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1[2026山西吕梁期末]我们解一元二次方程$x^2 -1=0$时，可以运用因式分解法，将此方程化为$(x-1)(x+1)=0$，从而得到两个一元一次方程：$x-1=0,x+1=0$，所以原方程的解为$x_1=1,x_2=-1$.这种解法体现的数学思想是（
A.整体思想
B.模型思想
C.函数思想
D.转化思想
D
）A.整体思想
B.模型思想
C.函数思想
D.转化思想
答案
1.D 【解析】由题意得,这种把一元二次方程转化为两个一元一次方程的解法体现的数学思想是转化思想. 故选 D.
解析
【分析】
首先明确各选项对应的数学思想内涵：整体思想是将某部分看作统一整体处理的思想；模型思想是通过建立特定数学模型解决问题的思想；函数思想是借助函数的性质、关联关系分析解决问题的思想；转化思想是将未知、复杂的问题转化为已知、简单的问题来解决的思想。再对应题干的解方程过程：我们把不熟悉的一元二次方程，通过因式分解转化为已经熟练掌握的一元一次方程求解，符合转化思想的特征，即可选出正确答案。
【解析】
题干中解一元二次方程时，通过因式分解将原本的一元二次方程转化为两个一元一次方程，把未掌握的高次方程求解问题，转化为已掌握的低次方程求解问题，这种解法体现的是转化思想。故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 数学思想辨识
【点评】
本题考查对常见数学思想的理解与区分，解题核心是抓住不同数学思想的特征，结合题目的解题过程进行判断，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.8
首先明确各选项对应的数学思想内涵：整体思想是将某部分看作统一整体处理的思想；模型思想是通过建立特定数学模型解决问题的思想；函数思想是借助函数的性质、关联关系分析解决问题的思想；转化思想是将未知、复杂的问题转化为已知、简单的问题来解决的思想。再对应题干的解方程过程：我们把不熟悉的一元二次方程，通过因式分解转化为已经熟练掌握的一元一次方程求解，符合转化思想的特征，即可选出正确答案。
【解析】
题干中解一元二次方程时，通过因式分解将原本的一元二次方程转化为两个一元一次方程，把未掌握的高次方程求解问题，转化为已掌握的低次方程求解问题，这种解法体现的是转化思想。故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 数学思想辨识
【点评】
本题考查对常见数学思想的理解与区分，解题核心是抓住不同数学思想的特征，结合题目的解题过程进行判断，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.8
2[2025福建泉州期中]已知一元二次方程的两根分别为$x_1=1,x_2=-3$,则这个方程为 (
A.$(x-1)(x-3)=0$
B.$(x-1)(x+3)=0$
C.$(x+1)(x+3)=0$
D.$(x+1)(x-3)=0$
B
)A.$(x-1)(x-3)=0$
B.$(x-1)(x+3)=0$
C.$(x+1)(x+3)=0$
D.$(x+1)(x-3)=0$
答案
2.B 【解析】
|选项|分析|结论|
|----|----|----|
|A|$(x-1)(x-3) = 0$,解得$x_1 = 1,x_2 = 3$|不符合题意|
|B|$(x-1)(x+3) = 0$,解得$x_1 = 1,x_2 = -3$|符合题意|
|C|$(x+1)(x+3) = 0$,解得$x_1 = -1,x_2 = -3$|不符合题意|
|D|$(x+1)(x-3) = 0$,解得$x_1 = -1,x_2 = 3$|不符合题意|
故选 B.
|选项|分析|结论|
|----|----|----|
|A|$(x-1)(x-3) = 0$,解得$x_1 = 1,x_2 = 3$|不符合题意|
|B|$(x-1)(x+3) = 0$,解得$x_1 = 1,x_2 = -3$|符合题意|
|C|$(x+1)(x+3) = 0$,解得$x_1 = -1,x_2 = -3$|不符合题意|
|D|$(x+1)(x-3) = 0$,解得$x_1 = -1,x_2 = 3$|不符合题意|
故选 B.
