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1 已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases} x+y=2t①, \\ x-y=4t② \end{cases}$的解也是二元一次方程$3x+2y=7$的解.
（1）分别用含$t$的代数式表示$x$，$y$；
（2）求$t$的值和这个解.
（1）分别用含$t$的代数式表示$x$，$y$；
（2）求$t$的值和这个解.
答案
（1）由①+②并整理，得$x=3t$。将$x=3t$代入①，得$y=-t$。
（2）因为关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases} x+y=2t, \\ x-y=4t \end{cases}$的解也是二元一次方程$3x+2y=7$的解，所以$9t-2t=7$，解得$t=1$。所以所求的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=-1 \end{cases}$
（2）因为关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases} x+y=2t, \\ x-y=4t \end{cases}$的解也是二元一次方程$3x+2y=7$的解，所以$9t-2t=7$，解得$t=1$。所以所求的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=-1 \end{cases}$
解析
【分析】
（1）对于给定的二元一次方程组，观察到两个方程中y的系数互为相反数，可通过加减消元法消去y，先求出x关于t的代数式，再将x的代数式代入原方程组的任意一个方程，即可求出y关于t的代数式。
（2）根据方程组的解也是方程$3x+2y=7$的解，可知x、y同时满足该方程，将（1）中得到的用t表示的x、y代入$3x+2y=7$，得到关于t的一元一次方程，求解得到t的值后，再代回x、y的表达式即可得到方程组的解。
【解析】
（1）将方程①+②，得：
$x+y + x - y = 2t + 4t$
合并同类项得$2x=6t$，解得$x=3t$。
把$x=3t$代入方程①，得：
$3t + y = 2t$，解得$y=2t - 3t = -t$。
（2）
∵方程组的解也是二元一次方程$3x+2y=7$的解，
∴将$x=3t$，$y=-t$代入$3x+2y=7$，得：
$3×3t + 2×(-t) = 7$
计算得$9t - 2t =7$，即$7t=7$，解得$t=1$。
将$t=1$代入$x=3t$，$y=-t$，得$x=3×1=3$，$y=-1$。
【答案】
（1）$x=3t$，$y=-t$；
（2）$t=1$，方程组的解为$\begin{cases} x=3 \\ y=-1 \end{cases}$
【知识点】
加减消元法，代入消元法，二元一次方程的解的定义
【点评】
本题是含参二元一次方程组的基础题型，解题核心是先通过消元法用参数表示出方程组的解，再利用方程解的性质代入另一个方程求解参数，掌握消元法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
（1）对于给定的二元一次方程组，观察到两个方程中y的系数互为相反数，可通过加减消元法消去y，先求出x关于t的代数式，再将x的代数式代入原方程组的任意一个方程，即可求出y关于t的代数式。
（2）根据方程组的解也是方程$3x+2y=7$的解，可知x、y同时满足该方程，将（1）中得到的用t表示的x、y代入$3x+2y=7$，得到关于t的一元一次方程，求解得到t的值后，再代回x、y的表达式即可得到方程组的解。
【解析】
（1）将方程①+②，得：
$x+y + x - y = 2t + 4t$
合并同类项得$2x=6t$，解得$x=3t$。
把$x=3t$代入方程①，得：
$3t + y = 2t$，解得$y=2t - 3t = -t$。
（2）
∵方程组的解也是二元一次方程$3x+2y=7$的解，
∴将$x=3t$，$y=-t$代入$3x+2y=7$，得：
$3×3t + 2×(-t) = 7$
计算得$9t - 2t =7$，即$7t=7$，解得$t=1$。
将$t=1$代入$x=3t$，$y=-t$，得$x=3×1=3$，$y=-1$。
【答案】
（1）$x=3t$，$y=-t$；
（2）$t=1$，方程组的解为$\begin{cases} x=3 \\ y=-1 \end{cases}$
【知识点】
加减消元法，代入消元法，二元一次方程的解的定义
【点评】
本题是含参二元一次方程组的基础题型，解题核心是先通过消元法用参数表示出方程组的解，再利用方程解的性质代入另一个方程求解参数，掌握消元法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
2 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x - 3y = 3, \\ax + by = -1\end{cases}$和$\begin{cases}3x + 2y = 11, \\2ax + 3by = 3\end{cases}$的解相同.求：
（1）这两个方程组的相同解；
（2）$(3a + b)^{2025}$的值.
（1）这两个方程组的相同解；
（2）$(3a + b)^{2025}$的值.
