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1 [2025 湖南娄底质检,中]关于x的方程$x^2 - 2mx + m^2 = 4$的两个根$x_1, x_2$满足$x_1 = 2x_2 + 3$，且$x_1 ＞ x_2$，则m的值为（
A.-3
B.1
C.3
D.9
C
）A.-3
B.1
C.3
D.9
答案
1.C 【解析】$\because x^2-2mx+m^2=4$,$\therefore (x-m)^2=4$,$\therefore x-m=2$ 或 $x-m=-2$. $\because x_1＞x_2$,$\therefore x_1=m+2$,$x_2=m-2$. $\because x_1=2x_2+3$,$\therefore m+2=2(m-2)+3$,解得 $m=3$. 故选 C.
解析
【分析】
解题时首先观察原方程的结构，左侧是完全平方式，因此可先将方程变形为平方等于常数的形式，用直接开平方法求出两个含参数m的根；再根据$x_1＞x_2$的条件，确定$x_1$、$x_2$对应的表达式；最后将两根代入已知的等量关系$x_1=2x_2+3$，得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
解：整理原方程：
$\because x^2 - 2mx + m^2 = 4$
$\therefore$由完全平方公式可得：$(x-m)^2 = 4$
开平方得：$x - m = 2$ 或 $x - m = -2$
解得两根为：$x = m+2$，$x = m-2$
$\because x_1 ＞ x_2$
$\therefore x_1 = m+2$，$x_2 = m-2$
又$\because x_1 = 2x_2 + 3$，将两根代入得：
$m + 2 = 2(m - 2) + 3$
展开整理得：$m + 2 = 2m - 1$
移项解得：$m = 3$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，直接开平方法解一元二次方程，解一元一次方程
【点评】
本题属于常规中等题型，核心是利用方程的结构特征快速求出含参数的两根，再结合给定的根的数量关系列方程求解，解题思路清晰，计算量小，掌握一元二次方程的基本解法即可轻松作答。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察原方程的结构，左侧是完全平方式，因此可先将方程变形为平方等于常数的形式，用直接开平方法求出两个含参数m的根；再根据$x_1＞x_2$的条件，确定$x_1$、$x_2$对应的表达式；最后将两根代入已知的等量关系$x_1=2x_2+3$，得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
解：整理原方程：
$\because x^2 - 2mx + m^2 = 4$
$\therefore$由完全平方公式可得：$(x-m)^2 = 4$
开平方得：$x - m = 2$ 或 $x - m = -2$
解得两根为：$x = m+2$，$x = m-2$
$\because x_1 ＞ x_2$
$\therefore x_1 = m+2$，$x_2 = m-2$
又$\because x_1 = 2x_2 + 3$，将两根代入得：
$m + 2 = 2(m - 2) + 3$
展开整理得：$m + 2 = 2m - 1$
移项解得：$m = 3$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，直接开平方法解一元二次方程，解一元一次方程
【点评】
本题属于常规中等题型，核心是利用方程的结构特征快速求出含参数的两根，再结合给定的根的数量关系列方程求解，解题思路清晰，计算量小，掌握一元二次方程的基本解法即可轻松作答。
【难度系数】
0.7
2[2026浙江杭州期中,中]已知方程$(x+a)(x+b)=0$有$M$个解,方程$(ax+1)(bx+1)=0$有$N$个解,其中$a≠b$,则 (
A.$M=N-1$或$M=N+1$
B.$M=N-1$或$M=N+2$
C.$M=N$或$M=N+1$
D.$M=N$或$M=N-1$
C
)A.$M=N-1$或$M=N+1$
B.$M=N-1$或$M=N+2$
C.$M=N$或$M=N+1$
D.$M=N$或$M=N-1$
答案
2.C 【解析】由$(x+a)(x+b)=0$,可得$x+a=0$ 或 $x+b=0$,即$x=-a$ 或 $x=-b$. $\because a≠ b$,$\therefore M=2$. 当$a=0$,$b≠0$时,方程$(ax+1)(bx+1)=0$为$bx+1=0$,解得$x=-\frac{1}{b}$,此时$N=1$; 当$a≠0$,$b=0$时,方程$(ax+1)(bx+1)=0$为$ax+1=0$,解得$x=-\frac{1}{a}$,此时$N=1$; 当$a≠0$,$b≠0$时,由方程$(ax+1)(bx+1)=0$可得$ax+1=0$ 或 $bx+1=0$,解得$x=-\frac{1}{a}$ 或 $x=-\frac{1}{b}$,此时$N=2$. $\therefore$ 当$a=0$且$b≠0$,或$a≠0$且$b=0$时,$M=2$,$N=1$,$M=N+1$; 当$a≠0$且$b≠0$时,$M=2$,$N=2$,$M=N$,$\therefore M=N$ 或 $M=N+1$. 故选 C.
