13. 如图,在平面直角坐标系中,将正方形$OABC$绕点$O$逆时针旋转$45°$后得到正方形$OA_1B_1C_1$,依此方式,绕点$O$连续旋转$2025$次得到正方形$OA_{2025}B_{2025}C_{2025}$,如果点$A$的坐标为$(1,0)$,那么点$B_{2025}$的坐标为.

第13题图 第14题图

13.$(0,\sqrt{2})$

【分析】
解题思路如下：1. 先根据正方形的性质求出初始状态下点B的坐标，以及OB的长度；2. 明确旋转规律：每次旋转45°，旋转8次（360°）后点B回到初始位置，即旋转周期为8；3. 计算2025除以8的余数，确定旋转2025次后点B的位置等价于旋转几次后的位置；4. 根据旋转后的角度结合OB长度，求出对应点的坐标。
【解析】
∵ 四边形OABC是正方形，点A坐标为$(1,0)$
∴ $OA=AB=1$，$∠ OAB=90°$，可得初始点B的坐标为$(1,1)$
由勾股定理得OB的长度为：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
∵ 每次逆时针旋转$45°$，旋转一周为$360°$
∴ 旋转周期为 $360° ÷ 45° =8$，即每旋转8次，点B回到初始位置
计算2025除以8的余数：$2025 ÷ 8 = 253······1$，即余数为1
说明旋转2025次后点$B_{2025}$的位置与旋转1次后$B_1$的位置相同
初始OB与x轴正方向夹角为$45°$，逆时针旋转$45°$后，OB与x轴正方向夹角为$90°$，即位于y轴正半轴上，OB长度不变仍为$\sqrt{2}$
∴ 点$B_{2025}$的坐标为$(0,\sqrt{2})$
【答案】
$(0,\sqrt{2})$
【知识点】
正方形的性质，旋转的性质，周期规律探究
【点评】
本题属于旋转类规律探究题，核心是抓住旋转过程中线段长度不变的特点，通过计算旋转周期和余数快速定位最终点的位置，能有效考查对图形旋转性质的掌握和规律探究能力。
【难度系数】
0.6

14.如图,等边三角形ABC内有一点E,BE=4,CE=6,当∠AEB=150°时,则AE的长为.

14.$2\sqrt{5}$

【分析】
本题是等边三角形内线段求值问题，可通过旋转构造全等三角形，将分散的三条线段AE、BE、CE集中到同一个三角形中求解。思考步骤：①利用等边三角形三边相等的特点，将含已知角∠AEB的三角形旋转，使等边三角形的两条边重合；②旋转后可得等边三角形，结合已知的150°角推出直角三角形；③最后利用勾股定理计算所求线段长度。
【解析】
将△ABE绕点B顺时针旋转60°，使AB与BC重合，得到△CBE'，连接EE'。
由旋转的性质可得：AE=CE'，BE=BE'=4，∠AEB=∠CE'B=150°，∠EBE'=60°。
∵BE=BE'，∠EBE'=60°，
∴△BEE'是等边三角形，
∴EE'=BE=4，∠BE'E=60°，
∴∠EE'C=∠CE'B - ∠BE'E=150°-60°=90°，即△EE'C是直角三角形。
在Rt△EE'C中，CE=6，EE'=4，由勾股定理得：
$CE'=\sqrt{CE^2 - EE'^2}=\sqrt{6^2 - 4^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
∴AE=CE'=$2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题通过旋转构造全等图形，将分散的线段转化到同一个直角三角形中，是解决等边三角形内部线段求值问题的常用技巧，解题关键是合理选择旋转中心和旋转角，构造出特殊三角形求解。
【难度系数】
0.6

15. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AB=5,点D在边BC上运动,以AD为边向右边作等边三角形ADE,连接CE,以下结论正确的有.(填序号)
①$AC=2.5$;
②$∠ BAD=∠ CAE$;
③当$∠ BAD=30°$时,$AE=BD$;
④$CE$长度的最小值为$1.25$.