解析
【分析】
解题有两种常见思路：思路1：逆用因式分解法解一元二次方程的原理，若一元二次方程的两个根为$x_1$、$x_2$，那么方程可以写成$(x-x_1)(x-x_2)=0$的形式，代入已知的两个根就能直接得到对应的方程；思路2：逐个求解每个选项中的一元二次方程，对比解是否为$x_1=1$、$x_2=-3$，选出符合的选项，两种方法都可快速得到答案。
【解析】
方法一（逆推法）：根据因式分解法解一元二次方程的逆运算，若方程的两根为$x_1=1$，$x_2=-3$，则方程可写为$(x-1)(x-(-3))=0$，整理得$(x-1)(x+3)=0$，对应选项B。
方法二（验证法）：
A选项：$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，不符合题意；
B选项：$(x-1)(x+3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$，符合题意；
C选项：$(x+1)(x+3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=-3$，不符合题意；
D选项：$(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，不符合题意。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础题，考查一元二次方程的根与因式分解形式的对应关系，两种解题思路都较为常规，熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题有两种常见思路：思路1：逆用因式分解法解一元二次方程的原理，若一元二次方程的两个根为$x_1$、$x_2$，那么方程可以写成$(x-x_1)(x-x_2)=0$的形式，代入已知的两个根就能直接得到对应的方程；思路2：逐个求解每个选项中的一元二次方程，对比解是否为$x_1=1$、$x_2=-3$，选出符合的选项，两种方法都可快速得到答案。
【解析】
方法一（逆推法）：根据因式分解法解一元二次方程的逆运算，若方程的两根为$x_1=1$，$x_2=-3$，则方程可写为$(x-1)(x-(-3))=0$，整理得$(x-1)(x+3)=0$，对应选项B。
方法二（验证法）：
A选项：$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，不符合题意；
B选项：$(x-1)(x+3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$，符合题意；
C选项：$(x+1)(x+3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=-3$，不符合题意；
D选项：$(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，不符合题意。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础题，考查一元二次方程的根与因式分解形式的对应关系，两种解题思路都较为常规，熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键。
【难度系数】
0.9
3 [2025 山东菏泽期末]方程$x^2+2x=x+2$的根是（
A.$x=1$
B.$x=2$
C.$x_1=1,x_2=2$
D.$x_1=1,x_2=-2$
D
）A.$x=1$
B.$x=2$
C.$x_1=1,x_2=2$
D.$x_1=1,x_2=-2$
答案
3.D 【解析】原方程可化为 $x(x+2)-(x+2) = 0$,即$(x-1)(x+2) = 0$,$\therefore x-1 = 0$ 或 $x+2 = 0$,解得 $x_1 = 1$,$x_2 = -2$. 故选 D.
解析
【分析】
本题考查用因式分解法求解一元二次方程，解题思路如下：首先遵循因式分解法解方程的原则，先将方程所有项移到等号左侧，使右侧为0，避免直接两边除以含未知数的整式造成漏根；接着观察左侧多项式的特点，提取公因式将多项式分解为两个一次整式的乘积；最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，转化为两个一元一次方程求解，即可得到方程的根。
【解析】
先将原方程移项，把右侧的$x+2$移到左侧，得：
$x^2+2x-(x+2)=0$
对左侧因式分解，提取公因式$(x+2)$，可得：
$(x+2)(x-1)=0$
根据因式分解法解方程的原理，得：
$x-1=0$ 或 $x+2=0$
分别解两个一次方程，得$x_1=1$，$x_2=-2$。
因此本题选D。
【答案】D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，解题时需注意不要直接在方程两边同时除以含未知数的整式，否则容易漏掉$x=-2$这个根，熟练掌握移项、提取公因式的操作即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查用因式分解法求解一元二次方程，解题思路如下：首先遵循因式分解法解方程的原则，先将方程所有项移到等号左侧，使右侧为0，避免直接两边除以含未知数的整式造成漏根；接着观察左侧多项式的特点，提取公因式将多项式分解为两个一次整式的乘积；最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，转化为两个一元一次方程求解，即可得到方程的根。
【解析】
先将原方程移项，把右侧的$x+2$移到左侧，得：
$x^2+2x-(x+2)=0$
对左侧因式分解，提取公因式$(x+2)$，可得：
$(x+2)(x-1)=0$
根据因式分解法解方程的原理，得：
$x-1=0$ 或 $x+2=0$
分别解两个一次方程，得$x_1=1$，$x_2=-2$。
因此本题选D。
【答案】D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，解题时需注意不要直接在方程两边同时除以含未知数的整式，否则容易漏掉$x=-2$这个根，熟练掌握移项、提取公因式的操作即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4[2026湖北襄阳质检]若三角形两边的长分别是7和11，第三边的长是一元二次方程$x^2 -25=2(x-5)^2$的一个实数根，则该三角形的周长是（
A.23
B.23或33
C.24
D.24或30
5 方程$x^2+6x+9=0$的解是
B
）A.23
B.23或33
C.24
D.24或30
5 方程$x^2+6x+9=0$的解是
$x_1=x_2=-3$
.答案
4.B 【解析】$x^2 -25 = 2(x-5)^2$,$(x+5)(x-5)-2(x-5)^2=0$,$(x-5)[(x+5)-2(x-5)] = 0$,$(x-5)(-x+15) = 0$,$x_1 = 5$,$x_2 = 15$. $\because$ 三角形两边的长分别是7和11,$\therefore 11-7＜$第三边的长$＜7+11$,$\therefore 4＜$第三边的长$＜18$,$\therefore 7,11,5$ 和 $7,11,15$ 均满足三角形三边关系,$\therefore$ 该三角形的周长是 $7+11+5 = 23$ 或 $7+11+15 = 33$. 故选 B.