解析
【分析】
解题时先利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质求解第一个方程的解的个数M，再对第二个方程中的参数a、b分情况讨论：当a、b其中一个为0时，第二个方程退化为一元一次方程，解的个数为1；当a、b均不为0时，第二个方程可拆分为两个一元一次方程，结合a≠b的条件得到解的个数为2，最后对比M和N的数量关系即可得到答案。
【解析】
1. 求解第一个方程的解的个数M
对于方程$(x+a)(x+b)=0$，可得$x+a=0$或$x+b=0$，解得$x=-a$或$x=-b$。
已知$a≠b$，因此两个解互不相同，故$M=2$。
2. 分情况讨论第二个方程的解的个数N
方程$(ax+1)(bx+1)=0$的解由$ax+1=0$和$bx+1=0$的解决定，分两类情况讨论：
① 当a、b其中一个为0，另一个不为0时：
比如$a=0,b≠0$，此时$ax+1=1$无对应解，方程退化为$bx+1=0$，解得$x=-\frac{1}{b}$，仅1个解，故$N=1$，此时$M=2=N+1$。
② 当$a≠0$且$b≠0$时：
由$ax+1=0$得$x=-\frac{1}{a}$，由$bx+1=0$得$x=-\frac{1}{b}$，结合$a≠b$可知两个解互不相同，故$N=2$，此时$M=2=N$。
综上可得$M=N$或$M=N+1$。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解方程、分类讨论思想、含参方程解的判定
【点评】
本题重点考查因式分解法解方程的应用，易错点是忽略a或b为0的特殊情况，未进行分类讨论导致判断错误，解题时要注意参数取值对方程解的个数的影响。
【难度系数】
0.65
解题时先利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质求解第一个方程的解的个数M，再对第二个方程中的参数a、b分情况讨论：当a、b其中一个为0时，第二个方程退化为一元一次方程，解的个数为1；当a、b均不为0时，第二个方程可拆分为两个一元一次方程，结合a≠b的条件得到解的个数为2，最后对比M和N的数量关系即可得到答案。
【解析】
1. 求解第一个方程的解的个数M
对于方程$(x+a)(x+b)=0$，可得$x+a=0$或$x+b=0$，解得$x=-a$或$x=-b$。
已知$a≠b$，因此两个解互不相同，故$M=2$。
2. 分情况讨论第二个方程的解的个数N
方程$(ax+1)(bx+1)=0$的解由$ax+1=0$和$bx+1=0$的解决定，分两类情况讨论：
① 当a、b其中一个为0，另一个不为0时：
比如$a=0,b≠0$，此时$ax+1=1$无对应解，方程退化为$bx+1=0$，解得$x=-\frac{1}{b}$，仅1个解，故$N=1$，此时$M=2=N+1$。
② 当$a≠0$且$b≠0$时：
由$ax+1=0$得$x=-\frac{1}{a}$，由$bx+1=0$得$x=-\frac{1}{b}$，结合$a≠b$可知两个解互不相同，故$N=2$，此时$M=2=N$。
综上可得$M=N$或$M=N+1$。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解方程、分类讨论思想、含参方程解的判定
【点评】
本题重点考查因式分解法解方程的应用，易错点是忽略a或b为0的特殊情况，未进行分类讨论导致判断错误，解题时要注意参数取值对方程解的个数的影响。
【难度系数】
0.65
3[中]对于任意实数$m,n$,规定$f(m,n)=m^2 - 2mn + 2n$,如$f(3,4)=3^2 - 2×3×4 + 2×4=-7$,若$f(x,2)=9$,则$x$的值是
$-1或5$
.答案
3.$-1或5$ 【解析】根据题意得 $x^2-4x+4=9$,整理得$(x-2)^2-9=0$,因式分解得$(x-2+3)(x-2-3)=0$,即$(x+1)(x-5)=0$,解得$x_1=-1$,$x_2=5$.
