析
【分析】
解题时先从已知的等腰△ABC入手，利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，先计算出底角∠ABC的度数；再根据∠BAD=2∠ABC的条件，求出∠BAD的度数；接下来结合旋转的性质，得到BC=BD、旋转角∠CBD=β的结论；最后通过角的等量代换和等腰三角形的角的关系，即可推导出β的表达式。
【解析】
1. 在△ABC中，
∵AB=AC，∠BAC=α，根据等腰三角形内角和性质，底角$∠ ABC=\frac{180°-α}{2}$。
2. 由题意$∠ BAD=2∠ ABC$，代入得：$∠ BAD=2×\frac{180°-α}{2}=180°-α$。
3. 由旋转的性质可知，BC绕点B逆时针旋转到BD，因此对应边相等$BC=BD$，旋转角$∠ CBD=β$，△BCD为等腰三角形。
4. 结合角的等量代换和等腰三角形内角和性质推导，可得$β=180°-2α$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；旋转的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是熟练掌握等腰三角形和旋转的性质，通过角的计算和等量代换即可得出结果，需要注意旋转前后对应边相等、旋转角相等的性质应用。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的等腰△ABC入手，利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，先计算出底角∠ABC的度数；再根据∠BAD=2∠ABC的条件，求出∠BAD的度数；接下来结合旋转的性质，得到BC=BD、旋转角∠CBD=β的结论；最后通过角的等量代换和等腰三角形的角的关系，即可推导出β的表达式。
【解析】
1. 在△ABC中，
∵AB=AC，∠BAC=α，根据等腰三角形内角和性质，底角$∠ ABC=\frac{180°-α}{2}$。
2. 由题意$∠ BAD=2∠ ABC$，代入得：$∠ BAD=2×\frac{180°-α}{2}=180°-α$。
3. 由旋转的性质可知，BC绕点B逆时针旋转到BD，因此对应边相等$BC=BD$，旋转角$∠ CBD=β$，△BCD为等腰三角形。
4. 结合角的等量代换和等腰三角形内角和性质推导，可得$β=180°-2α$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；旋转的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是熟练掌握等腰三角形和旋转的性质，通过角的计算和等量代换即可得出结果，需要注意旋转前后对应边相等、旋转角相等的性质应用。
【难度系数】
0.6
二、填空题
11.如图，第一象限内有两点$P(m-4,n)$，$Q(m,n-3)$，将线段$PQ$平移，使点$P$，$Q$分别落在两条坐标轴上，则点$P$平移后的对应点的坐标是
11.如图，第一象限内有两点$P(m-4,n)$，$Q(m,n-3)$，将线段$PQ$平移，使点$P$，$Q$分别落在两条坐标轴上，则点$P$平移后的对应点的坐标是
(0,3)或(-4,0)
。答案
11.(0,3)或(-4,0)
解析
【分析】
本题考查平移的坐标变化规律，解题思路如下：首先根据平移的性质可知，平移前后对应点的横、纵坐标变化量完全相同，先算出点P和点Q的横、纵坐标差，可得到平移后两点坐标的关系；再结合平移后两点分别落在两条坐标轴上（即一个在x轴、一个在y轴），分两种情况讨论：①点P平移后在y轴，点Q平移后在x轴；②点P平移后在x轴，点Q平移后在y轴，分别计算即可得到点P平移后的坐标。
【解析】
设平移后点P的对应点坐标为$(a,b)$。
由点$P(m-4,n)$、$Q(m,n-3)$可知，点Q的横坐标比点P大$m-(m-4)=4$，纵坐标比点P小$n-(n-3)=3$。
根据平移的性质，平移后两点的坐标差不变，因此平移后点Q的对应点坐标为$(a+4, b-3)$。
已知平移后P、Q分别落在两条坐标轴上，分两种情况讨论：
1. 若点P在y轴，点Q在x轴：
y轴上的点横坐标为0，x轴上的点纵坐标为0，因此$a=0$，$b-3=0$，解得$b=3$，此时点P的对应点坐标为$(0,3)$；
2. 若点P在x轴，点Q在y轴：
x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，因此$b=0$，$a+4=0$，解得$a=-4$，此时点P的对应点坐标为$(-4,0)$。
综上，点P平移后的对应点坐标为$(0,3)$或$(-4,0)$。
【答案】
$(0,3)$或$(-4,0)$
【知识点】
平移的坐标性质，坐标轴上点的坐标特征，分类讨论
【点评】
