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1 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x +c=0$的一个根为1，则另一个根是（
A.5
B.4
C.3
D.2
C
）A.5
B.4
C.3
D.2
答案
1.C 【解析】根据根与系数的关系可得出两根之和为4,设方程的另一个根为 m,则 1+m=4,
∴ m=3.
∴ m=3.
解析
【分析】
求解本题有两种思路：一是先将已知根x=1代入原方程求出常数c，再解完整的一元二次方程得到另一个根，该方法步骤稍多；二是直接利用一元二次方程根与系数的关系求解，对于ax²+bx+c=0（a≠0），两根之和为$\frac{-b}{a}$，本题可先算出两根之和，再减去已知根快速得到另一个根，第二种方法更简便，优先选用。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -4x +c=0$，其中a=1，b=-4，根据根与系数的关系，方程的两个实数根之和为$\frac{-b}{a}=\frac{-(-4)}{1}=4$。
设方程的另一个根为m，已知其中一个根为1，可得：
$1 + m = 4$
解得$m=3$。
【答案】
C
【知识点】
根与系数的关系；一元二次方程的根
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题，熟练掌握两根之和的公式即可快速求解，可避免代入求参数再解方程的繁琐步骤。
【难度系数】
0.9
求解本题有两种思路：一是先将已知根x=1代入原方程求出常数c，再解完整的一元二次方程得到另一个根，该方法步骤稍多；二是直接利用一元二次方程根与系数的关系求解，对于ax²+bx+c=0（a≠0），两根之和为$\frac{-b}{a}$，本题可先算出两根之和，再减去已知根快速得到另一个根，第二种方法更简便，优先选用。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -4x +c=0$，其中a=1，b=-4，根据根与系数的关系，方程的两个实数根之和为$\frac{-b}{a}=\frac{-(-4)}{1}=4$。
设方程的另一个根为m，已知其中一个根为1，可得：
$1 + m = 4$
解得$m=3$。
【答案】
C
【知识点】
根与系数的关系；一元二次方程的根
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题，熟练掌握两根之和的公式即可快速求解，可避免代入求参数再解方程的繁琐步骤。
【难度系数】
0.9
2[2026河北石家庄期末]已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(k+1)x-6=0$中，$k＜0$，则该方程的根的情况是（
A.没有实数根
B.有两个正实数根
C.两根之积为-6
D.两根之和为1
C
）A.没有实数根
B.有两个正实数根
C.两根之积为-6
D.两根之和为1
答案
2.C 【解析】
∵ $\Delta = [-(k+1)]^2 -4×1×(-6) = (k+1)^2+24＞0$,
∴ 方程有两个不相等的实数根,故 A 选项不符合题意;设 $x_1,x_2$ 是一元二次方程 $x^2-(k+1)x-6=0$ 的两个实数根,
∴ $x_1+x_2 = k+1$,$x_1 · x_2 = -6$,故 C 选项符合题意,D 选项不符合题意;
∵ $x_1x_2=-6$,
∴ 两根的符号相反,故 B 选项不符合题意. 故选 C.
∵ $\Delta = [-(k+1)]^2 -4×1×(-6) = (k+1)^2+24＞0$,
∴ 方程有两个不相等的实数根,故 A 选项不符合题意;设 $x_1,x_2$ 是一元二次方程 $x^2-(k+1)x-6=0$ 的两个实数根,
∴ $x_1+x_2 = k+1$,$x_1 · x_2 = -6$,故 C 选项符合题意,D 选项不符合题意;
∵ $x_1x_2=-6$,
∴ 两根的符号相反,故 B 选项不符合题意. 故选 C.