解析
【分析】
首先理解新定义运算$f(m,n)$的运算规则：将对应位置的数分别代入$m$、$n$，按照$m^2-2mn+2n$的形式计算。本题中给出$f(x,2)=9$，只需将$m=x$、$n=2$代入运算式，即可得到关于$x$的一元二次方程，再用因式分解法求解方程即可得到$x$的值。
【解析】
根据新定义的运算规则，将$m=x$，$n=2$代入$f(m,n)=9$，得：
$x^2 - 2× x×2 + 2×2 =9$
整理得：$x^2-4x+4=9$
移项得：$(x-2)^2 - 9=0$
利用平方差公式因式分解得：$(x-2+3)(x-2-3)=0$
即：$(x+1)(x-5)=0$
所以$x+1=0$或$x-5=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=5$。
【答案】
$-1$或$5$
【知识点】
新定义运算，因式分解法解一元二次方程，平方差公式
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的求解，解题的关键是准确理解新定义的运算规则，将陌生的新运算转化为熟悉的一元二次方程再求解，计算过程难度较低，注意代入数值时不要出错即可。
【难度系数】
0.7
首先理解新定义运算$f(m,n)$的运算规则：将对应位置的数分别代入$m$、$n$，按照$m^2-2mn+2n$的形式计算。本题中给出$f(x,2)=9$，只需将$m=x$、$n=2$代入运算式，即可得到关于$x$的一元二次方程，再用因式分解法求解方程即可得到$x$的值。
【解析】
根据新定义的运算规则，将$m=x$，$n=2$代入$f(m,n)=9$，得：
$x^2 - 2× x×2 + 2×2 =9$
整理得：$x^2-4x+4=9$
移项得：$(x-2)^2 - 9=0$
利用平方差公式因式分解得：$(x-2+3)(x-2-3)=0$
即：$(x+1)(x-5)=0$
所以$x+1=0$或$x-5=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=5$。
【答案】
$-1$或$5$
【知识点】
新定义运算，因式分解法解一元二次方程，平方差公式
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的求解，解题的关键是准确理解新定义的运算规则，将陌生的新运算转化为熟悉的一元二次方程再求解，计算过程难度较低，注意代入数值时不要出错即可。
【难度系数】
0.7
4[2025 山东滨州中考,较难]两个非零实数$m,n$满足$m^2+\sqrt{3}n=5$,$n^2+\sqrt{3}m=5$,且$m≠n$,则$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}=$
$-\frac{7}{2}$
.答案
4.$-\frac{7}{2}$ 【解析】由题意可知,$m^2+\sqrt{3}n=5$,$n^2+\sqrt{3}m=5$,将两式相减得$m^2+\sqrt{3}n-(n^2+\sqrt{3}m)=m^2+\sqrt{3}n-n^2-\sqrt{3}m=(m-n)(m+n)-\sqrt{3}(m-n)=(m-n)(m+n-\sqrt{3})=0$. $\because m≠ n$,$\therefore m-n≠0$,$\therefore m+n-\sqrt{3}=0$,$\therefore m+n=\sqrt{3}$. 将两式相加得$m^2+\sqrt{3}n+(n^2+\sqrt{3}m)=m^2+n^2+\sqrt{3}(m+n)=10$,$\therefore m^2+n^2+\sqrt{3}×\sqrt{3}=10$,$\therefore m^2+n^2=7$. $\because (m+n)^2=m^2+2mn+n^2$,$\therefore (\sqrt{3})^2=7+2mn$,解得$mn=-2$,$\therefore \frac{m}{n}+\frac{n}{m}=\frac{m^2+n^2}{mn}=-\frac{7}{2}$,故答案为$-\frac{7}{2}$.