答案
（1）由题意，得$\begin{cases}2x - 3y = 3①, \\3x + 2y = 11②,\end{cases}$由①$×2+$②$×3$，得$13x=39$，解得$x=3$。把$x=3$代入①，得$6-3y=3$，解得$y=1$。所以这两个方程组的相同解为$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$
（2）把$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$代入$\begin{cases} ax+by=-1, \\ 2ax+3by=3, \end{cases}$得$\begin{cases}3a + b = -1③, \\6a + 3b = 3④.\end{cases}$由③$-\frac{1}{3}×$④，得$a=-2$。把$a=-2$代入③，得$-6+b=-1$，解得$b=5$。所以$(3a+b)^{2025}=(-6+5)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$
（2）把$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$代入$\begin{cases} ax+by=-1, \\ 2ax+3by=3, \end{cases}$得$\begin{cases}3a + b = -1③, \\6a + 3b = 3④.\end{cases}$由③$-\frac{1}{3}×$④，得$a=-2$。把$a=-2$代入③，得$-6+b=-1$，解得$b=5$。所以$(3a+b)^{2025}=(-6+5)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$
解析
【分析】
因为两个方程组的解相同，说明该解同时满足四个方程，所以先将两个方程组中不含参数的方程$2x-3y=3$和$3x+2y=11$联立，解出的$x、y$就是两个方程组的相同解；再将求出的解代入含参数$a、b$的两个方程，得到关于$a、b$的二元一次方程组，解出$a、b$的值后，代入$(3a+b)^{2025}$计算即可得到结果。
【解析】
（1）根据两个方程组解相同，可得$x、y$同时满足方程$2x-3y=3$和$3x+2y=11$，联立得：
$\begin{cases}2x - 3y = 3① \\3x + 2y = 11②\end{cases}$
消去$y$：①×2得$4x-6y=6$，②×3得$9x+6y=33$，两式相加得$13x=39$，解得$x=3$。
把$x=3$代入①，得$2×3 - 3y=3$，即$6-3y=3$，解得$y=1$。
所以两个方程组的相同解为$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$。
（2）将$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$代入含$a、b$的方程$\begin{cases}ax + by = -1 \\2ax + 3by = 3\end{cases}$，得：
$\begin{cases}3a + b = -1③ \\6a + 3b = 3④\end{cases}$
由③得$b=-1-3a$，代入④得$6a + 3(-1-3a)=3$，展开得$6a-3-9a=3$，合并同类项得$-3a=6$，解得$a=-2$。
把$a=-2$代入③，得$3×(-2)+b=-1$，即$-6+b=-1$，解得$b=5$。
所以$(3a + b)^{2025}=(3×(-2)+5)^{2025}=(-6+5)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
【答案】
（1）$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$
（2）$-1$
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题是同解方程组的典型题型，解题核心是抓住“解相同”的性质，先通过不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参方程求解参数，解题时注意消元法的正确运用，计算要细心避免出错。
【难度系数】
0.7
因为两个方程组的解相同，说明该解同时满足四个方程，所以先将两个方程组中不含参数的方程$2x-3y=3$和$3x+2y=11$联立，解出的$x、y$就是两个方程组的相同解；再将求出的解代入含参数$a、b$的两个方程，得到关于$a、b$的二元一次方程组，解出$a、b$的值后，代入$(3a+b)^{2025}$计算即可得到结果。
【解析】
（1）根据两个方程组解相同，可得$x、y$同时满足方程$2x-3y=3$和$3x+2y=11$，联立得：
$\begin{cases}2x - 3y = 3① \\3x + 2y = 11②\end{cases}$
消去$y$：①×2得$4x-6y=6$，②×3得$9x+6y=33$，两式相加得$13x=39$，解得$x=3$。
把$x=3$代入①，得$2×3 - 3y=3$，即$6-3y=3$，解得$y=1$。
所以两个方程组的相同解为$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$。
（2）将$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$代入含$a、b$的方程$\begin{cases}ax + by = -1 \\2ax + 3by = 3\end{cases}$，得：
$\begin{cases}3a + b = -1③ \\6a + 3b = 3④\end{cases}$