解析
【分析】
解题时可按三步推导：第一步先计算一元二次方程的判别式Δ，判断方程是否存在实数根，排除对应错误选项；第二步利用根与系数的关系（韦达定理），直接计算两根之和、两根之积，判断和、积相关的选项是否正确；第三步根据两根之积的符号判断两根的正负特征，最终锁定正确答案。
【解析】
首先计算判别式判断根的存在性：
$\Delta = [-(k+1)]^2 -4×1×(-6) = (k+1)^2+24$，
∵ 平方数具有非负性，$(k+1)^2≥0$，
∴ $\Delta=(k+1)^2+24≥24＞0$，
∴ 方程有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意。
设$x_1,x_2$是该一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2 = k+1$，$x_1 · x_2 = \frac{-6}{1}=-6$，
∴ 两根之积为-6，C选项符合题意；
∵ $k＜0$，
∴ $x_1+x_2=k+1$不一定等于1，D选项不符合题意；
又
∵ $x_1x_2=-6＜0$，说明两根符号相反，不可能有两个正实数根，故B选项不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程根的性质的基础考查题，核心围绕判别式、韦达定理两个核心知识点命题，只要熟练掌握对应公式，按逻辑逐步推导即可快速解题，是该模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时可按三步推导：第一步先计算一元二次方程的判别式Δ，判断方程是否存在实数根，排除对应错误选项；第二步利用根与系数的关系（韦达定理），直接计算两根之和、两根之积，判断和、积相关的选项是否正确；第三步根据两根之积的符号判断两根的正负特征，最终锁定正确答案。
【解析】
首先计算判别式判断根的存在性：
$\Delta = [-(k+1)]^2 -4×1×(-6) = (k+1)^2+24$，
∵ 平方数具有非负性，$(k+1)^2≥0$，
∴ $\Delta=(k+1)^2+24≥24＞0$，
∴ 方程有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意。
设$x_1,x_2$是该一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2 = k+1$，$x_1 · x_2 = \frac{-6}{1}=-6$，
∴ 两根之积为-6，C选项符合题意；
∵ $k＜0$，
∴ $x_1+x_2=k+1$不一定等于1，D选项不符合题意；
又
∵ $x_1x_2=-6＜0$，说明两根符号相反，不可能有两个正实数根，故B选项不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程根的性质的基础考查题，核心围绕判别式、韦达定理两个核心知识点命题，只要熟练掌握对应公式，按逻辑逐步推导即可快速解题，是该模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
3[2026天津河北区期中]已知方程$x^2 -5x +2=0$的两个解分别为$x_1,x_2$，则$\frac{x_1 · x_2}{x_1 + x_2}$的值为（
A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{5}{2}$
C.$-\frac{2}{5}$
D.$-\frac{5}{2}$
A
）A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{5}{2}$
C.$-\frac{2}{5}$
D.$-\frac{5}{2}$
答案
3.A 【解析】
∵ 方程 $x^2 -5x +2=0$ 的两个解分别为 $x_1,x_2$,
∴ $x_1+x_2=5$,$x_1x_2=2$,
∴ $\frac{x_1 · x_2}{x_1 + x_2} = \frac{2}{5}$. 故选 A.
∵ 方程 $x^2 -5x +2=0$ 的两个解分别为 $x_1,x_2$,
∴ $x_1+x_2=5$,$x_1x_2=2$,
∴ $\frac{x_1 · x_2}{x_1 + x_2} = \frac{2}{5}$. 故选 A.
解析
【分析】
本题要求关于一元二次方程两根和、积的代数式的值，若直接求解方程的根再代入计算，过程繁琐且容易出错，因此优先选择一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）解题。思考步骤如下：①先明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；②从题干方程中对应找出a、b、c的数值，代入公式算出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的结果；③最后把两个结果代入待求的分式计算即可得到答案。
【解析】
∵ 方程$x^2 -5x +2=0$的两个解分别为$x_1,x_2$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=2$，
∴ 根据一元二次方程根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=2$，
将上述结果代入$\frac{x_1 · x_2}{x_1 + x_2}$得：$\frac{x_1 · x_2}{x_1 + x_2} = \frac{2}{5}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、代数式求值
【点评】
本题属于基础应用题型，无需计算方程的具体根，熟练记忆韦达定理的公式就能快速解题，是考试中常见的易得分题型。
【难度系数】
0.8
本题要求关于一元二次方程两根和、积的代数式的值，若直接求解方程的根再代入计算，过程繁琐且容易出错，因此优先选择一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）解题。思考步骤如下：①先明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；②从题干方程中对应找出a、b、c的数值，代入公式算出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的结果；③最后把两个结果代入待求的分式计算即可得到答案。
【解析】
∵ 方程$x^2 -5x +2=0$的两个解分别为$x_1,x_2$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=2$，
∴ 根据一元二次方程根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=2$，
将上述结果代入$\frac{x_1 · x_2}{x_1 + x_2}$得：$\frac{x_1 · x_2}{x_1 + x_2} = \frac{2}{5}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、代数式求值
【点评】
本题属于基础应用题型，无需计算方程的具体根，熟练记忆韦达定理的公式就能快速解题，是考试中常见的易得分题型。
【难度系数】
0.8
4[2026河南郑州质检]若菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为关于x的一元二次方程$2x^2 + 11x - m = 0$的两个根，且$S_{菱形ABCD}=3$，则m的值为（
A.4
B.8
C.-12
D.-24
C
）A.4
B.8
C.-12
D.-24
答案
4.C 【解析】
∵ 菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 的长分别为关于 x 的一元二次方程 $2x^2+11x-m=0$ 的两个根,
∴ $AC · BD = -\frac{m}{2}$,$11^2 -4×2×(-m) ≥ 0$, 解得 $m≥ -\frac{121}{8}$.
