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1 有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x辆车，y人，则可列方程组为 （
A.$\begin{cases} 3x + 2 = y, \\ 2x - 9 = y \end{cases}$
B.$\begin{cases} 3x - 2 = y, \\ 2x + 9 = y \end{cases}$
C.$\begin{cases} 3(x + 2) = y, \\ 2x - 9 = y \end{cases}$
D.$\begin{cases} 3(x - 2) = y, \\ 2x + 9 = y \end{cases}$
D
）A.$\begin{cases} 3x + 2 = y, \\ 2x - 9 = y \end{cases}$
B.$\begin{cases} 3x - 2 = y, \\ 2x + 9 = y \end{cases}$
C.$\begin{cases} 3(x + 2) = y, \\ 2x - 9 = y \end{cases}$
D.$\begin{cases} 3(x - 2) = y, \\ 2x + 9 = y \end{cases}$
答案
1. D
解析
【分析】
本题是根据实际问题列二元一次方程组的题目，解题核心是抓住总人数不变这一关键，分别根据两种乘车情况表示出总人数，再联立得到方程组。首先分析第一种乘车情况：每3人坐一辆车时存在2辆空车，说明实际投入使用的车辆数比总车辆数少2辆，用总车辆数减去空车数量再乘以每车乘坐人数，即可得到总人数；再分析第二种乘车情况：每2人坐一辆车时有9人步行，说明总人数等于坐车的人数加上步行的人数，坐车的人数为总车辆数乘以每车2人，加上步行的9人即为总人数，两个表达式都等于总人数y，即可得到方程组。
【解析】
首先根据第一种乘车条件列等式：
已知总车辆数为x，每3人坐一辆车时有2辆空车，实际坐了人的车辆数为$(x-2)$辆，总人数$y=3(x-2)$；
再根据第二种乘车条件列等式：
每2人坐一辆车时有9人步行，坐车的人数为$2x$，总人数等于坐车人数加步行人数，即$y=2x+9$；
联立两个等式可得方程组：
$\begin{cases} 3(x - 2) = y, \\ 2x + 9 = y \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
列二元一次方程组，实际问题等量关系分析
【点评】
本题属于二元一次方程组应用的基础题型，解题的关键是准确理解题干中两种乘车场景的描述，避免把空车数量的加减搞反，抓住总人数不变这一核心等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题是根据实际问题列二元一次方程组的题目，解题核心是抓住总人数不变这一关键，分别根据两种乘车情况表示出总人数，再联立得到方程组。首先分析第一种乘车情况：每3人坐一辆车时存在2辆空车，说明实际投入使用的车辆数比总车辆数少2辆，用总车辆数减去空车数量再乘以每车乘坐人数，即可得到总人数；再分析第二种乘车情况：每2人坐一辆车时有9人步行，说明总人数等于坐车的人数加上步行的人数，坐车的人数为总车辆数乘以每车2人，加上步行的9人即为总人数，两个表达式都等于总人数y，即可得到方程组。
【解析】
首先根据第一种乘车条件列等式：
已知总车辆数为x，每3人坐一辆车时有2辆空车，实际坐了人的车辆数为$(x-2)$辆，总人数$y=3(x-2)$；
再根据第二种乘车条件列等式：
每2人坐一辆车时有9人步行，坐车的人数为$2x$，总人数等于坐车人数加步行人数，即$y=2x+9$；
联立两个等式可得方程组：
$\begin{cases} 3(x - 2) = y, \\ 2x + 9 = y \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
列二元一次方程组，实际问题等量关系分析
【点评】
本题属于二元一次方程组应用的基础题型，解题的关键是准确理解题干中两种乘车场景的描述，避免把空车数量的加减搞反，抓住总人数不变这一核心等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2 我们知道，每只蜻蜓有6条腿、2对翅膀，每只蚊子有6条腿、1对翅膀.现有若干蜻蜓和蚊子，共有42条腿、10对翅膀，则蜻蜓和蚊子的只数分别是（
A.3,4
B.4,3
C.2,5
D.5,2
A
）A.3,4
B.4,3
C.2,5
D.5,2
答案
2. A
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组的实际应用题，解题思路如下：第一步，确定未知量为蜻蜓和蚊子的只数，可设两个未知数分别表示；第二步，提取题干中的两类等量关系：一是所有蜻蜓的总腿数加所有蚊子的总腿数等于总腿数42，二是所有蜻蜓的总翅膀对数加所有蚊子的总翅膀对数等于总翅膀对数10；第三步，根据等量关系列方程组，用消元法解方程组得到两种动物的只数，对应选项选出答案即可。
【解析】
设蜻蜓有$x$只，蚊子有$y$只，根据题意列方程组：
$\begin{cases}6x + 6y = 42 \\2x + y = 10\end{cases}$
先化简第一个方程：两边同时除以6得$x + y = 7$，变形得$y = 7 - x$。
将$y = 7 - x$代入第二个方程$2x + y = 10$，得：
$2x + (7 - x) = 10$
解得$x = 3$。
把$x = 3$代入$y = 7 - x$，得$y = 7 - 3 = 4$。
即蜻蜓有3只，蚊子有4只。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用；消元法解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题核心是准确从题干中提取等量关系，联立方程求解即可，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