5.$x_1=x_2=-3$ 【解析】$x^2+6x+9=0$,$(x+3)^2=0$,解得$x_1=x_2=-3$.
5.$x_1=x_2=-3$ 【解析】$x^2+6x+9=0$,$(x+3)^2=0$,解得$x_1=x_2=-3$.
解析
---
第4题
【分析】
要解决本题需分三步思考：①先求解给定的一元二次方程，得到第三边的可能取值；②根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），判断求出的根是否满足构成三角形的条件；③将符合条件的第三边长代入，计算三角形的周长即可。解方程时可利用平方差公式对左边变形，再提取公因式简化计算，避免直接展开出错。
【解析】
先解方程$x^2 -25=2(x-5)^2$：
1. 方程左边用平方差公式变形得：$(x+5)(x-5)=2(x-5)^2$
2. 移项得：$(x+5)(x-5)-2(x-5)^2=0$
3. 提取公因式$(x-5)$得：$(x-5)[(x+5)-2(x-5)]=0$
4. 整理括号内的式子得：$(x-5)(-x+15)=0$
5. 解得：$x_1=5$，$x_2=15$
已知三角形两边长为7和11，根据三边关系，第三边的取值范围为：
$11-7 ＜ 第三边长 ＜ 11+7$，即$4 ＜ 第三边长 ＜ 18$。
$x=5$和$x=15$都在取值范围内，均符合三边关系：
当第三边长为5时，周长为$7+11+5=23$
当第三边长为15时，周长为$7+11+15=33$
因此三角形周长为23或33。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解方程，三角形三边关系
【点评】
本题综合了一元二次方程求解和三角形三边关系的应用，易错点是解完方程后忘记验证三边能否构成三角形，需注意求出的根只有满足三边关系才能作为三角形的边长。
【难度系数】
0.7
---
第5题
【分析】
观察方程$x^2+6x+9=0$的左边，符合完全平方公式的形式，因此先利用完全平方公式对左边因式分解，再求解一元二次方程即可。
【解析】
对原方程左边因式分解得：$(x+3)^2=0$
因此$x+3=0$，解得$x_1=x_2=-3$。
【答案】
$x_1=x_2=-3$
【知识点】
因式分解法解方程，完全平方公式
【点评】
本题考查用因式分解法解特殊的一元二次方程，熟练掌握完全平方公式的结构是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
第4题
【分析】
要解决本题需分三步思考：①先求解给定的一元二次方程，得到第三边的可能取值；②根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），判断求出的根是否满足构成三角形的条件；③将符合条件的第三边长代入，计算三角形的周长即可。解方程时可利用平方差公式对左边变形，再提取公因式简化计算，避免直接展开出错。
【解析】
先解方程$x^2 -25=2(x-5)^2$：
1. 方程左边用平方差公式变形得：$(x+5)(x-5)=2(x-5)^2$
2. 移项得：$(x+5)(x-5)-2(x-5)^2=0$
3. 提取公因式$(x-5)$得：$(x-5)[(x+5)-2(x-5)]=0$
4. 整理括号内的式子得：$(x-5)(-x+15)=0$
5. 解得：$x_1=5$，$x_2=15$
已知三角形两边长为7和11，根据三边关系，第三边的取值范围为：
$11-7 ＜ 第三边长 ＜ 11+7$，即$4 ＜ 第三边长 ＜ 18$。
$x=5$和$x=15$都在取值范围内，均符合三边关系：
当第三边长为5时，周长为$7+11+5=23$
当第三边长为15时，周长为$7+11+15=33$
因此三角形周长为23或33。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解方程，三角形三边关系
【点评】
本题综合了一元二次方程求解和三角形三边关系的应用，易错点是解完方程后忘记验证三边能否构成三角形，需注意求出的根只有满足三边关系才能作为三角形的边长。
【难度系数】
0.7
---
第5题
【分析】
观察方程$x^2+6x+9=0$的左边，符合完全平方公式的形式，因此先利用完全平方公式对左边因式分解，再求解一元二次方程即可。
【解析】
对原方程左边因式分解得：$(x+3)^2=0$
因此$x+3=0$，解得$x_1=x_2=-3$。
【答案】
$x_1=x_2=-3$
【知识点】
因式分解法解方程，完全平方公式
【点评】
本题考查用因式分解法解特殊的一元二次方程，熟练掌握完全平方公式的结构是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
6[2025江苏南京模拟]方程$x(3x+2)-(3x+2)=0$的解是
$x_1=1,x_2=-\frac{2}{3}$
.答案
6.$x_1=1,x_2=-\frac{2}{3}$ 【解析】$\because x(3x+2)-(3x+2) = 0$,$\therefore (3x+2)(x-1) = 0$,则 $x-1 = 0$ 或 $3x+2 = 0$,解得$x_1=1,x_2=-\frac{2}{3}$. 故答案为 $x_1=1,x_2=-\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
观察方程结构，发现两项含有相同的公因式$(3x+2)$，适合采用因式分解法求解。解题思路为：第一步提取公因式，将原方程转化为两个一次因式乘积等于0的形式；第二步依据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程；第三步分别求解两个一元一次方程，即可得到原方程的解。
【解析】
解：对原方程提取公因式$(3x+2)$，可得：
$(3x+2)(x-1)=0$