由③得$b=-1-3a$，代入④得$6a + 3(-1-3a)=3$，展开得$6a-3-9a=3$，合并同类项得$-3a=6$，解得$a=-2$。
把$a=-2$代入③，得$3×(-2)+b=-1$，即$-6+b=-1$，解得$b=5$。
所以$(3a + b)^{2025}=(3×(-2)+5)^{2025}=(-6+5)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
【答案】
（1）$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$
（2）$-1$
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题是同解方程组的典型题型，解题核心是抓住“解相同”的性质，先通过不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参方程求解参数，解题时注意消元法的正确运用，计算要细心避免出错。
【难度系数】
0.7
3 甲、乙两名同学在解关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases} ax + y = 5①, \\ 2x - by = 13② \end{cases}$时，甲看错了方程①中的$a$，解得$\begin{cases} x = \frac{7}{2}, \\ y = -2; \end{cases}$ 乙看错了方程②中的$b$，解得$\begin{cases} x = 3, \\ y = -7. \end{cases}$ 请你根据以上结果，求出原方程组的解。
答案
将$\begin{cases} x=\frac{7}{2}, \\ y=-2 \end{cases}$代入$2x-by=13$，$\begin{cases} x=3, \\ y=-7 \end{cases}$代入$ax+y=5$，得$\begin{cases} 2×\frac{7}{2}-b×(-2)=13, \\ 3a+(-7)=5, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=4, \\ b=3. \end{cases}$所以原方程组为$\begin{cases}4x+y=5③, \\2x-3y=13④.\end{cases}$由③$-$④$×2$，得$7y=-21$，解得$y=-3$。把$y=-3$代入③，得$4x+(-3)=5$，解得$x=2$。所以原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=-3 \end{cases}$
解析
【分析】
解题的核心逻辑是：看错某一个方程的系数时，得到的解仍然满足另一个未被看错的方程。首先，甲看错了方程①中的a，因此他解得的$\begin{cases} x = \frac{7}{2}, \\ y = -2 \end{cases}$符合方程②，代入②可求出正确的b值；乙看错了方程②中的b，因此他解得的$\begin{cases} x = 3, \\ y = -7 \end{cases}$符合方程①，代入①可求出正确的a值。得到a、b的准确值后，代入原方程组，再用加减消元法求解即可得到原方程组的解。
【解析】
∵甲看错了方程①中的a，
∴$\begin{cases} x = \frac{7}{2}, \\ y = -2 \end{cases}$是方程②的解，代入②得：
$2×\frac{7}{2} - b×(-2) = 13$
解得$b=3$
∵乙看错了方程②中的b，
∴$\begin{cases} x = 3, \\ y = -7 \end{cases}$是方程①的解，代入①得：
$3a + (-7) = 5$
解得$a=4$
∴原方程组为$\begin{cases}4x + y = 5 ③ \\ 2x - 3y =13 ④ \end{cases}$
将④×2得：$4x - 6y = 26$ ⑤
③-⑤得：$7y = -21$，解得$y=-3$
把$y=-3$代入③，得$4x - 3 = 5$，解得$x=2$
【答案】
$\begin{cases} x=2 \\ y=-3 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解的意义、解二元一次方程组
【点评】
本题是含参二元一次方程组的典型题型，解题关键是准确理解方程组解的定义，利用“看错的解仍满足未看错的方程”先求出参数值，再解标准方程组，侧重考察对概念的理解能力和基本运算能力。
【难度系数】
0.65
解题的核心逻辑是：看错某一个方程的系数时，得到的解仍然满足另一个未被看错的方程。首先，甲看错了方程①中的a，因此他解得的$\begin{cases} x = \frac{7}{2}, \\ y = -2 \end{cases}$符合方程②，代入②可求出正确的b值；乙看错了方程②中的b，因此他解得的$\begin{cases} x = 3, \\ y = -7 \end{cases}$符合方程①，代入①可求出正确的a值。得到a、b的准确值后，代入原方程组，再用加减消元法求解即可得到原方程组的解。
【解析】
∵甲看错了方程①中的a，
∴$\begin{cases} x = \frac{7}{2}, \\ y = -2 \end{cases}$是方程②的解，代入②得：
$2×\frac{7}{2} - b×(-2) = 13$
解得$b=3$
∵乙看错了方程②中的b，
∴$\begin{cases} x = 3, \\ y = -7 \end{cases}$是方程①的解，代入①得：
$3a + (-7) = 5$
解得$a=4$