∵ $\frac{1}{2} · AC · BD = 3$,
∴ $\frac{1}{2}×(-\frac{m}{2}) = 3$,
∴ $m=-12$. 故选 C.
∵ 菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 的长分别为关于 x 的一元二次方程 $2x^2+11x-m=0$ 的两个根,
∴ $AC · BD = -\frac{m}{2}$,$11^2 -4×2×(-m) ≥ 0$, 解得 $m≥ -\frac{121}{8}$.
∵ $\frac{1}{2} · AC · BD = 3$,
∴ $\frac{1}{2}×(-\frac{m}{2}) = 3$,
∴ $m=-12$. 故选 C.
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先，回忆菱形面积公式，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，结合题目给出的面积可求出AC与BD的乘积；其次，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），写出方程两根（即AC、BD的长）的乘积与方程系数的关系；最后，联立两个AC·BD的表达式求解m，同时验证所求m是否满足方程有两个实根的判别式要求即可。
【解析】
∵ 菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为一元二次方程$2x^2+11x - m=0$的两个根，
∴ 根据韦达定理，两根之积$AC·BD = \frac{-m}{2}$，
且方程有两个实根需满足判别式$\Delta = 11^2 - 4×2×(-m) ≥ 0$，解得$m≥ -\frac{121}{8}$。
∵ 菱形面积$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}·AC·BD = 3$，
将$AC·BD = -\frac{m}{2}$代入得：$\frac{1}{2}×(-\frac{m}{2}) = 3$，
化简得$-\frac{m}{4}=3$，解得$m=-12$。
验证：$m=-12$满足$m≥ -\frac{121}{8}$，符合要求。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
菱形面积公式；韦达定理；根的判别式
【点评】
本题是几何性质与代数方程结合的基础综合题，解题的核心是熟练掌握菱形面积的计算方法和一元二次方程根与系数的关系，求解后注意验证参数是否满足方程有实根的隐含条件，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：首先，回忆菱形面积公式，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，结合题目给出的面积可求出AC与BD的乘积；其次，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），写出方程两根（即AC、BD的长）的乘积与方程系数的关系；最后，联立两个AC·BD的表达式求解m，同时验证所求m是否满足方程有两个实根的判别式要求即可。
【解析】
∵ 菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为一元二次方程$2x^2+11x - m=0$的两个根，
∴ 根据韦达定理，两根之积$AC·BD = \frac{-m}{2}$，
且方程有两个实根需满足判别式$\Delta = 11^2 - 4×2×(-m) ≥ 0$，解得$m≥ -\frac{121}{8}$。
∵ 菱形面积$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}·AC·BD = 3$，
将$AC·BD = -\frac{m}{2}$代入得：$\frac{1}{2}×(-\frac{m}{2}) = 3$，
化简得$-\frac{m}{4}=3$，解得$m=-12$。
验证：$m=-12$满足$m≥ -\frac{121}{8}$，符合要求。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
菱形面积公式；韦达定理；根的判别式
【点评】
本题是几何性质与代数方程结合的基础综合题，解题的核心是熟练掌握菱形面积的计算方法和一元二次方程根与系数的关系，求解后注意验证参数是否满足方程有实根的隐含条件，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
5 新考法[2026江苏南京调研]当$a=1$，$b=m$，$c=-15$时，若代数式$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$的值为3，则代数式$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$的值为（
A.5
B.-5
C.1
D.-1
B
）A.5
B.-5
C.1
D.-1
答案
5.B 【解析】
∵ 一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两个根为 $x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,$x_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,
∴ $x_1 x_2 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} × \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{c}{a} = \frac{-15}{1} = -15$.
