1 用指定的方法解方程组：
(1) $\begin{cases} y=2x-3①, \\ 2x+y=5②; \end{cases}$（代入消元法）
(2) [2024 浙江] $\begin{cases} 2x-y=5①, \\ 4x+3y=-10②. \end{cases}$（加减消元法）

(1) 把①代入②，得 $2x+2x-3=5$，解得 $x=2$。把 $x=2$ 代入①，得 $y=2×2-3=1$。所以方程组的解是 $\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$
(2) ①$×3+$②，得 $10x=5$，解得 $x=\dfrac{1}{2}$。把 $x=\dfrac{1}{2}$ 代入①，得 $2×\dfrac{1}{2}-y=5$，解得 $y=-4$。所以方程组的解是 $\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}, \\ y=-4 \end{cases}$

【分析】
(1) 本题要求用代入消元法求解，观察方程组可知方程①已经直接给出y关于x的表达式，直接将①代入②即可消去未知数y，得到仅含x的一元一次方程，求出x的值后再回代到①即可求出y的值，最终得到方程组的解。
(2) 本题要求用加减消元法求解，观察两个方程中y的系数分别为-1和3，将方程①乘3后可使y的系数变为-3，与方程②中y的系数3互为相反数，将变形后的方程与②相加即可消去y，得到仅含x的一元一次方程，求出x的值后回代到①即可求出y的值，最终得到方程组的解。
【解析】
(1) 把①代入②，得 $2x+2x-3=5$，
整理得 $4x=8$，解得 $x=2$，
把 $x=2$ 代入①，得 $y=2×2-3=1$。
(2) ①$×3$，得 $6x-3y=15$ ③，
③+②，得 $10x=5$，解得 $x=\dfrac{1}{2}$，
把 $x=\dfrac{1}{2}$ 代入①，得 $2×\dfrac{1}{2}-y=5$，解得 $y=-4$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$；(2) $\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}, \\ y=-4 \end{cases}$
【知识点】
代入消元法解二元一次方程组，加减消元法解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组解法的基础题型，分别考查两种常用消元法的常规应用，解题核心是通过消元将二元一次方程转化为一元一次方程求解，熟练掌握两种消元法的适用场景和操作步骤即可快速准确解题。
【难度系数】
0.85

2 解方程组：$\begin{cases} \dfrac{x+y}{6} + \dfrac{x-y}{10} = 3, \\ \dfrac{x+y}{6} - \dfrac{x-y}{10} = -1. \end{cases}$

令$\dfrac{x+y}{6}=m$，$\dfrac{x-y}{10}=n$，则 $\begin{cases} m+n=3①, \\ m-n=-1②. \end{cases}$ 由①+②，得$2m=2$，解得 $m=1$。把 $m=1$ 代入①，得 $1+n=3$，解得 $n=2$。所以$\begin{cases} \dfrac{x+y}{6}=1, \\ \dfrac{x-y}{10}=2. \end{cases}$ 整理，得 $\begin{cases} x+y=6③, \\ x-y=20④. \end{cases}$ 由③+④，得 $2x=26$，解得$x=13$。把 $x=13$ 代入③，得 $13+y=6$，解得 $y=-7$。所以原方程组的解是 $\begin{cases} x=13, \\ y=-7 \end{cases}$