这是一道二元一次方程组的实际应用题，解题思路如下：第一步，确定未知量为蜻蜓和蚊子的只数，可设两个未知数分别表示；第二步，提取题干中的两类等量关系：一是所有蜻蜓的总腿数加所有蚊子的总腿数等于总腿数42，二是所有蜻蜓的总翅膀对数加所有蚊子的总翅膀对数等于总翅膀对数10；第三步，根据等量关系列方程组，用消元法解方程组得到两种动物的只数，对应选项选出答案即可。
【解析】
设蜻蜓有$x$只，蚊子有$y$只，根据题意列方程组：
$\begin{cases}6x + 6y = 42 \\2x + y = 10\end{cases}$
先化简第一个方程：两边同时除以6得$x + y = 7$，变形得$y = 7 - x$。
将$y = 7 - x$代入第二个方程$2x + y = 10$，得：
$2x + (7 - x) = 10$
解得$x = 3$。
把$x = 3$代入$y = 7 - x$，得$y = 7 - 3 = 4$。
即蜻蜓有3只，蚊子有4只。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用；消元法解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题核心是准确从题干中提取等量关系，联立方程求解即可，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
3 我国民间流传着许多趣味算题，他们多以顺口溜的形式表达，其中有这样一道数学问题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少二梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？下列结论正确的是（
A.3个老头4个梨
B.4个老头3个梨
C.5个老头6个梨
D.7个老头8个梨
A
）A.3个老头4个梨
B.4个老头3个梨
C.5个老头6个梨
D.7个老头8个梨
答案
3. A
解析
【分析】
这是一道利用方程求解的实际应用题，解题核心是抓住题目中不变的两个量：老头的总人数、梨的总数量，提取对应的等量关系。解题思路如下：第一步，设置未知数分别代表老头人数和梨的数量；第二步，根据“一人一个多一梨”“一人两个少二梨”两个分配规则列方程（组）；第三步求解方程（组）得到结果，也可直接将选项代入两个规则验证，同时符合的即为正确答案。
【解析】
方法一：列二元一次方程组求解
设有$x$个老头，$y$个梨。
根据“一人一个多一梨”，梨的总数比老头人数多1，可得方程：$\boldsymbol{y = x + 1}$；
根据“一人两个少二梨”，每人分2个梨时需要的总数量比现有梨多2，可得方程：$\boldsymbol{y = 2x - 2}$。
联立两个方程，将第一个方程代入第二个得：
$x + 1 = 2x - 2$
解得$x=3$，再代入$y=x+1$得$y=4$，即3个老头4个梨。
方法二：代入验证法
将各选项依次代入两个分配规则验证：
A选项：3个老头4个梨，每人分1个梨时，剩余$4-3=1$个，符合“多一梨”；每人分2个梨时，共需要$3×2=6$个，缺少$6-4=2$个，符合“少二梨”，两个条件均满足。
其余选项代入后均无法同时满足两个规则，因此A正确。
【答案】
A
【知识点】
列方程解应用题、二元一次方程组求解
【点评】
本题是趣味性较强的盈亏类应用题，解题关键是找到两种分配场景下不变的量建立等量关系，既可以通过建立方程模型求解，也可以用代入法快速得到答案，侧重考查学生提取题干信息、转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.9
这是一道利用方程求解的实际应用题，解题核心是抓住题目中不变的两个量：老头的总人数、梨的总数量，提取对应的等量关系。解题思路如下：第一步，设置未知数分别代表老头人数和梨的数量；第二步，根据“一人一个多一梨”“一人两个少二梨”两个分配规则列方程（组）；第三步求解方程（组）得到结果，也可直接将选项代入两个规则验证，同时符合的即为正确答案。
【解析】
方法一：列二元一次方程组求解
设有$x$个老头，$y$个梨。
根据“一人一个多一梨”，梨的总数比老头人数多1，可得方程：$\boldsymbol{y = x + 1}$；
根据“一人两个少二梨”，每人分2个梨时需要的总数量比现有梨多2，可得方程：$\boldsymbol{y = 2x - 2}$。
联立两个方程，将第一个方程代入第二个得：
$x + 1 = 2x - 2$
解得$x=3$，再代入$y=x+1$得$y=4$，即3个老头4个梨。
方法二：代入验证法
将各选项依次代入两个分配规则验证：
A选项：3个老头4个梨，每人分1个梨时，剩余$4-3=1$个，符合“多一梨”；每人分2个梨时，共需要$3×2=6$个，缺少$6-4=2$个，符合“少二梨”，两个条件均满足。
其余选项代入后均无法同时满足两个规则，因此A正确。
【答案】
A
【知识点】
列方程解应用题、二元一次方程组求解
【点评】
本题是趣味性较强的盈亏类应用题，解题关键是找到两种分配场景下不变的量建立等量关系，既可以通过建立方程模型求解，也可以用代入法快速得到答案，侧重考查学生提取题干信息、转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.9
4 古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有 63 个，共有 100 条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有 $ x $ 个，耧有 $ y $ 个，则可列出关于 $ x $，$ y $ 的二元一次方程组为.