∵ 代数式 $\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 的值为 3,
∴ 代数式 $\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 的值为 -5. 故选 B.
∵ 一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两个根为 $x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,$x_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,
∴ $x_1 x_2 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} × \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{c}{a} = \frac{-15}{1} = -15$.
∵ 代数式 $\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 的值为 3,
∴ 代数式 $\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 的值为 -5. 故选 B.
解析
【分析】
观察题目中的两个代数式，其形式刚好是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个求根公式，对应方程的两个根$x_1$、$x_2$。解题时不需要先求解参数$m$，可直接利用一元二次方程根与系数的关系，两根之积等于$\frac{c}{a}$，代入已知的$a$、$c$的值和其中一个根的数值，就能快速算出另一个根，也就是所求代数式的值，这种方法比先求$m$再代入计算更简便，还能避免根式运算出错。
【解析】
设一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根分别为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
根据根与系数的关系，两根之积满足：
$x_1x_2=\frac{c}{a}$
已知$a=1$，$c=-15$，代入得：
$x_1x_2=\frac{-15}{1}=-15$
又已知$x_1=3$，代入上式可得：
$3x_2=-15$
解得$x_2=-5$，即所求代数式的值为$-5$。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程求根公式 2.根与系数的关系
【点评】
这道题结合求根公式的形式考查韦达定理的应用，解题时无需计算未知参数$m$，直接利用两根之积的关系即可快速得到结果，能有效简化计算步骤，降低运算出错的概率。
【难度系数】
0.7
观察题目中的两个代数式，其形式刚好是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个求根公式，对应方程的两个根$x_1$、$x_2$。解题时不需要先求解参数$m$，可直接利用一元二次方程根与系数的关系，两根之积等于$\frac{c}{a}$，代入已知的$a$、$c$的值和其中一个根的数值，就能快速算出另一个根，也就是所求代数式的值，这种方法比先求$m$再代入计算更简便，还能避免根式运算出错。
【解析】
设一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根分别为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
根据根与系数的关系，两根之积满足：
$x_1x_2=\frac{c}{a}$
已知$a=1$，$c=-15$，代入得：
$x_1x_2=\frac{-15}{1}=-15$
又已知$x_1=3$，代入上式可得：
$3x_2=-15$
解得$x_2=-5$，即所求代数式的值为$-5$。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程求根公式 2.根与系数的关系
【点评】
这道题结合求根公式的形式考查韦达定理的应用，解题时无需计算未知参数$m$，直接利用两根之积的关系即可快速得到结果，能有效简化计算步骤，降低运算出错的概率。
【难度系数】
0.7
6[2025广东深圳校级期中]小亮与小明在解一个一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是4和1；小明在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是1和2。则原来的方程是（
A.$x^2+6x+5=0$
B.$x^2-7x+10=0$
C.$x^2-5x+2=0$
D.$x^2-6x-10=0$
C
）A.$x^2+6x+5=0$
B.$x^2-7x+10=0$
C.$x^2-5x+2=0$
D.$x^2-6x-10=0$
答案
6.C 【解析】设原来的方程为 $ax^2+bx+c=0(a ≠ 0)$. 因为小亮在化简过程中写错了常数项,得到方程的两个根是 4 和 1,所以 $-\frac{b}{a}=4+1$,则 $b=-5a$. 因为小明在化简过程中写错了一次项的系数,得到方程的两个根是 1 和 2,所以 $\frac{c}{a}=1×2$,则 $c=2a$,所以 $ax^2-5ax+2a=0$. 因为 $a ≠ 0$,所以方程可整理得 $x^2-5x+2=0$. 故选 C.