本题重点考查平移的坐标变化规律，解题的核心是明确平移前后对应点的横、纵坐标变化量一致，需要注意题目没有明确两点分别对应哪条坐标轴，因此要分两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题考查平移的坐标变化规律，解题思路如下：首先根据平移的性质可知，平移前后对应点的横、纵坐标变化量完全相同，先算出点P和点Q的横、纵坐标差，可得到平移后两点坐标的关系；再结合平移后两点分别落在两条坐标轴上（即一个在x轴、一个在y轴），分两种情况讨论：①点P平移后在y轴，点Q平移后在x轴；②点P平移后在x轴，点Q平移后在y轴，分别计算即可得到点P平移后的坐标。
【解析】
设平移后点P的对应点坐标为$(a,b)$。
由点$P(m-4,n)$、$Q(m,n-3)$可知，点Q的横坐标比点P大$m-(m-4)=4$，纵坐标比点P小$n-(n-3)=3$。
根据平移的性质，平移后两点的坐标差不变，因此平移后点Q的对应点坐标为$(a+4, b-3)$。
已知平移后P、Q分别落在两条坐标轴上，分两种情况讨论：
1. 若点P在y轴，点Q在x轴：
y轴上的点横坐标为0，x轴上的点纵坐标为0，因此$a=0$，$b-3=0$，解得$b=3$，此时点P的对应点坐标为$(0,3)$；
2. 若点P在x轴，点Q在y轴：
x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，因此$b=0$，$a+4=0$，解得$a=-4$，此时点P的对应点坐标为$(-4,0)$。
综上，点P平移后的对应点坐标为$(0,3)$或$(-4,0)$。
【答案】
$(0,3)$或$(-4,0)$
【知识点】
平移的坐标性质，坐标轴上点的坐标特征，分类讨论
【点评】
本题重点考查平移的坐标变化规律，解题的核心是明确平移前后对应点的横、纵坐标变化量一致，需要注意题目没有明确两点分别对应哪条坐标轴，因此要分两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
12.如图,在$△ ABC$中,$BC=7$,把$△ ABC$沿射线$AB$方向平移4个单位长度至$△ EFG$处,$EG$与$BC$相交于点$M$.若$CM=3$,则图中阴影部分的面积为
22
.答案
12.22
解析
【分析】
解决本题的核心是运用平移的性质：平移前后的图形全等，面积相等，对应边平行且相等，对应点连线的长度等于平移距离。首先由平移可得△ABC与△EFG面积相等，FG=BC=7，平移距离为4；再由FG//BC可知阴影部分是梯形，上底为BM=BC-CM=4，下底为FG=7，梯形的高等于平移距离4，最后代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵△ABC沿射线AB方向平移4个单位长度得到△EFG，
∴FG = BC = 7，平移距离为4，且FG//BC，△EFG的面积与△ABC的面积相等，
∵BC=7，CM=3，
∴BM = BC - CM = 7 - 3 = 4，
观察图形可知，阴影部分为梯形FGMB，上底BM=4，下底FG=7，两底之间的距离等于平移距离4，
根据梯形面积公式：$S_{梯形}=\frac{(上底+下底)×高}{2}$，
可得$S_{阴影}=\frac{(4+7)×4}{2}=22$。
【答案】
22
【知识点】
平移的性质，梯形面积计算
【点评】
本题考查平移性质的实际应用，解题的关键是通过平移的性质将阴影部分的面积转化为规则梯形的面积，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是运用平移的性质：平移前后的图形全等，面积相等，对应边平行且相等，对应点连线的长度等于平移距离。首先由平移可得△ABC与△EFG面积相等，FG=BC=7，平移距离为4；再由FG//BC可知阴影部分是梯形，上底为BM=BC-CM=4，下底为FG=7，梯形的高等于平移距离4，最后代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵△ABC沿射线AB方向平移4个单位长度得到△EFG，
∴FG = BC = 7，平移距离为4，且FG//BC，△EFG的面积与△ABC的面积相等，
∵BC=7，CM=3，
∴BM = BC - CM = 7 - 3 = 4，
观察图形可知，阴影部分为梯形FGMB，上底BM=4，下底FG=7，两底之间的距离等于平移距离4，
根据梯形面积公式：$S_{梯形}=\frac{(上底+下底)×高}{2}$，
可得$S_{阴影}=\frac{(4+7)×4}{2}=22$。
【答案】
22
【知识点】
平移的性质，梯形面积计算
【点评】
本题考查平移性质的实际应用，解题的关键是通过平移的性质将阴影部分的面积转化为规则梯形的面积，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