解析
【分析】
观察已知的两个等式结构完全对称，且明确$m≠n$，可按以下思路解题：第一步，将两式相减，利用平方差公式因式分解，结合$m≠n$的条件求出$m+n$的值；第二步，将两式相加，代入已求出的$m+n$的值得到$m^2+n^2$的值；第三步，将待求分式$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}$通分变形为$\frac{m^2+n^2}{mn}$，再利用完全平方公式结合已得的$m+n$、$m^2+n^2$求出$mn$的值，最后代入计算即可得到结果。
【解析】
设$m^2+\sqrt{3}n=5$ ①，$n^2+\sqrt{3}m=5$ ②。
1. 两式相减求$m+n$：
①-②得：$m^2 - n^2 +\sqrt{3}n - \sqrt{3}m=0$，
因式分解得：$(m-n)(m+n)-\sqrt{3}(m-n)=0$，
即$(m-n)(m+n-\sqrt{3})=0$。
∵$m≠n$，
∴$m-n≠0$，
∴$m+n-\sqrt{3}=0$，即$m+n=\sqrt{3}$。
2. 两式相加求$m^2+n^2$：
①+②得：$m^2 + n^2 +\sqrt{3}(m+n)=10$，
将$m+n=\sqrt{3}$代入得：$m^2 + n^2 + 3=10$，
解得$m^2 + n^2=7$。
3. 利用完全平方公式求$mn$：
由完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，
代入$m+n=\sqrt{3}$、$m^2+n^2=7$得：$(\sqrt{3})^2=7+2mn$，
解得$mn=-2$。
4. 代入计算待求式：
$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}=\frac{m^2+n^2}{mn}=\frac{7}{-2}=-\frac{7}{2}$。
【答案】
$-\frac{7}{2}$
【知识点】
因式分解，完全平方公式，分式化简
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心是利用对称等式的特征，通过两式加减进行代数变形，逐步推导出计算所需的整体量，考查代数变形能力和整体代入思想，解题时需注意结合已知条件排除不符合的因式。
【难度系数】
0.3
观察已知的两个等式结构完全对称，且明确$m≠n$，可按以下思路解题：第一步，将两式相减，利用平方差公式因式分解，结合$m≠n$的条件求出$m+n$的值；第二步，将两式相加，代入已求出的$m+n$的值得到$m^2+n^2$的值；第三步，将待求分式$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}$通分变形为$\frac{m^2+n^2}{mn}$，再利用完全平方公式结合已得的$m+n$、$m^2+n^2$求出$mn$的值，最后代入计算即可得到结果。
【解析】
设$m^2+\sqrt{3}n=5$ ①，$n^2+\sqrt{3}m=5$ ②。
1. 两式相减求$m+n$：
①-②得：$m^2 - n^2 +\sqrt{3}n - \sqrt{3}m=0$，
因式分解得：$(m-n)(m+n)-\sqrt{3}(m-n)=0$，
即$(m-n)(m+n-\sqrt{3})=0$。
∵$m≠n$，
∴$m-n≠0$，
∴$m+n-\sqrt{3}=0$，即$m+n=\sqrt{3}$。
2. 两式相加求$m^2+n^2$：
①+②得：$m^2 + n^2 +\sqrt{3}(m+n)=10$，
将$m+n=\sqrt{3}$代入得：$m^2 + n^2 + 3=10$，
解得$m^2 + n^2=7$。
3. 利用完全平方公式求$mn$：
由完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，
代入$m+n=\sqrt{3}$、$m^2+n^2=7$得：$(\sqrt{3})^2=7+2mn$，
解得$mn=-2$。
4. 代入计算待求式：
$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}=\frac{m^2+n^2}{mn}=\frac{7}{-2}=-\frac{7}{2}$。
【答案】
$-\frac{7}{2}$
【知识点】
因式分解，完全平方公式，分式化简
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心是利用对称等式的特征，通过两式加减进行代数变形，逐步推导出计算所需的整体量，考查代数变形能力和整体代入思想，解题时需注意结合已知条件排除不符合的因式。
【难度系数】
0.3
5[2025吉林白城质检,中]【阅读与理解】将$x^2 + 2x -35$分解因式,我们可以按下面的方法解答.
①竖分二次项与常数项:$x^2 = x · x, -35 = (-5) × (+7)$.
$\begin{array}{cc}x & +7 \\x & -5\end{array}$
②交叉相乘,验中项(交叉相乘后的结果相加,其结果需等于多项式中的一次项):
$\begin{array}{cc}x & +7=7x \\x & -5=-5x\end{array}, 7x + (-5x) = 2x$.
③横向写出两因式:$x^2 +2x -35=(x+7)(x-5)$.
我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法.
根据乘法原理:若$ab=0$,则$a=0$或$b=0$,方程$x^2 +2x -35=0$可以这样求解:方程因式分解得$(x+7)(x-5)=0$,则$x+7=0$或$x-5=0$,解得$x_1=-7, x_2=5$.
【解决问题】
(1) 二次项系数为1 试用上述方法和原理解下列方程:
①$x^2 -10x +21=0$; ②$x^2 +5x +4=0$; ③$x^2 -6x -7=0$.