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系求解。首先明确：小亮仅写错常数项，说明他得到的方程的二次项系数、一次项系数是正确的，因此他算出的两根之和对应原方程的两根之和；小明仅写错一次项系数，说明他得到的方程的二次项系数、常数项是正确的，因此他算出的两根之积对应原方程的两根之积。接下来设出原方程的一般形式，分别根据两人得到的根求出原方程系数的关系，最后化简即可得到原方程。
【解析】
设原来的一元二次方程为 $ax^2+bx+c=0(a ≠ 0)$。
1. 分析小亮的计算结果：小亮写错了常数项，因此一次项系数$b$、二次项系数$a$是正确的。根据根与系数的关系，两根之和为$-\frac{b}{a}$，已知小亮得到的两根为4和1，可得：
$-\frac{b}{a}=4+1=5$，整理得$b=-5a$。
2. 分析小明的计算结果：小明写错了一次项系数，因此常数项$c$、二次项系数$a$是正确的。根据根与系数的关系，两根之积为$\frac{c}{a}$，已知小明得到的两根为1和2，可得：
$\frac{c}{a}=1×2=2$，整理得$c=2a$。
3. 代入原方程化简：将$b=-5a$、$c=2a$代入$ax^2+bx+c=0$，得$ax^2-5ax+2a=0$。因为$a≠0$，方程两边同时除以$a$，整理得$x^2-5x+2=0$。
故选C。
【答案】C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的化简
【点评】
本题解题的核心是准确判断写错某一项时，根的和与积哪个是正确可用的，再结合根与系数的关系求出原方程系数的关系，是根与系数关系的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
本题可利用一元二次方程根与系数的关系求解。首先明确：小亮仅写错常数项，说明他得到的方程的二次项系数、一次项系数是正确的，因此他算出的两根之和对应原方程的两根之和；小明仅写错一次项系数，说明他得到的方程的二次项系数、常数项是正确的，因此他算出的两根之积对应原方程的两根之积。接下来设出原方程的一般形式，分别根据两人得到的根求出原方程系数的关系，最后化简即可得到原方程。
【解析】
设原来的一元二次方程为 $ax^2+bx+c=0(a ≠ 0)$。
1. 分析小亮的计算结果：小亮写错了常数项，因此一次项系数$b$、二次项系数$a$是正确的。根据根与系数的关系，两根之和为$-\frac{b}{a}$，已知小亮得到的两根为4和1，可得：
$-\frac{b}{a}=4+1=5$，整理得$b=-5a$。
2. 分析小明的计算结果：小明写错了一次项系数，因此常数项$c$、二次项系数$a$是正确的。根据根与系数的关系，两根之积为$\frac{c}{a}$，已知小明得到的两根为1和2，可得：
$\frac{c}{a}=1×2=2$，整理得$c=2a$。
3. 代入原方程化简：将$b=-5a$、$c=2a$代入$ax^2+bx+c=0$，得$ax^2-5ax+2a=0$。因为$a≠0$，方程两边同时除以$a$，整理得$x^2-5x+2=0$。
故选C。
【答案】C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的化简
【点评】
本题解题的核心是准确判断写错某一项时，根的和与积哪个是正确可用的，再结合根与系数的关系求出原方程系数的关系，是根与系数关系的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
7 设$x_1$与$x_2$为一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 + 3x + 2 = 0$的两根，则$(x_1 - x_2)^2$的值为
8 若实数$a,b$分别满足$a^2 -4a +3=0, b^2 -4b +3=0$，且$a≠b$，则$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$的值为
20
。8 若实数$a,b$分别满足$a^2 -4a +3=0, b^2 -4b +3=0$，且$a≠b$，则$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$的值为
$\frac{4}{3}$
。答案
7. 20 【解析】由题意可知 $x_1+x_2=-6$,$x_1x_2=4$,
∴ $(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(-6)^2-4×4=36-16=20$,故答案为 20.
8. $\frac{4}{3}$ 【解析】
∵ 实数 $a,b$ 分别满足 $a^2-4a+3=0$,$b^2-4b+3=0$,且 $a ≠ b$,
∴ $a,b$ 可看成方程 $x^2-4x+3=0$ 的两个不相等的实数根,则 $a+b=4$,$ab=3$,则原式 $= \frac{a+b}{ab} = \frac{4}{3}$.
∴ $(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(-6)^2-4×4=36-16=20$,故答案为 20.
8. $\frac{4}{3}$ 【解析】
∵ 实数 $a,b$ 分别满足 $a^2-4a+3=0$,$b^2-4b+3=0$,且 $a ≠ b$,
∴ $a,b$ 可看成方程 $x^2-4x+3=0$ 的两个不相等的实数根,则 $a+b=4$,$ab=3$,则原式 $= \frac{a+b}{ab} = \frac{4}{3}$.