根据乘积为0的性质，得：
$x-1=0 \mathrm{ 或 } 3x+2=0$
分别解两个一元一次方程：
当$x-1=0$时，解得$x_1=1$；
当$3x+2=0$时，移项得$3x=-2$，解得$x_2=-\frac{2}{3}$。
【答案】
$x_1=1,x_2=-\frac{2}{3}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提取公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查对因式分解法的运用，解题核心是准确识别方程中的公因式，通过降次简化计算，避免直接展开带来的额外运算。
【难度系数】
0.8
观察方程结构，发现两项含有相同的公因式$(3x+2)$，适合采用因式分解法求解。解题思路为：第一步提取公因式，将原方程转化为两个一次因式乘积等于0的形式；第二步依据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程；第三步分别求解两个一元一次方程，即可得到原方程的解。
【解析】
解：对原方程提取公因式$(3x+2)$，可得：
$(3x+2)(x-1)=0$
根据乘积为0的性质，得：
$x-1=0 \mathrm{ 或 } 3x+2=0$
分别解两个一元一次方程：
当$x-1=0$时，解得$x_1=1$；
当$3x+2=0$时，移项得$3x=-2$，解得$x_2=-\frac{2}{3}$。
【答案】
$x_1=1,x_2=-\frac{2}{3}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提取公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查对因式分解法的运用，解题核心是准确识别方程中的公因式，通过降次简化计算，避免直接展开带来的额外运算。
【难度系数】
0.8
7 已知$x=0$是关于$x$的一元二次方程$ax^2 + 2ax + a - 1 = 0$的一个解，则此方程的另一个解为
$x=-2$
。答案
7.$x=-2$ 【解析】把 $x=0$ 代入方程得 $a-1=0$,$\therefore a=1$,$\therefore$ 方程为 $x^2+2x=0$,$\therefore x(x+2)=0$,$\therefore x_1=0$,$x_2=-2$,故答案为 $x=-2$.
解析
【分析】
首先，根据一元二次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，所以将已知解x=0代入原方程，可求出参数a的值，且需满足二次项系数a≠0；再把求出的a代入原方程，得到具体的一元二次方程，用因式分解法求解，即可得到方程的另一个解。
【解析】
将x=0代入方程$ax^2 + 2ax + a - 1 = 0$，得：
$a×0^2 + 2a×0 + a - 1 = 0$
化简得$a - 1 = 0$，解得$a=1$。
∵原方程是一元二次方程，$a=1≠0$，符合要求。
将$a=1$代入原方程，得：
$x^2 + 2x + 1 - 1 = 0$，即$x^2 + 2x = 0$
对左边因式分解，提取公因式x得：$x(x + 2) = 0$
∴$x=0$或$x+2=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-2$
即方程的另一个解为$x=-2$。
【答案】
$x=-2$
【知识点】
一元二次方程的解；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查方程解的应用和因式分解法解方程的能力，解题的关键是先通过已知根求出参数的值，得到确定的方程后再求解，熟练掌握相关概念和方法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
首先，根据一元二次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，所以将已知解x=0代入原方程，可求出参数a的值，且需满足二次项系数a≠0；再把求出的a代入原方程，得到具体的一元二次方程，用因式分解法求解，即可得到方程的另一个解。
【解析】
将x=0代入方程$ax^2 + 2ax + a - 1 = 0$，得：
$a×0^2 + 2a×0 + a - 1 = 0$
化简得$a - 1 = 0$，解得$a=1$。
∵原方程是一元二次方程，$a=1≠0$，符合要求。
将$a=1$代入原方程，得：
$x^2 + 2x + 1 - 1 = 0$，即$x^2 + 2x = 0$
对左边因式分解，提取公因式x得：$x(x + 2) = 0$
∴$x=0$或$x+2=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-2$
即方程的另一个解为$x=-2$。
【答案】
$x=-2$
【知识点】
一元二次方程的解；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查方程解的应用和因式分解法解方程的能力，解题的关键是先通过已知根求出参数的值，得到确定的方程后再求解，熟练掌握相关概念和方法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
8 用因式分解法解方程：
(1)$(x+2)^2 = 3x + 6$；(2)$2(x+1)^2 = x^2 - 1$
(1)$(x+2)^2 = 3x + 6$；(2)$2(x+1)^2 = x^2 - 1$
答案
8.【解】(1)$(x+2)^2 = 3x+6$,$(x+2)^2-3(x+2) = 0$,$(x+2)(x+2-3) = 0$,则 $x+2=0$ 或 $x-1=0$,解得 $x_1=-2$,$x_2=1$.