(2) 二次项系数不为1 直接写出方程$2024x^2 +2019x -5=0$的解.
不愧是我鸭
刷素养 走向重高
①竖分二次项与常数项:$x^2 = x · x, -35 = (-5) × (+7)$.
$\begin{array}{cc}x & +7 \\x & -5\end{array}$
②交叉相乘,验中项(交叉相乘后的结果相加,其结果需等于多项式中的一次项):
$\begin{array}{cc}x & +7=7x \\x & -5=-5x\end{array}, 7x + (-5x) = 2x$.
③横向写出两因式:$x^2 +2x -35=(x+7)(x-5)$.
我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法.
根据乘法原理:若$ab=0$,则$a=0$或$b=0$,方程$x^2 +2x -35=0$可以这样求解:方程因式分解得$(x+7)(x-5)=0$,则$x+7=0$或$x-5=0$,解得$x_1=-7, x_2=5$.
【解决问题】
(1) 二次项系数为1 试用上述方法和原理解下列方程:
①$x^2 -10x +21=0$; ②$x^2 +5x +4=0$; ③$x^2 -6x -7=0$.
(2) 二次项系数不为1 直接写出方程$2024x^2 +2019x -5=0$的解.
不愧是我鸭
刷素养 走向重高
答案
5.【解】(1) ①方程因式分解,得$(x-7)(x-3)=0$,$\therefore x-7=0$ 或 $x-3=0$,$\therefore x_1=7$,$x_2=3$.
②方程因式分解,得$(x+1)(x+4)=0$,$\therefore x+1=0$ 或 $x+4=0$,$\therefore x_1=-1$,$x_2=-4$.
③方程因式分解,得$(x+1)(x-7)=0$,$\therefore x+1=0$ 或 $x-7=0$,$\therefore x_1=-1$,$x_2=7$.
(2)$x_1=\frac{5}{2024}$,$x_2=-1$. 方程因式分解,得$(2024x-5)(x+1)=0$,$\therefore 2024x-5=0$ 或 $x+1=0$,$\therefore x_1=\frac{5}{2024}$,$x_2=-1$.
②方程因式分解,得$(x+1)(x+4)=0$,$\therefore x+1=0$ 或 $x+4=0$,$\therefore x_1=-1$,$x_2=-4$.
③方程因式分解,得$(x+1)(x-7)=0$,$\therefore x+1=0$ 或 $x-7=0$,$\therefore x_1=-1$,$x_2=7$.
(2)$x_1=\frac{5}{2024}$,$x_2=-1$. 方程因式分解,得$(2024x-5)(x+1)=0$,$\therefore 2024x-5=0$ 或 $x+1=0$,$\therefore x_1=\frac{5}{2024}$,$x_2=-1$.
解析
【分析】
本题是材料阅读类题目，解题时先读懂材料给出的十字相乘法分解因式、因式分解法解一元二次方程的方法，再按步骤求解：①对于二次项系数为1的一元二次方程，先将二次项拆为x·x，再把常数项拆为两个数的乘积，验证交叉相乘之和等于一次项系数后，将方程分解为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“若ab=0则a=0或b=0”分别解两个一元一次方程，即可得到方程的根；②对于二次项系数不为1的一元二次方程，将二次项拆为两个一次项的乘积，常数项拆为两个数的乘积，交叉验证和为一次项后，再按上述因式分解法解方程即可。
【解析】
(1) ①求解$x^2 -10x +21=0$：
用十字相乘法分解因式，二次项$x^2=x·x$，常数项$21=(-3)×(-7)$，交叉相乘之和为$-3x+(-7x)=-10x$，与一次项一致，因此因式分解得$\boldsymbol{(x-7)(x-3)=0}$，
根据乘法原理，得$x-7=0$ 或 $x-3=0$，
分别解得$x_1=7$，$x_2=3$。
②求解$x^2 +5x +4=0$：
二次项$x^2=x·x$，常数项$4=1×4$，交叉相乘之和为$1x+4x=5x$，与一次项一致，因式分解得$\boldsymbol{(x+1)(x+4)=0}$，
得$x+1=0$ 或 $x+4=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=-4$。
③求解$x^2 -6x -7=0$：
二次项$x^2=x·x$，常数项$-7=1×(-7)$，交叉相乘之和为$1x+(-7x)=-6x$，与一次项一致，因式分解得$\boldsymbol{(x+1)(x-7)=0}$，
