17. 如图，$△ ABC$是等边三角形，$AD$是边$BC$上的高，将$AD$绕点$A$逆时针旋转$60°$得到$AF$，连接$FD$并延长交$AB$的延长线于点$E$，连接$BF$，$CF$，$CE$.
(1)求$∠ AEF$的度数；
(2)求证：四边形$BECF$为平行四边形.

17.(1)$∠AEF=30°$
(2)略

【分析】
(1) 求∠AEF的度数时，先利用等边三角形的性质得到AD⊥BC、∠BAD=30°、∠ABC=60°，再结合旋转的性质推出△ADF是等边三角形，得到∠ADF=60°，算出∠BDE的度数，最后利用三角形外角的性质即可求出∠AEF。
(2) 证明四边形BECF是平行四边形时，已知D是BC的中点，只需证明D也是EF的中点，即可通过“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得证。由(1)的结论可得∠AEF=∠BAD，推出ED=AD，结合等边△ADF中AD=DF，即可得到ED=DF，完成证明。
【解析】
(1) 解：
∵$△ ABC$是等边三角形，$AD$是$BC$边上的高，
∴$AD⊥ BC$，$∠ BAC=∠ ABC=60°$，$AD$平分$∠ BAC$，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$，$∠ ADB=90°$。
∵将$AD$绕点$A$逆时针旋转$60°$得到$AF$，
∴$AD=AF$，$∠ DAF=60°$，
∴$△ ADF$是等边三角形，
∴$∠ ADF=60°$，
∴$∠ BDE=∠ ADB-∠ ADF=90°-60°=30°$。
∵$∠ ABC$是$△ BDE$的外角，
∴$∠ ABC=∠ AEF+∠ BDE$，
∴$∠ AEF=∠ ABC-∠ BDE=60°-30°=30°$。
(2) 证明：由(1)可知$∠ AEF=30°$，$∠ BAD=30°$，
∴$∠ AEF=∠ BAD$，
∴$ED=AD$。
∵$△ ADF$是等边三角形，
∴$AD=DF$，
∴$ED=DF$。
∵$△ ABC$是等边三角形，$AD$是$BC$边上的高，
∴$BD=CD$，
∴四边形$BECF$的对角线$EF$、$BC$互相平分，
∴四边形$BECF$是平行四边形。
【答案】
(1) $\boxed{30°}$
(2) 证明见解析
【知识点】
等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；旋转的性质
【点评】
本题是几何综合题，将旋转、等边三角形、平行四边形的知识点结合考查，解题关键是熟练掌握各几何图形的性质，通过角的关系推导边的关系，找到判定平行四边形的条件。
【难度系数】
0.65

18.如图，已知直线$AB // CD$，$∠ A = ∠ C = 100°$，$E,F$在$CD$上，且满足$∠ DBF = ∠ ABD$，$BE$平分$∠ CBF$.
(1)直线$AD$与$BC$有何位置关系？请说明理由.
(2)求$∠ DBE$的度数.
(3)若平行移动$AD$，在此过程中，是否存在某种情况，使$∠ BEC = ∠ ADB$？若存在，求出$∠ ADB$的度数；若不存在，请说明理由.

18.(1)直线$AD$与$BC$互相平行,理由略
(2)$∠DBE=40°$
(3)存在.$∠ADB=60°$

【分析】
(1)判断AD与BC的位置关系时，先利用AB//CD的性质得到∠A与∠ADC互补，再结合∠A=∠C的条件，等量代换得到∠C与∠ADC互补，即可依据平行线判定定理得到AD与BC的位置关系。
(2)求∠DBE的度数时，先由AB//CD求出∠ABC的度数，再结合角平分线的定义和∠DBF=∠ABD的条件，可推出∠DBE是∠ABC的一半，代入数值计算即可。
(3)探究是否存在∠BEC=∠ADB的情况时，可设∠ABD的度数为x，分别用含x的式子表示出∠BEC和∠ADB，根据两角相等列方程求解，若解出的角度合理则存在对应情况。
【解析】
(1)AD与BC互相平行，理由如下：
∵$AB // CD$，
∴$∠ A + ∠ ADC = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵$∠ A = ∠ C$，
∴$∠ C + ∠ ADC = 180°$，
∴$AD // BC$（同旁内角互补，两直线平行）。
(2)
∵$AB // CD$，
∴$∠ ABC + ∠ C = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∴$∠ ABC = 180° - 100° = 80°$，
∵BE平分$∠ CBF$，
∴$∠ EBF = ∠ CBE$，
又
∵$∠ DBF = ∠ ABD$，
∴$∠ DBE = ∠ DBF + ∠ EBF = \frac{1}{2}∠ ABF + \frac{1}{2}∠ CBF = \frac{1}{2}(∠ ABF + ∠ CBF) = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2} × 80° = 40°$。
(3)存在，理由如下：
设$∠ ABD = x$，则$∠ DBF = x$，
∵$AB // CD$，
∴$∠ BEC = ∠ ABE = ∠ ABD + ∠ DBE = x + 40°$，
$∠ BDC = ∠ ABD = x$，
又
∵$AB // CD$，$∠ A=100°$，
∴$∠ ADC = 180° - ∠ A = 80°$，
∴$∠ ADB = ∠ ADC - ∠ BDC = 80° - x$，
当$∠ BEC = ∠ ADB$时，有$x + 40° = 80° - x$，
解得$x = 20°$，
∴$∠ ADB = 80° - 20° = 60°$。
【答案】
(1)直线AD与BC互相平行；
(2)$∠ DBE=40°$；
(3)存在，$∠ ADB=60°$
【知识点】
平行线的判定与性质；角平分线的定义；方程思想的应用
【点评】
本题综合考查了平行线的性质、判定以及角平分线的定义，解题的关键是梳理清楚图中角的数量关系，第三问通过设未知数列方程的方法求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.65