【分析】
观察方程组的结构，发现两个方程中都含有$\dfrac{x+y}{6}$和$\dfrac{x-y}{10}$两个相同的整体，因此可以采用换元法简化计算：先将这两个整体分别设为新的未知数$m$、$n$，把原方程组转化为关于$m$、$n$的简单二元一次方程组，求解出$m$、$n$的值后，再还原为关于$x$、$y$的二元一次方程组，最后求解得到$x$、$y$的值即可。
【解析】
令$\dfrac{x+y}{6}=m$，$\dfrac{x-y}{10}=n$，则原方程组可化为：
$\begin{cases} m+n=3① \\ m-n=-1② \end{cases}$
由①+②，得$2m=2$，解得 $m=1$。
把 $m=1$ 代入①，得 $1+n=3$，解得 $n=2$。
所以可得新的方程组：$\begin{cases} \dfrac{x+y}{6}=1 \\ \dfrac{x-y}{10}=2 \end{cases}$
整理后得：$\begin{cases} x+y=6③ \\ x-y=20④ \end{cases}$
由③+④，得 $2x=26$，解得$x=13$。
把 $x=13$ 代入③，得 $13+y=6$，解得 $y=-7$。
【答案】
$\begin{cases} x=13 \\ y=-7 \end{cases}$
【知识点】
换元法解方程组；加减消元法解二元一次方程组
【点评】
本题考查二元一次方程组的解法，解题关键是观察方程组的结构特征，选择换元法简化运算，避免直接去分母产生的复杂计算，选择合适的解法可以有效提升解题的准确率和效率。
【难度系数】
0.7

3 解方程组：$\begin{cases}3x - y - 2 = 0, \\ \dfrac{6x - 2y + 1}{5} + 3y = 10.\end{cases}$

把 $\begin{cases}3x - y - 2 = 0, \\ \dfrac{6x - 2y + 1}{5} + 3y = 10\end{cases}$ 整理，得 $\begin{cases} 3x-y=2①, \\ 6x+13y=49②. \end{cases}$ 将②变形，得 $2(3x-y)+15y=49③$。把①代入③，得 $4+15y=49$，解得 $y=3$。把 $y=3$ 代入①，得 $3x-3=2$，解得 $x=\dfrac{5}{3}$。所以原方程组的解是 $\begin{cases} x=\dfrac{5}{3}, \\ y=3 \end{cases}$

【分析】
本题是求解二元一次方程组，首先观察方程组中两个方程的系数特点：第一个方程整理后可得$3x-y=2$，第二个方程的分子中$6x-2y$恰好是$3x-y$的2倍，因此可以采用整体代入法求解，比常规的代入消元或加减消元更简便。解题时先将原方程组整理为标准形式，再把第二个方程变形为含有$(3x-y)$的结构，整体代入第一个方程的结论先求出$y$的值，最后代入求$x$的值即可。
【解析】
先对原方程组进行整理，得：
$\begin{cases} 3x-y=2①, \\ 6x+13y=49②. \end{cases}$
观察②的结构，将②变形为$2(3x-y)+15y=49③$，
把①代入③，得：$2×2 + 15y = 49$，即$4+15y=49$，
解得$y=3$。
把$y=3$代入①，得：$3x-3=2$，
解得$x=\dfrac{5}{3}$。
【答案】
$\begin{cases} x=\dfrac{5}{3}, \\ y=3 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组求解，整体代入消元法，等式的性质
【点评】
本题考查二元一次方程组的解法，解题时若能观察到方程系数之间的倍数关系，采用整体代入的方法可简化计算步骤，降低出错概率，平时练习时要注意培养观察方程结构特点的习惯。
【难度系数】
0.7

4 解方程组：$\begin{cases}5(x+1)=5+y①, \\3(y-1)=5(x+1)+2②.\end{cases}$

由①+②，得 $3(y-1)=5+y+2$，解得 $y=5$。把 $y=5$ 代入①，得 $5(x+1)=5+5$，解得 $x=1$。所以原方程组的解为 $\begin{cases} x=1, \\ y=5 \end{cases}$

【分析】
观察方程组的结构特征，发现两个方程都含有$5(x+1)$这个相同的整体，因此可以采用整体消元的思路：可将①中的$5(x+1)$整体代入②，也可通过两个方程相加消去$5(x+1)$，先得到只含$y$的一元一次方程，求解出$y$的值后，再代入①求出$x$的值，即可得到方程组的解。
【解析】
将①代入②（或两式相加消去$5(x+1)$），得 $3(y-1)=5+y+2$
去括号得：$3y-3=y+7$
移项、合并同类项得：$2y=10$
系数化为1，解得 $y=5$
把 $y=5$ 代入①，得 $5(x+1)=5+5$
化简得：$x+1=2$
解得 $x=1$
所以原方程组的解为 $\begin{cases} x=1 \\ y=5 \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} x=1, \\ y=5 \end{cases}$
【知识点】
代入消元法，解二元一次方程组，解一元一次方程
【点评】
本题是二元一次方程组解法的基础题型，重点考查整体思想在消元中的应用，通过观察式子特点选择简便的消元方法，可减少计算量、提升解题准确率。
【难度系数】
0.8