得$x+1=0$ 或 $x-7=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=7$。
(2) 求解$2024x^2 +2019x -5=0$：
二次项$2024x^2=2024x·x$，常数项$-5=(-5)×1$，交叉相乘之和为$2024x×1 + x×(-5)=2019x$，与一次项一致，因式分解得$\boldsymbol{(2024x-5)(x+1)=0}$，
得$2024x-5=0$ 或 $x+1=0$，
解得$x_1=\frac{5}{2024}$，$x_2=-1$。
【答案】
(1) ①$x_1=7,x_2=3$；②$x_1=-1,x_2=-4$；③$x_1=-1,x_2=7$
(2) $x_1=\frac{5}{2024},x_2=-1$
【知识点】
1.十字相乘法因式分解
2.因式分解法解一元二次方程
3.一元一次方程求解
【点评】
本题属于材料阅读类题型，先介绍十字相乘法的操作步骤，再引导学生用该方法解方程，既考查阅读理解能力，又考查因式分解法解方程的应用，熟练掌握十字相乘法的拆分技巧、注意符号的对应是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题是材料阅读类题目，解题时先读懂材料给出的十字相乘法分解因式、因式分解法解一元二次方程的方法，再按步骤求解：①对于二次项系数为1的一元二次方程，先将二次项拆为x·x，再把常数项拆为两个数的乘积，验证交叉相乘之和等于一次项系数后，将方程分解为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“若ab=0则a=0或b=0”分别解两个一元一次方程，即可得到方程的根；②对于二次项系数不为1的一元二次方程，将二次项拆为两个一次项的乘积，常数项拆为两个数的乘积，交叉验证和为一次项后，再按上述因式分解法解方程即可。
【解析】
(1) ①求解$x^2 -10x +21=0$：
用十字相乘法分解因式，二次项$x^2=x·x$，常数项$21=(-3)×(-7)$，交叉相乘之和为$-3x+(-7x)=-10x$，与一次项一致，因此因式分解得$\boldsymbol{(x-7)(x-3)=0}$，
根据乘法原理，得$x-7=0$ 或 $x-3=0$，
分别解得$x_1=7$，$x_2=3$。
②求解$x^2 +5x +4=0$：
二次项$x^2=x·x$，常数项$4=1×4$，交叉相乘之和为$1x+4x=5x$，与一次项一致，因式分解得$\boldsymbol{(x+1)(x+4)=0}$，
得$x+1=0$ 或 $x+4=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=-4$。
③求解$x^2 -6x -7=0$：
二次项$x^2=x·x$，常数项$-7=1×(-7)$，交叉相乘之和为$1x+(-7x)=-6x$，与一次项一致，因式分解得$\boldsymbol{(x+1)(x-7)=0}$，
得$x+1=0$ 或 $x-7=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=7$。
(2) 求解$2024x^2 +2019x -5=0$：
二次项$2024x^2=2024x·x$，常数项$-5=(-5)×1$，交叉相乘之和为$2024x×1 + x×(-5)=2019x$，与一次项一致，因式分解得$\boldsymbol{(2024x-5)(x+1)=0}$，
得$2024x-5=0$ 或 $x+1=0$，
解得$x_1=\frac{5}{2024}$，$x_2=-1$。
【答案】
(1) ①$x_1=7,x_2=3$；②$x_1=-1,x_2=-4$；③$x_1=-1,x_2=7$
(2) $x_1=\frac{5}{2024},x_2=-1$
【知识点】
1.十字相乘法因式分解
2.因式分解法解一元二次方程
3.一元一次方程求解
【点评】
本题属于材料阅读类题型，先介绍十字相乘法的操作步骤，再引导学生用该方法解方程，既考查阅读理解能力，又考查因式分解法解方程的应用，熟练掌握十字相乘法的拆分技巧、注意符号的对应是解题的关键。
【难度系数】
0.7
6 核心素养运算能力[较难]阅读下面的例题,解决问题.
例:解方程$x^2 - |x| - 2 = 0$.
解:①当$x ≥ 0$时,原方程化为$x^2 - x - 2 = 0$,解得$x=2$或$x=-1$(不合题意,舍去);
②当$x ＜ 0$时,原方程化为$x^2 + x - 2 = 0$,解得$x=-2$或$x=1$(不合题意,舍去).
∴原方程的根是$x_1=2, x_2=-2$.
请参照例题解方程:$x^2 - |x - 1| - 1 = 0$.