答案
4. $\begin{cases} x+y=63, \\ x+2y=100 \end{cases}$
解析
【分析】
要列二元一次方程组解决实际问题，核心是找到两个独立的等量关系。本题给出两组关键数量信息：第一组是耠子和耧的总个数为63，第二组是两种农具的总腿数为100，我们只需将两个等量关系分别用含未知数x、y的式子表示，就能得到对应的方程组。
【解析】
第一步，根据“耠子和耧共有63个”的条件，耠子数量为x，耧数量为y，两者数量和为63，可列第一个方程：$ x + y = 63 $；
第二步，根据“共有100条腿”的条件，耠子1条腿，x个耠子总腿数为x，耧2条腿，y个耧总腿数为2y，两种腿数相加为100，可列第二个方程：$ x + 2y = 100 $；
将两个方程联立即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} x+y=63, \\ x+2y=100 \end{cases}$
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 实际问题等量关系提取
【点评】
本题以古代实际生活问题为背景，考查列二元一次方程组的基础能力，解题关键是准确抓住两个独立的等量关系分别列方程，读懂题意即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
要列二元一次方程组解决实际问题，核心是找到两个独立的等量关系。本题给出两组关键数量信息：第一组是耠子和耧的总个数为63，第二组是两种农具的总腿数为100，我们只需将两个等量关系分别用含未知数x、y的式子表示，就能得到对应的方程组。
【解析】
第一步，根据“耠子和耧共有63个”的条件，耠子数量为x，耧数量为y，两者数量和为63，可列第一个方程：$ x + y = 63 $；
第二步，根据“共有100条腿”的条件，耠子1条腿，x个耠子总腿数为x，耧2条腿，y个耧总腿数为2y，两种腿数相加为100，可列第二个方程：$ x + 2y = 100 $；
将两个方程联立即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} x+y=63, \\ x+2y=100 \end{cases}$
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 实际问题等量关系提取
【点评】
本题以古代实际生活问题为背景，考查列二元一次方程组的基础能力，解题关键是准确抓住两个独立的等量关系分别列方程，读懂题意即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
5 某快递公司为了提高快递分拣的速度，决定购买分拣机器人来代替人工分拣. 已知购买2台A型机器人和1台B型机器人共需花费16万元，购买3台A型机器人和2台B型机器人共需花费26万元. 若该快递公司准备购买4台A型机器人和6台B型机器人，则共需要花费
48
万元.答案
5. 48
解析
【分析】
本题属于实际应用类的费用计算问题，解题思路如下：首先题目给出了两种不同购买组合的总花费，要计算第三种购买组合的总费用，核心是先求出A型、B型两种机器人各自的单价。我们可以通过设两个未知数，对应题目里的两个等量关系列出二元一次方程组，解出两种机器人的单价后，再代入目标购买数量计算总花费即可。
【解析】
解：设每台A型机器人的价格为$x$万元，每台B型机器人的价格为$y$万元。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 16 \quad \mathrm{①} \\3x + 2y = 26 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
由①式变形可得：$y = 16 - 2x \quad \mathrm{③}$
将③代入②式：
$3x + 2(16 - 2x) = 26$
展开计算：$3x + 32 - 4x = 26$
合并同类项得：$-x = -6$，解得$x = 6$
把$x = 6$代入③式，得$y = 16 - 2×6 = 4$
即A型机器人单价6万元，B型机器人单价4万元。
则购买4台A型机器人和6台B型机器人的总花费为：
$4×6 + 6×4 = 24 + 24 = 48$（万元）
【答案】
48
【知识点】
二元一次方程组的应用；消元法解二元一次方程组
【点评】
本题是典型的购物费用类应用题，解题关键是找准题干中的等量关系，正确列出方程组求解，计算过程难度较低，细心运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
本题属于实际应用类的费用计算问题，解题思路如下：首先题目给出了两种不同购买组合的总花费，要计算第三种购买组合的总费用，核心是先求出A型、B型两种机器人各自的单价。我们可以通过设两个未知数，对应题目里的两个等量关系列出二元一次方程组，解出两种机器人的单价后，再代入目标购买数量计算总花费即可。
【解析】
解：设每台A型机器人的价格为$x$万元，每台B型机器人的价格为$y$万元。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 16 \quad \mathrm{①} \\3x + 2y = 26 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