(2)$2(x+1)^2 = x^2-1$,$2(x+1)^2-(x+1)(x-1) = 0$,$(x+1)[2(x+1)-(x-1)] = 0$,$(x+1)(2x+2-x+1) = 0$,$(x+1)(x+3) = 0$,则 $x+1=0$ 或 $x+3=0$,解得 $x_1=-1$,$x_2=-3$.
(2)$2(x+1)^2 = x^2-1$,$2(x+1)^2-(x+1)(x-1) = 0$,$(x+1)[2(x+1)-(x-1)] = 0$,$(x+1)(2x+2-x+1) = 0$,$(x+1)(x+3) = 0$,则 $x+1=0$ 或 $x+3=0$,解得 $x_1=-1$,$x_2=-3$.
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程变形为“两个一次因式乘积为0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”降次为一元一次方程求解。解题时优先观察方程结构，不要盲目展开多项式：
(1) 观察到方程右侧3x+6可提取公因式3变形为3(x+2)，将右侧整体移到左侧后，两项都含有公因式(x+2)，提取公因式即可分解求解；
(2) 方程右侧x²-1符合平方差公式结构，可分解为(x+1)(x-1)，移项后两项都含有公因式(x+1)，提取公因式即可分解求解。
【解析】
(1) 原方程整理得：
$(x+2)^2 - 3(x+2) = 0$
提取公因式$(x+2)$得：
$(x+2)(x+2-3) = 0$
即$(x+2)(x-1)=0$
令$x+2=0$或$x-1=0$，分别解得：
$x_1=-2$，$x_2=1$
(2) 原方程整理得：
$2(x+1)^2 - (x+1)(x-1) = 0$
提取公因式$(x+1)$得：
$(x+1)[2(x+1)-(x-1)] = 0$
化简括号内的式子：
$(x+1)(2x+2-x+1) = 0$
即$(x+1)(x+3)=0$
令$x+1=0$或$x+3=0$，分别解得：
$x_1=-1$，$x_2=-3$
【答案】
(1) $x_1=-2$，$x_2=1$；(2) $x_1=-1$，$x_2=-3$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
3. 平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础题型，解题时优先观察方程的结构特征，通过提取公因式或套用乘法公式分解因式，可避免盲目展开多项式带来的计算麻烦，有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程变形为“两个一次因式乘积为0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”降次为一元一次方程求解。解题时优先观察方程结构，不要盲目展开多项式：
(1) 观察到方程右侧3x+6可提取公因式3变形为3(x+2)，将右侧整体移到左侧后，两项都含有公因式(x+2)，提取公因式即可分解求解；
(2) 方程右侧x²-1符合平方差公式结构，可分解为(x+1)(x-1)，移项后两项都含有公因式(x+1)，提取公因式即可分解求解。
【解析】
(1) 原方程整理得：
$(x+2)^2 - 3(x+2) = 0$
提取公因式$(x+2)$得：
$(x+2)(x+2-3) = 0$
即$(x+2)(x-1)=0$
令$x+2=0$或$x-1=0$，分别解得：
$x_1=-2$，$x_2=1$
(2) 原方程整理得：
$2(x+1)^2 - (x+1)(x-1) = 0$
提取公因式$(x+1)$得：
$(x+1)[2(x+1)-(x-1)] = 0$
化简括号内的式子：
$(x+1)(2x+2-x+1) = 0$
即$(x+1)(x+3)=0$
令$x+1=0$或$x+3=0$，分别解得：
$x_1=-1$，$x_2=-3$
【答案】
(1) $x_1=-2$，$x_2=1$；(2) $x_1=-1$，$x_2=-3$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
3. 平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础题型，解题时优先观察方程的结构特征，通过提取公因式或套用乘法公式分解因式，可避免盲目展开多项式带来的计算麻烦，有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
9 [2025 山西晋城质检]解方程 $2(x-2)^2 = 3(2-x)$最合适的方法是 （
A.配方法
B.公式法
C.因式分解法
D.直接开平方法
C
）A.配方法
B.公式法
C.因式分解法
D.直接开平方法
答案
9.C 【解析】$2(x-2)^2 = 3(2-x)$,$2(x-2)^2+3(x-2) = 0$,$(x-2)[2(x-2)+3] = 0$,$\therefore$ 最合适的方法是因式分解法. 故选 C.
