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8 [2025 眉山]我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题:“九百九十九文钱,甜果苦果买一千,甜果九个十一文,苦果七个四文钱,试问甜苦果几个?”其大意如下:用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果,其中十一文钱可以买甜果九个,四文钱可以买苦果七个,问甜果苦果各买几个? 设买甜果$x$个,苦果$y$个,根据题意可列方程组为 $\boldsymbol{( \quad )}$
A.$\begin{cases} x+y=1\ 000, \\ 9x+7y=999 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=999, \\ 11x+4y=1\ 000 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=1\ 000, \\ \dfrac{11}{9}x+\dfrac{4}{7}y=999 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=1\ 000, \\ \dfrac{9}{11}x+\dfrac{7}{4}y=999 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x+y=1\ 000, \\ 9x+7y=999 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=999, \\ 11x+4y=1\ 000 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=1\ 000, \\ \dfrac{11}{9}x+\dfrac{4}{7}y=999 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=1\ 000, \\ \dfrac{9}{11}x+\dfrac{7}{4}y=999 \end{cases}$
答案
8. C
解析
【分析】
要列二元一次方程组解决本题，需先找到两个独立的等量关系：①甜果个数+苦果个数=总个数1000；②买甜果的总费用+买苦果的总费用=总钱数999文。首先根据第一个等量关系可以直接得到第一个方程，排除第一个方程不符合的选项；再计算两种水果的单价，结合“总价=单价×数量”得到第二个方程，即可选出正确选项。注意计算单价时，要用花的总钱数除以买到的水果个数，不要将分子分母写反。
【解析】
第一步，根据甜果和苦果的总个数列方程：
已知买甜果$x$个，苦果$y$个，共买1000个，因此可得方程：$x+y=1000$，由此可排除第一个方程为$x+y=999$的B选项。
第二步，计算两种水果的单价，根据总钱数列方程：
十一文买9个甜果，因此1个甜果的价格为$\dfrac{11}{9}$文，$x$个甜果的总费用为$\dfrac{11}{9}x$文；
四文买7个苦果，因此1个苦果的价格为$\dfrac{4}{7}$文，$y$个苦果的总费用为$\dfrac{4}{7}y$文；
已知总费用为999文，因此可得方程：$\dfrac{11}{9}x+\dfrac{4}{7}y=999$。
综上，可列方程组为$\begin{cases} x+y=1\ 000, \\ \dfrac{11}{9}x+\dfrac{4}{7}y=999 \end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用；单价数量总价关系
【点评】
本题结合古代数学典籍的问题出题，核心考查从实际情境中提取等量关系的能力，易错点是计算单价时容易将钱数和数量的位置写反，解题时要明确“单个商品价格=总花费÷买到的商品数量”。
【难度系数】
0.7
要列二元一次方程组解决本题，需先找到两个独立的等量关系：①甜果个数+苦果个数=总个数1000；②买甜果的总费用+买苦果的总费用=总钱数999文。首先根据第一个等量关系可以直接得到第一个方程，排除第一个方程不符合的选项；再计算两种水果的单价，结合“总价=单价×数量”得到第二个方程，即可选出正确选项。注意计算单价时，要用花的总钱数除以买到的水果个数，不要将分子分母写反。
【解析】
第一步，根据甜果和苦果的总个数列方程：
已知买甜果$x$个，苦果$y$个，共买1000个，因此可得方程：$x+y=1000$，由此可排除第一个方程为$x+y=999$的B选项。
第二步，计算两种水果的单价，根据总钱数列方程：
十一文买9个甜果，因此1个甜果的价格为$\dfrac{11}{9}$文，$x$个甜果的总费用为$\dfrac{11}{9}x$文；
四文买7个苦果，因此1个苦果的价格为$\dfrac{4}{7}$文，$y$个苦果的总费用为$\dfrac{4}{7}y$文；
已知总费用为999文，因此可得方程：$\dfrac{11}{9}x+\dfrac{4}{7}y=999$。