解析
【分析】
第7题：要求$(x_1-x_2)^2$的值，无需直接求解方程的根，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先求出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$，再将目标式变形为$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，代入数值计算即可。
第8题：观察a、b满足的方程形式完全相同，且$a≠b$，可将a、b看作一元二次方程$x^2-4x+3=0$的两个不相等的实数根，用韦达定理求出$a+b$和$ab$，再将待求式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$通分变形为$\frac{a+b}{ab}$，代入计算即可得到结果。
【解析】
7. 对于一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 + 3x + 2 = 0$，其中$a=\frac{1}{2}$，$b=3$，$c=2$，根据韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{\frac{1}{2}}=-6$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4$
将所求代数式变形：$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$
代入数值计算：$(-6)^2 - 4×4=36-16=20$
8. 由题意可知，a、b是方程$x^2-4x+3=0$的两个不相等的实数根，根据韦达定理可得：
$a+b=4$，$ab=3$
将所求代数式通分变形：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}$
代入数值计算得结果为$\frac{4}{3}$
【答案】
7. $\boxed{20}$；8. $\boxed{\dfrac{4}{3}}$
【知识点】
1. 韦达定理
2. 代数式恒等变形
3. 一元二次方程根的定义
【点评】
这两道题是一元二次方程根与系数关系的基础典型题，解题核心是熟练掌握韦达定理的内容，以及常见代数式的变形技巧，第8题需要根据参数满足的方程特征，快速识别两个参数是同一方程的两个不同根，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
第7题：要求$(x_1-x_2)^2$的值，无需直接求解方程的根，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先求出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$，再将目标式变形为$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，代入数值计算即可。
第8题：观察a、b满足的方程形式完全相同，且$a≠b$，可将a、b看作一元二次方程$x^2-4x+3=0$的两个不相等的实数根，用韦达定理求出$a+b$和$ab$，再将待求式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$通分变形为$\frac{a+b}{ab}$，代入计算即可得到结果。
【解析】
7. 对于一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 + 3x + 2 = 0$，其中$a=\frac{1}{2}$，$b=3$，$c=2$，根据韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{\frac{1}{2}}=-6$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4$
将所求代数式变形：$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$
代入数值计算：$(-6)^2 - 4×4=36-16=20$
8. 由题意可知，a、b是方程$x^2-4x+3=0$的两个不相等的实数根，根据韦达定理可得：
$a+b=4$，$ab=3$
将所求代数式通分变形：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}$
代入数值计算得结果为$\frac{4}{3}$
【答案】
7. $\boxed{20}$；8. $\boxed{\dfrac{4}{3}}$
【知识点】
1. 韦达定理
2. 代数式恒等变形
3. 一元二次方程根的定义
【点评】
这两道题是一元二次方程根与系数关系的基础典型题，解题核心是熟练掌握韦达定理的内容，以及常见代数式的变形技巧，第8题需要根据参数满足的方程特征，快速识别两个参数是同一方程的两个不同根，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
9[2026湖北武汉调研]已知关于x的一元二次方程$x^2+(2m+1)x+m^2-1=0$有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围.
(2)设$x_1,x_2$是方程的两个根，$x_1^2+x_2^2+x_1x_2-6=0$，求m的值.
刷易错 小心有坑~
(1)求m的取值范围.
(2)设$x_1,x_2$是方程的两个根，$x_1^2+x_2^2+x_1x_2-6=0$，求m的值.
刷易错 小心有坑~
答案
9.【解】(1)根据题意得 $\Delta=(2m+1)^2-4(m^2-1)＞0$,解得 $m＞-\frac{5}{4}$,故 $m$ 的取值范围是 $m＞-\frac{5}{4}$.
(2)
∵ $x_1,x_2$ 是方程 $x^2+(2m+1)x+m^2-1=0$ 的两个根,
∴ $x_1+x_2=-(2m+1)$,$x_1x_2=m^2-1$,
∴ $x_1^2+x_2^2+x_1x_2-6=(x_1+x_2)^2-x_1x_2-6=(2m+1)^2-(m^2-1)-6=0$,解得 $m_1=\frac{2}{3}$,$m_2=-2$.
∵ $m＞-\frac{5}{4}$,
∴ $m$ 的值为 $\frac{2}{3}$.
(2)
∵ $x_1,x_2$ 是方程 $x^2+(2m+1)x+m^2-1=0$ 的两个根,
∴ $x_1+x_2=-(2m+1)$,$x_1x_2=m^2-1$,
∴ $x_1^2+x_2^2+x_1x_2-6=(x_1+x_2)^2-x_1x_2-6=(2m+1)^2-(m^2-1)-6=0$,解得 $m_1=\frac{2}{3}$,$m_2=-2$.