由①式变形可得：$y = 16 - 2x \quad \mathrm{③}$
将③代入②式：
$3x + 2(16 - 2x) = 26$
展开计算：$3x + 32 - 4x = 26$
合并同类项得：$-x = -6$，解得$x = 6$
把$x = 6$代入③式，得$y = 16 - 2×6 = 4$
即A型机器人单价6万元，B型机器人单价4万元。
则购买4台A型机器人和6台B型机器人的总花费为：
$4×6 + 6×4 = 24 + 24 = 48$（万元）
【答案】
48
【知识点】
二元一次方程组的应用；消元法解二元一次方程组
【点评】
本题是典型的购物费用类应用题，解题关键是找准题干中的等量关系，正确列出方程组求解，计算过程难度较低，细心运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
6 有这样一道官兵分布问题:一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？这道问题的大意如下:一千名军官和士兵分一千尺布，一名军官分四尺布，四名士兵分一尺布，正好分完，问:军官和士兵各有多少名？
答案
6. 设有x名军官,y名士兵.根据题意,得$\begin{cases} x+y=1\ 000, \\ 4x+\dfrac{1}{4}y=1\ 000, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=200, \\ y=800. \end{cases}$所以有200名军官,800名士兵
解析
【分析】
这是一道典型的二元一次方程组实际应用题，解题核心是找到题目隐含的两个等量关系。首先分别设军官、士兵人数为两个未知数，先根据“官兵总人数共1000名”列出第一个等量方程，再结合“布的总尺数共1000尺”，根据军官和士兵的分布标准列出第二个等量方程，联立得到二元一次方程组后求解即可得到结果。
【解析】
解：设军官有$x$名，士兵有$y$名。
根据题意，官兵总人数为1000，可得方程：
$x+y=1000$ ①
1名军官分4尺布，军官共分得$4x$尺布；4名士兵分1尺布，即1名士兵分$\frac{1}{4}$尺布，士兵共分得$\frac{1}{4}y$尺布，布的总尺数为1000，可得方程：
$4x+\frac{1}{4}y=1000$ ②
联立①②组成方程组，由①得$y=1000-x$，代入②：
$4x+\frac{1000-x}{4}=1000$
两边同乘4消去分母：$16x+1000-x=4000$
合并同类项得：$15x=3000$
解得$x=200$，将$x=200$代入①得$y=1000-200=800$。
【答案】
军官有200名，士兵有800名。
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 解二元一次方程组
3. 等量关系梳理
【点评】
本题是经典的古算应用题，属于鸡兔同笼类问题的变形，核心考查从实际问题中提取等量关系、列方程求解的能力，计算难度低，掌握列方程组解应用题的基本步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
这是一道典型的二元一次方程组实际应用题，解题核心是找到题目隐含的两个等量关系。首先分别设军官、士兵人数为两个未知数，先根据“官兵总人数共1000名”列出第一个等量方程，再结合“布的总尺数共1000尺”，根据军官和士兵的分布标准列出第二个等量方程，联立得到二元一次方程组后求解即可得到结果。
【解析】
解：设军官有$x$名，士兵有$y$名。
根据题意，官兵总人数为1000，可得方程：
$x+y=1000$ ①
1名军官分4尺布，军官共分得$4x$尺布；4名士兵分1尺布，即1名士兵分$\frac{1}{4}$尺布，士兵共分得$\frac{1}{4}y$尺布，布的总尺数为1000，可得方程：
$4x+\frac{1}{4}y=1000$ ②
联立①②组成方程组，由①得$y=1000-x$，代入②：
$4x+\frac{1000-x}{4}=1000$
两边同乘4消去分母：$16x+1000-x=4000$
合并同类项得：$15x=3000$
解得$x=200$，将$x=200$代入①得$y=1000-200=800$。
【答案】
军官有200名，士兵有800名。
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 解二元一次方程组
3. 等量关系梳理
【点评】
本题是经典的古算应用题，属于鸡兔同笼类问题的变形，核心考查从实际问题中提取等量关系、列方程求解的能力，计算难度低，掌握列方程组解应用题的基本步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
7 教材 P125 习题 T3 变式 有这样一道绳索量竿问题:一根竿子一条索,索比竿子长一托,折回索子却量竿,却比竿子短一托,问:索和竿子各几何?其大意如下:现有一根竿子和一条绳索,用绳索去量竿子,绳索比竿子长5尺;若将绳索对折后再去量竿子,则绳索比竿子短5尺,问:绳索和竿子的长各为多少尺?