15.①②③④

【分析】
我们逐个分析4个结论：
1. 判断①：利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，直接计算AC的长度即可；
2. 判断②：结合等边三角形内角为60°、Rt△ABC中∠BAC=60°的性质，减去公共角∠DAC，即可推导两角相等；
3. 判断③：当∠BAD=30°时，可推出△ABD中∠B=∠BAD，得到BD=AD，再结合等边三角形AD=AE的性质，即可得到AE=BD；
4. 判断④：构造全等三角形将CE转化为FD（F为AB中点），根据垂线段最短，FD的最小值即为点F到BC的距离，计算该距离即可得到CE的最小值。
【解析】
我们逐一验证结论：
1. 验证①：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=5，根据30°角所对直角边等于斜边一半，得$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×5=2.5$，故①正确；
2. 验证②：
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=90°-30°=60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAC=∠DAE，即∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，化简得∠BAD=∠CAE，故②正确；
3. 验证③：当∠BAD=30°时，
∵∠B=30°，
∴∠B=∠BAD，
∴BD=AD，又
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，
∴AE=BD，故③正确；
4. 验证④：取AB的中点F，连接DF，
∵F是AB中点，AB=5，
∴$AF=\frac{1}{2}AB=2.5$，
∴AF=AC，由②知∠FAD=∠CAE，又AD=AE，
∴△AFD≌△ACE（SAS），
∴CE=FD。当FD⊥BC时，FD的长度最小，此时F到BC的距离为Rt△ABC中位线的长度，即$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2.5=1.25$，故CE的最小值为1.25，④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短
【点评】
本题综合考查了特殊三角形的性质、全等三角形的应用以及最短路径的求解，需要结合图形特征转化线段，逐个分析结论，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4

三、解答题
16. 如图，$△ ABC$中任意一点$P(x_0,y_0)$经平移后对应点为$P_1(x_0-2,y_0-3)$，将$△ ABC$作同样的平移得到$△ A_1B_1C_1$.
(1)画出$△ A_1B_1C_1$；
(2)请直接写出点$A_1,B_1,C_1$的坐标；
(3)求$△ A_1B_1C_1$的面积.

16.(1)略
(2)$A_1(0,0),B_1(-4,-3),C_1(2,-4)$
(3)11

【分析】
本题围绕图形平移和面积计算展开，解题思路如下：1. 首先根据点P的平移规律，得出整体平移的方向和距离：横坐标减2即向左平移2个单位，纵坐标减3即向下平移3个单位，将△ABC三个顶点按此规则平移后连线即可完成画图；2. 直接用A、B、C三点的坐标按照平移规则计算，就能得到平移后对应点的坐标；3. 求平移后三角形的面积，采用网格中常用的割补法，将三角形放入外接矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可算出结果。
【解析】
(1) 由点$P(x_0,y_0)$平移后对应点为$P_1(x_0-2,y_0-3)$，可知平移规则为：图形上所有点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度。
分别将点A、B、C按上述规则平移得到对应点$A_1$、$B_1$、$C_1$，再顺次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$，即可得到$△ A_1B_1C_1$。（画图略）
(2) 已知$A(2,3)$、$B(-2,0)$、$C(4,-1)$，结合平移规则：
$A_1$的坐标为$(2-2,3-3)$，即$A_1(0,0)$；
$B_1$的坐标为$(-2-2,0-3)$，即$B_1(-4,-3)$；
$C_1$的坐标为$(4-2,-1-3)$，即$C_1(2,-4)$。
(3) 采用割补法计算$△ A_1B_1C_1$的面积：
首先构造包含$△ A_1B_1C_1$的矩形，矩形横向范围为$x=-4$到$x=2$，纵向范围为$y=-4$到$y=0$，矩形的长为$2-(-4)=6$，宽为$0-(-4)=4$，矩形面积为$6×4=24$。
再计算矩形中除$△ A_1B_1C_1$外的三个直角三角形的面积：
① 左上角直角三角形：两直角边长分别为4和3，面积为$\frac{1}{2}×4×3=6$；
② 右上角直角三角形：两直角边长分别为2和4，面积为$\frac{1}{2}×2×4=4$；
③ 下方直角三角形：两直角边长分别为6和1，面积为$\frac{1}{2}×6×1=3$。
因此$△ A_1B_1C_1$的面积为$24-6-4-3=11$。
【答案】
(1) 略；
(2) $A_1(0,0)$，$B_1(-4,-3)$，$C_1(2,-4)$；
(3) 11
【知识点】
坐标与图形平移，割补法求面积，平移的性质
【点评】
本题属于基础题型，考查平移的坐标变化规律和网格图形面积的计算方法，核心是掌握平移时点的坐标变化规则，熟练运用割补法解决网格中不规则图形的面积问题。
【难度系数】
0.7