解析
【分析】
首先观察方程的结构特征：方程左边是含$(x-2)$的平方项，右边是含$(2-x)$的一次项，$(2-x)$与$(x-2)$互为相反数，可变形为$-(x-2)$，因此方程两边存在关联的公因式结构，无需展开为一元二次方程的一般形式，仅需移项后提取公因式即可快速求解。其余方法中，直接开平方法要求等号右边为常数，不符合方程结构；配方法、公式法需要先展开方程，计算更繁琐，均不是最优解法。
【解析】
对原方程进行变形求解：
原方程为$2(x-2)^2 = 3(2-x)$
移项并将$2-x$转化为$-(x-2)$，得$2(x-2)^2 + 3(x-2) = 0$
提取公因式$(x-2)$，得$(x-2)[2(x-2)+3] = 0$
通过上述步骤即可快速求解方程，因此最合适的方法是因式分解法。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程解法选择，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题侧重考查一元二次方程的解法选择，解题核心是根据方程的结构特征匹配对应解法，选择合适的方法可大幅减少计算量，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
首先观察方程的结构特征：方程左边是含$(x-2)$的平方项，右边是含$(2-x)$的一次项，$(2-x)$与$(x-2)$互为相反数，可变形为$-(x-2)$，因此方程两边存在关联的公因式结构，无需展开为一元二次方程的一般形式，仅需移项后提取公因式即可快速求解。其余方法中，直接开平方法要求等号右边为常数，不符合方程结构；配方法、公式法需要先展开方程，计算更繁琐，均不是最优解法。
【解析】
对原方程进行变形求解：
原方程为$2(x-2)^2 = 3(2-x)$
移项并将$2-x$转化为$-(x-2)$，得$2(x-2)^2 + 3(x-2) = 0$
提取公因式$(x-2)$，得$(x-2)[2(x-2)+3] = 0$
通过上述步骤即可快速求解方程，因此最合适的方法是因式分解法。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程解法选择，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题侧重考查一元二次方程的解法选择，解题核心是根据方程的结构特征匹配对应解法，选择合适的方法可大幅减少计算量，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
10[2025浙江杭州期中](1)关于$x$的方程$x(x-1)=3(x-1)$,下列解法完全正确的是
(2)选择合适的方法解方程$x(x-3)=2x-6$.
丁
.(2)选择合适的方法解方程$x(x-3)=2x-6$.
答案
10.【解】(1)甲的解法错误,方程两边不能同时除以$(x-1)$,这样会漏解；乙的解法错误,移项时$3(x-1)$没有变号；丙的解法错误,没有将原方程整理成一元二次方程的一般形式,$c$的值错误；丁利用配方法解方程,计算正确. 故答案为丁.
(2)原方程整理得 $x(x-3)-2(x-3) = 0$,$\therefore (x-3)(x-2) = 0$,$\therefore x-3=0$ 或 $x-2=0$,$\therefore x_1=3$,$x_2=2$.
(2)原方程整理得 $x(x-3)-2(x-3) = 0$,$\therefore (x-3)(x-2) = 0$,$\therefore x-3=0$ 或 $x-2=0$,$\therefore x_1=3$,$x_2=2$.
解析
【分析】
(1)判断解法是否正确，需逐一对照解方程的规则分析：①解方程时不能直接除以可能为0的含未知数的整式，否则会漏解；②移项时移动的项要变号；③使用公式法解方程，需先将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，再确定$a、b、c$的取值；④配方法需按照移项、配方、开方的步骤规范计算。
(2)观察第二个方程的结构，右侧$2x-6$可变形为$2(x-3)$，左右两侧有公因式$(x-3)$，选择因式分解法求解更简便，按移项、提取公因式、转化为一元一次方程的步骤求解即可。
【解析】
(1)逐个分析四种解法：
甲：直接在方程两边除以$(x-1)$，未考虑$x-1=0$的情况，会漏掉$x=1$的解，解法错误；
乙：移项时$3(x-1)$从等号右侧移到左侧应变号为$-3(x-1)$，乙误写为$+3(x-1)$，移项错误，解法错误；
丙：未将方程整理为一般形式就确定$a、b、c$，原方程整理为一般式是$x^2-4x+3=0$，因此$c=3$，丙误取$c=-3$，计算结果错误，解法错误；
丁：使用配方法，先整理得$x^2-4x=-3$，配方时左右两侧同时加一次项系数一半的平方4，得到$(x-2)^2=1$，开方求解步骤正确，解法正确。
(2)解方程$x(x-3)=2x-6$：
先对右侧变形，移项得$x(x-3)-2(x-3)=0$，
提取公因式$(x-3)$，得$(x-3)(x-2)=0$，
根据乘积为0的性质，可得$x-3=0$或$x-2=0$，
分别解两个一元一次方程，得$x_1=3$，$x_2=2$。