∵ $m＞-\frac{5}{4}$,
∴ $m$ 的值为 $\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
(1) 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式的性质，当$\Delta＞0$时方程有两个不等实根，因此先确定方程的二次项系数、一次项系数和常数项，代入判别式列不等式求解即可得到m的取值范围。
(2) 题目给出两根的代数式，可利用根与系数的关系先写出两根和、两根积关于m的表达式，再将$x_1^2+x_2^2$通过完全平方公式变形，代入已知等式得到关于m的方程，解方程后结合第一问求得的m的取值范围，舍去不符合条件的解即可得到正确的m值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2+(2m+1)x+m^2-1=0$，$a=1$，$b=2m+1$，$c=m^2-1$，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴$\Delta=b^2-4ac=(2m+1)^2-4(m^2-1)＞0$，
展开化简得：$4m+5＞0$，
解得：$m＞-\frac{5}{4}$。
(2)
∵$x_1,x_2$是方程的两个根，根据根与系数的关系：
$x_1+x_2=-(2m+1)$，$x_1x_2=m^2-1$，
对$x_1^2+x_2^2+x_1x_2-6=0$变形可得：
$(x_1+x_2)^2-x_1x_2-6=0$，
代入两根和、两根积的表达式得：
$(2m+1)^2-(m^2-1)-6=0$，
整理得：$3m^2+4m-4=0$，
解得：$m_1=\frac{2}{3}$，$m_2=-2$，
∵$m＞-\frac{5}{4}$，$-2＜-\frac{5}{4}$不符合要求，故舍去，
∴$m=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $m＞-\frac{5}{4}$；(2) $m=\frac{2}{3}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，解题的易错点是第二问求解后容易忽略第一问中参数的取值范围，未舍去不符合条件的解，解题时要养成验根的习惯。
【难度系数】
0.6
(1) 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式的性质，当$\Delta＞0$时方程有两个不等实根，因此先确定方程的二次项系数、一次项系数和常数项，代入判别式列不等式求解即可得到m的取值范围。
(2) 题目给出两根的代数式，可利用根与系数的关系先写出两根和、两根积关于m的表达式，再将$x_1^2+x_2^2$通过完全平方公式变形，代入已知等式得到关于m的方程，解方程后结合第一问求得的m的取值范围，舍去不符合条件的解即可得到正确的m值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2+(2m+1)x+m^2-1=0$，$a=1$，$b=2m+1$，$c=m^2-1$，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴$\Delta=b^2-4ac=(2m+1)^2-4(m^2-1)＞0$，
展开化简得：$4m+5＞0$，
解得：$m＞-\frac{5}{4}$。
(2)
∵$x_1,x_2$是方程的两个根，根据根与系数的关系：
$x_1+x_2=-(2m+1)$，$x_1x_2=m^2-1$，
对$x_1^2+x_2^2+x_1x_2-6=0$变形可得：
$(x_1+x_2)^2-x_1x_2-6=0$，
代入两根和、两根积的表达式得：
$(2m+1)^2-(m^2-1)-6=0$，
整理得：$3m^2+4m-4=0$，
解得：$m_1=\frac{2}{3}$，$m_2=-2$，
∵$m＞-\frac{5}{4}$，$-2＜-\frac{5}{4}$不符合要求，故舍去，
∴$m=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $m＞-\frac{5}{4}$；(2) $m=\frac{2}{3}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，解题的易错点是第二问求解后容易忽略第一问中参数的取值范围，未舍去不符合条件的解，解题时要养成验根的习惯。
【难度系数】
0.6
10 若$x_1,x_2$是方程$x^2 - 2mx + m^2 - m -1 =0$的两个根,且$x_1 + x_2 =1 - x_1x_2$,求$m$的值. 志明的解题过程如下,请判断他的解题过程是否正确,若不正确,请写出正确的解题过程.
解:由一元二次方程的根与系数的关系,得
$x_1 + x_2 =2m, x_1x_2 = m^2 - m -1$.
$\because x_1 + x_2 =1 - x_1x_2, \therefore 2m =1 - (m^2 - m -1)$,
$\therefore m^2 + m -2 =0, \therefore (m+2)(m-1)=0$,
$\therefore m=-2$或$m=1$.
解:由一元二次方程的根与系数的关系,得
$x_1 + x_2 =2m, x_1x_2 = m^2 - m -1$.