综上，可列方程组为$\begin{cases} x+y=1\ 000, \\ \dfrac{11}{9}x+\dfrac{4}{7}y=999 \end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用；单价数量总价关系
【点评】
本题结合古代数学典籍的问题出题，核心考查从实际情境中提取等量关系的能力，易错点是计算单价时容易将钱数和数量的位置写反，解题时要明确“单个商品价格=总花费÷买到的商品数量”。
【难度系数】
0.7
9 芳芳和元元一起玩用火柴棍摆图形的游戏，三角形和正方形一共摆了10个（如图，任意两个图形之间没有公共边）。如果她们一共用了36根火柴棍，那么她们摆了
4
个三角形，6
个正方形。答案
9. 4 6
解析
【分析】
这道题可通过方程思想求解，首先梳理题中的两个等量关系：①三角形的个数与正方形的个数之和为10；②摆三角形消耗的火柴总数与摆正方形消耗的火柴总数之和为36，已知单个三角形需3根火柴、单个正方形需4根火柴，我们可以设两个未知数，根据等量关系列出方程组，再解方程组得到结果。
【解析】
设摆了$x$个三角形，$y$个正方形，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 10 \quad \mathrm{（总图形个数为10）} \\3x + 4y = 36 \quad \mathrm{（总火柴棍数量为36）}\end{cases}$
由第一个方程得：$x = 10 - y$，将其代入第二个方程：
$3(10-y) + 4y = 36$
展开计算：$30 - 3y + 4y = 36$
化简得：$30 + y = 36$，解得$y=6$
将$y=6$代入$x=10-y$，得$x=10-6=4$
【答案】
4；6
【知识点】
二元一次方程组的应用；列方程解应用题
【点评】
本题属于基础的方程类实际应用题，解题核心是准确提取题目中的等量关系，再通过代入消元法求解方程组即可，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
这道题可通过方程思想求解，首先梳理题中的两个等量关系：①三角形的个数与正方形的个数之和为10；②摆三角形消耗的火柴总数与摆正方形消耗的火柴总数之和为36，已知单个三角形需3根火柴、单个正方形需4根火柴，我们可以设两个未知数，根据等量关系列出方程组，再解方程组得到结果。
【解析】
设摆了$x$个三角形，$y$个正方形，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 10 \quad \mathrm{（总图形个数为10）} \\3x + 4y = 36 \quad \mathrm{（总火柴棍数量为36）}\end{cases}$
由第一个方程得：$x = 10 - y$，将其代入第二个方程：
$3(10-y) + 4y = 36$
展开计算：$30 - 3y + 4y = 36$
化简得：$30 + y = 36$，解得$y=6$
将$y=6$代入$x=10-y$，得$x=10-6=4$
【答案】
4；6
【知识点】
二元一次方程组的应用；列方程解应用题
【点评】
本题属于基础的方程类实际应用题，解题核心是准确提取题目中的等量关系，再通过代入消元法求解方程组即可，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
10 你看过《一千零一夜》吗？有个故事中有一个绝妙的谜语：有一群鸽子，飞过一棵高高的树，一部分鸽子落在树上，其他的停在树下，一只落在树上的鸽子对树下的鸽子说：“倘若你们当中有一只飞上来，你们的数目就是我们总数的$\frac{1}{3}$；倘若我们中飞下去一只，我们的数目恰好和你们相同啦！”根据这段描述，问：有多少只鸽子在树上，多少只鸽子在树下？
答案
10. 设有x只鸽子在树上,有y只鸽子在树下.由题意,得$\begin{cases} \dfrac{1}{3}(x+y)=y-1, \\ x-1=y+1, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=7, \\ y=5. \end{cases}$所以有7只鸽子在树上,5只鸽子在树下
解析
【分析】
本题存在两个未知量，分别是树上的鸽子数量和树下的鸽子数量，适合用二元一次方程组求解。解题思路为：首先设两个未知数分别对应树上、树下的鸽子数；其次从题目描述的两种假设情景中梳理出两个等量关系：一是树下飞1只到树上后，此时树下的鸽子数等于鸽子总数量的$\frac{1}{3}$；二是树上飞1只到树下后，此时树上和树下的鸽子数相等；最后根据等量关系列出方程组，求解后验证结果符合实际意义即可。
【解析】
解：设有$x$只鸽子在树上，有$y$只鸽子在树下。
根据题意，列方程组得：
$\begin{cases} \dfrac{1}{3}(x+y)=y-1 \\ x-1=y+1 \end{cases}$
先化简第二个方程，可得：$x=y+2$
将$x=y+2$代入第一个方程：
$\dfrac{1}{3}(y+2+y)=y-1$
两边同乘3消去分母得：$2y+2=3(y-1)$
展开整理得：$2y+2=3y-3$
解得：$y=5$
把$y=5$代入$x=y+2$，得$x=5+2=7$