5 解方程组：$\begin{cases} \dfrac{2}{3}(2x+y)=4 \mathrm{①}, \\ \dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{6}(2x+y)=8 \mathrm{②}. \end{cases}$

由①，得 $2x+y=6③$。把③代入②，得 $\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{6}×6=8$，解得 $x=4$。把 $x=4$ 代入③，得 $8+y=6$，解得 $y=-2$。所以原方程组的解为 $\begin{cases} x=4, \\ y=-2 \end{cases}$

【分析】
观察方程组的结构，发现两个方程中都含有相同的代数式$2x+y$，若采用常规去分母整理为标准二元一次方程组的方法计算量较大，因此优先选择整体代入消元法：先从方程①求出$2x+y$的取值，再将其整体代入方程②，即可消去y得到关于x的一元一次方程，求出x的值后代入即可求出y的值，简化计算过程。
【解析】
首先处理方程①：
对①两边同时乘以$\dfrac{3}{2}$，得$2x+y=6$，记为③。
将③代入方程②，得：
$\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{6}×6=8$
化简计算得：$\dfrac{3}{4}x + 5 = 8$
移项得：$\dfrac{3}{4}x=3$
两边同时乘以$\dfrac{4}{3}$，解得$x=4$。
将$x=4$代入③，得：
$2×4 + y = 6$，即$8+y=6$
解得$y=-2$。
【答案】
$\begin{cases} x=4 \\ y=-2 \end{cases}$
【知识点】
整体代入消元法，一元一次方程的解法，二元一次方程组的解
【点评】
本题重点考查整体思想在解二元一次方程组中的应用，通过观察找到两个方程的公共代数式，采用整体代入的方法可以大幅减少计算量，避免繁琐的去分母、去括号运算，提升解题的速度和准确率，是解特殊结构二元一次方程组的常用技巧。
【难度系数】
0.8

6 解方程组：$\begin{cases} \dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y-1}{3} ①, \\ 2x - y =1 ②. \end{cases}$

设$\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y-1}{3}=k(k≠0)$，则 $x=2k-3$，$y=3k+1$。代入方程②，得 $2(2k-3)-(3k+1)=1$，解得 $k=8$。所以 $x=13$，$y=25$，即原方程组的解为 $\begin{cases} x=13, \\ y=25 \end{cases}$

【分析】观察方程组，第一个方程是两个分式相等的比例形式，可采用参数法简化计算：设两个分式的比值为参数k，就能将x、y都用含k的代数式表示，再代入第二个方程，可将二元一次方程组转化为关于k的一元一次方程，求出k的值后再反推x、y的值即可，该方法比先去分母整理方程的常规解法更简便。
【解析】设$\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y-1}{3}=k(k≠0)$，根据等式性质变形可得：
$x+3=2k$，即$x=2k-3$；
$y-1=3k$，即$y=3k+1$。
将$x=2k-3$、$y=3k+1$代入方程②$2x - y =1$，得：
$2(2k-3)-(3k+1)=1$
展开运算：$4k-6-3k-1=1$
合并同类项得：$k-7=1$
解得：$k=8$。
将$k=8$代入$x=2k-3$，得$x=2×8-3=13$；
将$k=8$代入$y=3k+1$，得$y=3×8+1=25$。
【答案】$\begin{cases} x=13, \\ y=25 \end{cases}$
【知识点】二元一次方程组的解法；代入消元法；比例的性质
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，当方程中出现连等的比例形式时，设参数k的方法可以简化运算步骤，解题过程中要注意去括号时的符号变化，避免计算失误。
【难度系数】0.7