$\because x_1 + x_2 =1 - x_1x_2, \therefore 2m =1 - (m^2 - m -1)$,
$\therefore m^2 + m -2 =0, \therefore (m+2)(m-1)=0$,
$\therefore m=-2$或$m=1$.
答案
10.【解】不正确. 求出 $m$ 的值后他忽略了 $\Delta ≥ 0$ 这一条件. 正确解题过程如下:由一元二次方程的根与系数的关系,得 $x_1+x_2=2m$,$x_1x_2=m^2-m-1$.
∵ $x_1+x_2=1-x_1x_2$,
∴ $2m=1-(m^2-m-1)$,
∴ $m^2+m-2=0$,
∴ $(m+2)(m-1)=0$,
∴ $m=-2$ 或 $m=1$.
又
∵ $\Delta=4m^2-4(m^2-m-1)≥0$,解得 $m≥-1$,
∴ $m=1$.
∵ $x_1+x_2=1-x_1x_2$,
∴ $2m=1-(m^2-m-1)$,
∴ $m^2+m-2=0$,
∴ $(m+2)(m-1)=0$,
∴ $m=-2$ 或 $m=1$.
又
∵ $\Delta=4m^2-4(m^2-m-1)≥0$,解得 $m≥-1$,
∴ $m=1$.
解析
【分析】
解决本题首先要明确一元二次方程根与系数关系的适用前提：方程必须存在两个实数根，即判别式$\Delta ≥ 0$。解题思路分为三步：第一步，先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入题干给出的等量关系，求出$m$的候选值；第二步，计算方程的判别式，结合方程有两个根的条件，得到$m$的取值范围；第三步，将候选值和取值范围对比，舍去不符合要求的$m$值，得到最终结果。志明的错误在于忽略了判别式的验证步骤，导致得到增根。
【解析】
志明的解题过程不正确，他求出$m$的值后忽略了一元二次方程有两个实数根的前提条件$\Delta ≥ 0$，正确解题过程如下：
根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1+x_2=2m$，$x_1x_2=m^2 - m - 1$
$\because x_1 + x_2 =1 - x_1x_2$
$\therefore 2m = 1 - (m^2 - m -1)$
整理得$m^2 + m - 2 = 0$，因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得$m=-2$或$m=1$
$\because$方程有两个实数根，因此判别式$\Delta ≥ 0$
$\Delta = (-2m)^2 - 4×1×(m^2 - m -1) = 4m + 4 ≥ 0$
解得$m ≥ -1$
$m=-2 ＜ -1$不符合要求，舍去，因此$m=1$
【答案】
志明的解题过程不正确，$m$的值为$1$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法
【点评】
本题是根与系数关系应用中的典型易错题，解题时要注意使用根与系数关系的前提是方程有两个实数根，求出参数的候选值后必须验证判别式非负，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确一元二次方程根与系数关系的适用前提：方程必须存在两个实数根，即判别式$\Delta ≥ 0$。解题思路分为三步：第一步，先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入题干给出的等量关系，求出$m$的候选值；第二步，计算方程的判别式，结合方程有两个根的条件，得到$m$的取值范围；第三步，将候选值和取值范围对比，舍去不符合要求的$m$值，得到最终结果。志明的错误在于忽略了判别式的验证步骤，导致得到增根。
【解析】
志明的解题过程不正确，他求出$m$的值后忽略了一元二次方程有两个实数根的前提条件$\Delta ≥ 0$，正确解题过程如下：
根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1+x_2=2m$，$x_1x_2=m^2 - m - 1$
$\because x_1 + x_2 =1 - x_1x_2$
$\therefore 2m = 1 - (m^2 - m -1)$
整理得$m^2 + m - 2 = 0$，因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得$m=-2$或$m=1$
$\because$方程有两个实数根，因此判别式$\Delta ≥ 0$
$\Delta = (-2m)^2 - 4×1×(m^2 - m -1) = 4m + 4 ≥ 0$
解得$m ≥ -1$
$m=-2 ＜ -1$不符合要求，舍去，因此$m=1$
【答案】
志明的解题过程不正确，$m$的值为$1$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法
【点评】
本题是根与系数关系应用中的典型易错题，解题时要注意使用根与系数关系的前提是方程有两个实数根，求出参数的候选值后必须验证判别式非负，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