【答案】
(1)丁；(2)$x_1=3$，$x_2=2$
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法解方程，配方法解方程
【点评】
本题考查一元二次方程的解法及常见易错点，解题时需注意不要随意除以含未知数的整式避免漏解，移项要注意变号，用公式法需先化为一般形式，同时可以根据方程的结构特点选择更简便的解法，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
(1)判断解法是否正确，需逐一对照解方程的规则分析：①解方程时不能直接除以可能为0的含未知数的整式，否则会漏解；②移项时移动的项要变号；③使用公式法解方程，需先将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，再确定$a、b、c$的取值；④配方法需按照移项、配方、开方的步骤规范计算。
(2)观察第二个方程的结构，右侧$2x-6$可变形为$2(x-3)$，左右两侧有公因式$(x-3)$，选择因式分解法求解更简便，按移项、提取公因式、转化为一元一次方程的步骤求解即可。
【解析】
(1)逐个分析四种解法：
甲：直接在方程两边除以$(x-1)$，未考虑$x-1=0$的情况，会漏掉$x=1$的解，解法错误；
乙：移项时$3(x-1)$从等号右侧移到左侧应变号为$-3(x-1)$，乙误写为$+3(x-1)$，移项错误，解法错误；
丙：未将方程整理为一般形式就确定$a、b、c$，原方程整理为一般式是$x^2-4x+3=0$，因此$c=3$，丙误取$c=-3$，计算结果错误，解法错误；
丁：使用配方法，先整理得$x^2-4x=-3$，配方时左右两侧同时加一次项系数一半的平方4，得到$(x-2)^2=1$，开方求解步骤正确，解法正确。
(2)解方程$x(x-3)=2x-6$：
先对右侧变形，移项得$x(x-3)-2(x-3)=0$，
提取公因式$(x-3)$，得$(x-3)(x-2)=0$，
根据乘积为0的性质，可得$x-3=0$或$x-2=0$，
分别解两个一元一次方程，得$x_1=3$，$x_2=2$。
【答案】
(1)丁；(2)$x_1=3$，$x_2=2$
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法解方程，配方法解方程
【点评】
本题考查一元二次方程的解法及常见易错点，解题时需注意不要随意除以含未知数的整式避免漏解，移项要注意变号，用公式法需先化为一般形式，同时可以根据方程的结构特点选择更简便的解法，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
11 选择合适的方法解方程：
(1)[2025上海徐汇区期中]$4(3x-4)^2=(4x-3)^2$；
(2)$\sqrt{3}x^2=6x-\sqrt{3}$；
(3)$x^2-2x-1=0$。
(1)[2025上海徐汇区期中]$4(3x-4)^2=(4x-3)^2$；
(2)$\sqrt{3}x^2=6x-\sqrt{3}$；
(3)$x^2-2x-1=0$。
答案
11.【解】(1)$4(3x-4)^2=(4x-3)^2$,移项,得$4(3x-4)^2-(4x-3)^2=0$.因式分解,得$[2(3x-4)-(4x-3)][2(3x-4)+(4x-3)] = 0$,$\therefore (6x-8-4x+3)(6x-8+4x-3) = 0$,即$(2x-5)(10x-11) = 0$,$\therefore 2x-5=0$ 或 $10x-11=0$,$\therefore x_1=\frac{5}{2}$,$x_2=\frac{11}{10}$.
(2)$\sqrt{3}x^2=6x-\sqrt{3}$,移项,得$\sqrt{3}x^2-6x=-\sqrt{3}$. 二次项系数化为1,得$x^2-2\sqrt{3}x=-1$. 配方,得$x^2-2\sqrt{3}x+(\sqrt{3})^2=-1+(\sqrt{3})^2$,即$(x-\sqrt{3})^2=2$. 由此可得$x-\sqrt{3}=\pm\sqrt{2}$,解得$x_1=\sqrt{3}+\sqrt{2}$,$x_2=\sqrt{3}-\sqrt{2}$.
(3)$x^2-2x-1=0$,$\because a=1,b=-2,c=-1$,$\therefore \Delta=(-2)^2-4×1×(-1)=8＞0$,$\therefore x=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=1\pm\sqrt{2}$,即$x_1=1+\sqrt{2}$,$x_2=1-\sqrt{2}$.
(2)$\sqrt{3}x^2=6x-\sqrt{3}$,移项,得$\sqrt{3}x^2-6x=-\sqrt{3}$. 二次项系数化为1,得$x^2-2\sqrt{3}x=-1$. 配方,得$x^2-2\sqrt{3}x+(\sqrt{3})^2=-1+(\sqrt{3})^2$,即$(x-\sqrt{3})^2=2$. 由此可得$x-\sqrt{3}=\pm\sqrt{2}$,解得$x_1=\sqrt{3}+\sqrt{2}$,$x_2=\sqrt{3}-\sqrt{2}$.