∴原方程组为$\begin{cases}4x + y = 5 ③ \\ 2x - 3y =13 ④ \end{cases}$
将④×2得：$4x - 6y = 26$ ⑤
③-⑤得：$7y = -21$，解得$y=-3$
把$y=-3$代入③，得$4x - 3 = 5$，解得$x=2$
【答案】
$\begin{cases} x=2 \\ y=-3 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解的意义、解二元一次方程组
【点评】
本题是含参二元一次方程组的典型题型，解题关键是准确理解方程组解的定义，利用“看错的解仍满足未看错的方程”先求出参数值，再解标准方程组，侧重考察对概念的理解能力和基本运算能力。
【难度系数】
0.65
4 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases} y=kx+b, \\ y=(3k-1)x+2, \end{cases}$根据下列条件，分别求出$k,b$的值。
（1）有唯一解；
（2）有无数解；
（3）无解。
（1）有唯一解；
（2）有无数解；
（3）无解。
答案
把$y=kx+b$代入$y=(3k-1)x+2$，得$kx+b=(3k-1)x+2$，即$(2k-1)x=b-2$。
（1）当方程组有唯一解时，$2k-1≠0$，所以$k≠\frac{1}{2}$，$b$可以为任意实数
（2）当方程组有无数解时，$2k-1=0$且$b-2=0$，即$k=\frac{1}{2}$且$b=2$
（3）当方程组无解时，$2k-1=0$且$b-2≠0$，即$k=\frac{1}{2}$且$b≠2$
（1）当方程组有唯一解时，$2k-1≠0$，所以$k≠\frac{1}{2}$，$b$可以为任意实数
（2）当方程组有无数解时，$2k-1=0$且$b-2=0$，即$k=\frac{1}{2}$且$b=2$
（3）当方程组无解时，$2k-1=0$且$b-2≠0$，即$k=\frac{1}{2}$且$b≠2$
解析
【分析】
二元一次方程组的解是两个方程的公共解，我们可以先通过代入消元法消去y，把原方程组转化为关于x的一元一次方程，再结合一元一次方程“ax=c”的三类解的情况（唯一解、无数解、无解），分别列出k、b对应的满足条件，即可求解。
【解析】
把$y=kx+b$代入$y=(3k-1)x+2$，得：
$kx+b=(3k-1)x+2$
移项合并同类项后可得：$\boldsymbol{(2k-1)x = b-2}$
（1）当方程组有唯一解时，上述关于x的一元一次方程有唯一解，此时x的系数不为0，即$2k-1≠0$，解得$k≠\frac{1}{2}$，此时b的取值不影响方程有唯一解，故b为任意实数；
（2）当方程组有无数解时，上述关于x的一元一次方程有无数个解，此时满足x的系数为0且常数项也为0，即$\begin{cases}2k-1=0 \\ b-2=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2} \\ b=2 \end{cases}$；
（3）当方程组无解时，上述关于x的一元一次方程无解，此时满足x的系数为0且常数项不为0，即$\begin{cases}2k-1=0 \\ b-2≠0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2} \\ b≠2 \end{cases}$。
【答案】
（1）$k≠\frac{1}{2}$，b为任意实数；
（2）$k=\frac{1}{2}$，$b=2$；
（3）$k=\frac{1}{2}$，$b≠2$
【知识点】
二元一次方程组解的判定，代入消元法，含参一元一次方程解的判定
【点评】
本题考查含参二元一次方程组解的情况和参数取值的对应关系，解题关键是通过消元将二元方程组转化为熟悉的一元一次方程，再分类讨论参数的取值条件，解题时要注意不要漏了对应b的取值要求。
【难度系数】
0.7
二元一次方程组的解是两个方程的公共解，我们可以先通过代入消元法消去y，把原方程组转化为关于x的一元一次方程，再结合一元一次方程“ax=c”的三类解的情况（唯一解、无数解、无解），分别列出k、b对应的满足条件，即可求解。
【解析】
把$y=kx+b$代入$y=(3k-1)x+2$，得：
$kx+b=(3k-1)x+2$
移项合并同类项后可得：$\boldsymbol{(2k-1)x = b-2}$
（1）当方程组有唯一解时，上述关于x的一元一次方程有唯一解，此时x的系数不为0，即$2k-1≠0$，解得$k≠\frac{1}{2}$，此时b的取值不影响方程有唯一解，故b为任意实数；
（2）当方程组有无数解时，上述关于x的一元一次方程有无数个解，此时满足x的系数为0且常数项也为0，即$\begin{cases}2k-1=0 \\ b-2=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2} \\ b=2 \end{cases}$；
（3）当方程组无解时，上述关于x的一元一次方程无解，此时满足x的系数为0且常数项不为0，即$\begin{cases}2k-1=0 \\ b-2≠0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2} \\ b≠2 \end{cases}$。
【答案】
（1）$k≠\frac{1}{2}$，b为任意实数；
（2）$k=\frac{1}{2}$，$b=2$；
（3）$k=\frac{1}{2}$，$b≠2$
【知识点】
二元一次方程组解的判定，代入消元法，含参一元一次方程解的判定
【点评】
本题考查含参二元一次方程组解的情况和参数取值的对应关系，解题关键是通过消元将二元方程组转化为熟悉的一元一次方程，再分类讨论参数的取值条件，解题时要注意不要漏了对应b的取值要求。
【难度系数】
0.7