答案
7. 设绳索的长为x尺,竿子的长为y尺.根据题意,得$\begin{cases} x-y=5, \\ y-\dfrac{1}{2}x=5, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=20, \\ y=15. \end{cases}$所以绳索的长为20尺,竿子的长为15尺
解析
【分析】
解题时先读题提取关键信息，本题有两个未知量：绳索长度、竿子长度，且存在两组明确的等量关系：①用绳索直接量竿，绳索比竿长5尺，即索长-竿长=5尺；②将绳索对折后量竿，绳索比竿短5尺，即竿长-对折后索长=5尺。我们可以分别设两个未知量为未知数，根据两组等量关系列出二元一次方程组，再求解方程组即可得到两者的长度。
【解析】
解：设绳索的长为$x$尺，竿子的长为$y$尺。
根据“绳索比竿子长5尺”，列方程：$x-y=5$；
根据“绳索对折后量竿比竿短5尺”，对折后绳索长度为$\frac{1}{2}x$，列方程：$y-\frac{1}{2}x=5$；
联立得方程组：$\begin{cases} x-y=5 \\ y-\dfrac{1}{2}x=5 \end{cases}$
将第一个方程变形为$x=y+5$，代入第二个方程：
$y-\frac{1}{2}(y+5)=5$
去括号得：$y-\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}=5$
合并同类项、移项得：$\frac{1}{2}y=\frac{15}{2}$
解得$y=15$，代入$x=y+5$得$x=20$
即方程组的解为$\begin{cases} x=20 \\ y=15 \end{cases}$
【答案】
绳索的长为20尺，竿子的长为15尺
【知识点】
二元一次方程组应用；解二元一次方程组；等量关系梳理
【点评】
本题源自古代数学趣题，核心是将实际测量的两种场景转化为对应的数量关系，解题的易错点是容易忽略绳索对折后长度为原长的二分之一，只要准确梳理不同场景下的等量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时先读题提取关键信息，本题有两个未知量：绳索长度、竿子长度，且存在两组明确的等量关系：①用绳索直接量竿，绳索比竿长5尺，即索长-竿长=5尺；②将绳索对折后量竿，绳索比竿短5尺，即竿长-对折后索长=5尺。我们可以分别设两个未知量为未知数，根据两组等量关系列出二元一次方程组，再求解方程组即可得到两者的长度。
【解析】
解：设绳索的长为$x$尺，竿子的长为$y$尺。
根据“绳索比竿子长5尺”，列方程：$x-y=5$；
根据“绳索对折后量竿比竿短5尺”，对折后绳索长度为$\frac{1}{2}x$，列方程：$y-\frac{1}{2}x=5$；
联立得方程组：$\begin{cases} x-y=5 \\ y-\dfrac{1}{2}x=5 \end{cases}$
将第一个方程变形为$x=y+5$，代入第二个方程：
$y-\frac{1}{2}(y+5)=5$
去括号得：$y-\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}=5$
合并同类项、移项得：$\frac{1}{2}y=\frac{15}{2}$
解得$y=15$，代入$x=y+5$得$x=20$
即方程组的解为$\begin{cases} x=20 \\ y=15 \end{cases}$
【答案】
绳索的长为20尺，竿子的长为15尺
【知识点】
二元一次方程组应用；解二元一次方程组；等量关系梳理
【点评】
本题源自古代数学趣题，核心是将实际测量的两种场景转化为对应的数量关系，解题的易错点是容易忽略绳索对折后长度为原长的二分之一，只要准确梳理不同场景下的等量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