例:解方程$x^2 - |x| - 2 = 0$.
解:①当$x ≥ 0$时,原方程化为$x^2 - x - 2 = 0$,解得$x=2$或$x=-1$(不合题意,舍去);
②当$x ＜ 0$时,原方程化为$x^2 + x - 2 = 0$,解得$x=-2$或$x=1$(不合题意,舍去).
∴原方程的根是$x_1=2, x_2=-2$.
请参照例题解方程:$x^2 - |x - 1| - 1 = 0$.
答案
6.【解】
①当$x-1\ge0$,即$x\ge1$时,原方程化为$x^2-(x-1)-1=0$,整理得$x^2-x=0$,解得$x=0$或$x=1$,$\because x\ge1$,$\therefore x=0$不符合题意,舍去,$\therefore x=1$.
②当$x-1＜0$,即$x＜1$时,原方程化为$x^2-(1-x)-1=0$,整理得$x^2+x-2=0$,解得$x=1$或$x=-2$,$\because x＜1$,$\therefore x=1$不符合题意,舍去,$\therefore x=-2$.
$\therefore$ 原方程的根是$x_1=1$,$x_2=-2$.
解析
【分析】
本题为含绝对值的一元二次方程求解问题，解题核心是利用绝对值的性质分类讨论去掉绝对值符号。首先找到绝对值内表达式的零点：令$x-1=0$得分界点$x=1$，将$x$的取值范围分为$x\ge1$和$x＜1$两类；再分别在两类取值范围下去掉绝对值，将原方程转化为普通一元二次方程，用因式分解法求解；最后验证解得的根是否符合对应取值范围，舍去增根即可得到原方程的解。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$x-1\ge0$，即$x\ge1$时，$|x-1|=x-1$，
原方程化为$x^2-(x-1)-1=0$，
整理得$x^2 - x = 0$，因式分解得$x(x-1)=0$，
解得$x=0$或$x=1$，
$\because x\ge1$，$\therefore x=0$不符合题意，舍去，得$x=1$；
② 当$x-1＜0$，即$x＜1$时，$|x-1|=1-x$，
原方程化为$x^2-(1-x)-1=0$，
整理得$x^2 + x - 2 = 0$，因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，
解得$x=1$或$x=-2$，
$\because x＜1$，$\therefore x=1$不符合题意，舍去，得$x=-2$。
【答案】
原方程的根是$x_1=1$，$x_2=-2$
【知识点】
绝对值方程求解；一元二次方程因式分解解法；分类讨论思想
【点评】
本题是含绝对值的一元二次方程的典型题型，解题关键是正确分类去掉绝对值符号，求解后要注意验证根是否符合分类的取值范围，避免产生增根，侧重考查运算能力和分类讨论的思维习惯。
【难度系数】
0.6
本题为含绝对值的一元二次方程求解问题，解题核心是利用绝对值的性质分类讨论去掉绝对值符号。首先找到绝对值内表达式的零点：令$x-1=0$得分界点$x=1$，将$x$的取值范围分为$x\ge1$和$x＜1$两类；再分别在两类取值范围下去掉绝对值，将原方程转化为普通一元二次方程，用因式分解法求解；最后验证解得的根是否符合对应取值范围，舍去增根即可得到原方程的解。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$x-1\ge0$，即$x\ge1$时，$|x-1|=x-1$，
原方程化为$x^2-(x-1)-1=0$，
整理得$x^2 - x = 0$，因式分解得$x(x-1)=0$，
解得$x=0$或$x=1$，
$\because x\ge1$，$\therefore x=0$不符合题意，舍去，得$x=1$；
② 当$x-1＜0$，即$x＜1$时，$|x-1|=1-x$，
原方程化为$x^2-(1-x)-1=0$，
整理得$x^2 + x - 2 = 0$，因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，
解得$x=1$或$x=-2$，
$\because x＜1$，$\therefore x=1$不符合题意，舍去，得$x=-2$。
【答案】
原方程的根是$x_1=1$，$x_2=-2$
【知识点】
绝对值方程求解；一元二次方程因式分解解法；分类讨论思想
【点评】
本题是含绝对值的一元二次方程的典型题型，解题关键是正确分类去掉绝对值符号，求解后要注意验证根是否符合分类的取值范围，避免产生增根，侧重考查运算能力和分类讨论的思维习惯。
【难度系数】
0.6