(3)$x^2-2x-1=0$,$\because a=1,b=-2,c=-1$,$\therefore \Delta=(-2)^2-4×1×(-1)=8＞0$,$\therefore x=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=1\pm\sqrt{2}$,即$x_1=1+\sqrt{2}$,$x_2=1-\sqrt{2}$.
解析
【分析】
本题需根据一元二次方程的结构特征选择最优解法：(1)方程左右两侧均为完全平方式，符合平方差公式结构，优先选用因式分解法，先移项使右侧为0，再用平方差公式分解为两个一次因式乘积，转化为一元一次方程求解；(2)方程含无理数系数，移项后将二次项系数化为1，一次项系数为偶数倍的根号，适合用配方法，配方后转化为完全平方式等于常数的形式，再开方求解；(3)方程为标准一般式，系数简单，可选用公式法，先计算判别式判断根的存在性，再代入求根公式计算即可。
【解析】
(1) 对$4(3x-4)^2=(4x-3)^2$移项，得$4(3x-4)^2-(4x-3)^2=0$。因式分解，得$[2(3x-4)-(4x-3)][2(3x-4)+(4x-3)] = 0$，$\therefore (6x-8-4x+3)(6x-8+4x-3) = 0$，即$(2x-5)(10x-11) = 0$，$\therefore 2x-5=0$ 或 $10x-11=0$，解得$x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=\frac{11}{10}$。
(2) 对$\sqrt{3}x^2=6x-\sqrt{3}$移项，得$\sqrt{3}x^2-6x=-\sqrt{3}$。二次项系数化为1，得$x^2-2\sqrt{3}x=-1$。配方，得$x^2-2\sqrt{3}x+(\sqrt{3})^2=-1+(\sqrt{3})^2$，即$(x-\sqrt{3})^2=2$。由此可得$x-\sqrt{3}=\pm\sqrt{2}$，解得$x_1=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$x_2=\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
(3) 对$x^2-2x-1=0$，由$a=1,b=-2,c=-1$，得$\Delta=(-2)^2-4×1×(-1)=8＞0$，$\therefore x=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=1\pm\sqrt{2}$，即$x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{5}{2},x_2=\frac{11}{10}$；(2)$x_1=\sqrt{3}+\sqrt{2},x_2=\sqrt{3}-\sqrt{2}$；(3)$x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活选择，解题时需结合方程的结构特征选用最简便的解法，能够有效减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
本题需根据一元二次方程的结构特征选择最优解法：(1)方程左右两侧均为完全平方式，符合平方差公式结构，优先选用因式分解法，先移项使右侧为0，再用平方差公式分解为两个一次因式乘积，转化为一元一次方程求解；(2)方程含无理数系数，移项后将二次项系数化为1，一次项系数为偶数倍的根号，适合用配方法，配方后转化为完全平方式等于常数的形式，再开方求解；(3)方程为标准一般式，系数简单，可选用公式法，先计算判别式判断根的存在性，再代入求根公式计算即可。
【解析】
(1) 对$4(3x-4)^2=(4x-3)^2$移项，得$4(3x-4)^2-(4x-3)^2=0$。因式分解，得$[2(3x-4)-(4x-3)][2(3x-4)+(4x-3)] = 0$，$\therefore (6x-8-4x+3)(6x-8+4x-3) = 0$，即$(2x-5)(10x-11) = 0$，$\therefore 2x-5=0$ 或 $10x-11=0$，解得$x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=\frac{11}{10}$。
(2) 对$\sqrt{3}x^2=6x-\sqrt{3}$移项，得$\sqrt{3}x^2-6x=-\sqrt{3}$。二次项系数化为1，得$x^2-2\sqrt{3}x=-1$。配方，得$x^2-2\sqrt{3}x+(\sqrt{3})^2=-1+(\sqrt{3})^2$，即$(x-\sqrt{3})^2=2$。由此可得$x-\sqrt{3}=\pm\sqrt{2}$，解得$x_1=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$x_2=\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
(3) 对$x^2-2x-1=0$，由$a=1,b=-2,c=-1$，得$\Delta=(-2)^2-4×1×(-1)=8＞0$，$\therefore x=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=1\pm\sqrt{2}$，即$x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{5}{2},x_2=\frac{11}{10}$；(2)$x_1=\sqrt{3}+\sqrt{2},x_2=\sqrt{3}-\sqrt{2}$；(3)$x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活选择，解题时需结合方程的结构特征选用最简便的解法，能够有效减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