经检验，$x=7$、$y=5$均为正整数，符合实际意义。
【答案】
有7只鸽子在树上，5只鸽子在树下
【知识点】
二元一次方程组的应用；等量关系梳理；解二元一次方程组
【点评】
本题是经典的方程实际应用类题型，解题核心是准确理解题意，从两种假设情景中提取对应等量关系建立数学模型，求解后注意验证结果是否符合实际场景要求，这类题目可以锻炼信息提取和数学建模的能力。
【难度系数】
0.7
本题存在两个未知量，分别是树上的鸽子数量和树下的鸽子数量，适合用二元一次方程组求解。解题思路为：首先设两个未知数分别对应树上、树下的鸽子数；其次从题目描述的两种假设情景中梳理出两个等量关系：一是树下飞1只到树上后，此时树下的鸽子数等于鸽子总数量的$\frac{1}{3}$；二是树上飞1只到树下后，此时树上和树下的鸽子数相等；最后根据等量关系列出方程组，求解后验证结果符合实际意义即可。
【解析】
解：设有$x$只鸽子在树上，有$y$只鸽子在树下。
根据题意，列方程组得：
$\begin{cases} \dfrac{1}{3}(x+y)=y-1 \\ x-1=y+1 \end{cases}$
先化简第二个方程，可得：$x=y+2$
将$x=y+2$代入第一个方程：
$\dfrac{1}{3}(y+2+y)=y-1$
两边同乘3消去分母得：$2y+2=3(y-1)$
展开整理得：$2y+2=3y-3$
解得：$y=5$
把$y=5$代入$x=y+2$，得$x=5+2=7$
经检验，$x=7$、$y=5$均为正整数，符合实际意义。
【答案】
有7只鸽子在树上，5只鸽子在树下
【知识点】
二元一次方程组的应用；等量关系梳理；解二元一次方程组
【点评】
本题是经典的方程实际应用类题型，解题核心是准确理解题意，从两种假设情景中提取对应等量关系建立数学模型，求解后注意验证结果是否符合实际场景要求，这类题目可以锻炼信息提取和数学建模的能力。
【难度系数】
0.7
11 载重后总质量超过 49 吨的车辆禁止通行某大桥.现有一辆自重8吨的卡车,要运输若干套某种设备,每套设备由1个A部件和3个B部件组成,这种设备必须成套运输.已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨,2个A部件和3个B部件的质量相等.
(1)1个A部件和1个B部件的质量各为多少吨?
(2)该卡车要运输这种成套设备通过此大桥,现准备一次运输10套设备,请你判断能否通行,并说明理由.
(1)1个A部件和1个B部件的质量各为多少吨?
(2)该卡车要运输这种成套设备通过此大桥,现准备一次运输10套设备,请你判断能否通行,并说明理由.
答案
11. (1)设1个A部件的质量为x吨,1个B部件的质量为y吨.根据题意,得$\begin{cases} x+2y=2.8, \\ 2x=3y, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=1.2, \\ y=0.8. \end{cases}$所以1个A部件的质量为1.2吨,1个B部件的质量为0.8吨 (2)能通行
理由:因为装载10套设备的卡车总质量为10×1.2+3×10×0.8+8=44(吨),44＜49,所以能通行.
理由:因为装载10套设备的卡车总质量为10×1.2+3×10×0.8+8=44(吨),44＜49,所以能通行.
解析
【分析】
(1) 求解A、B部件的质量可通过设未知数列方程组解决，首先提取题干中的两个等量关系：①1个A部件质量+2个B部件质量=2.8吨；②2个A部件质量=3个B部件质量，将两个等量关系转化为方程联立求解即可。
(2) 判断能否通行需要先计算车辆运输10套设备的总质量，总质量包含卡车自重和10套设备的质量，再将总质量与49吨比较，若小于49吨即可通行，反之不能通行。
【解析】
(1) 设1个A部件的质量为$x$吨，1个B部件的质量为$y$吨。
根据题意，列方程组得：
$\begin{cases} x+2y=2.8 \\ 2x=3y \end{cases}$
由$2x=3y$可得$x=\frac{3}{2}y$，将其代入$x+2y=2.8$中，得：
$\frac{3}{2}y+2y=2.8$，解得$y=0.8$
把$y=0.8$代入$x=\frac{3}{2}y$，得$x=\frac{3}{2}×0.8=1.2$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=1.2 \\ y=0.8 \end{cases}$
(2) 能通行，理由如下：
10套设备的总质量为$10×1.2 + 10×3×0.8=36$吨，
加上卡车自重后车辆总质量为$36+8=44$吨，
因为$44＜49$，符合通行要求，所以可以通行。
【答案】
(1) 1个A部件的质量为1.2吨，1个B部件的质量为0.8吨；(2) 能通行
【知识点】
二元一次方程组的应用，列代数式，有理数大小比较
【点评】
本题属于基础的实际应用类题型，解题关键是准确提取题干中的等量关系，计算总质量时注意不要遗漏卡车自重，整体逻辑清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
(1) 求解A、B部件的质量可通过设未知数列方程组解决，首先提取题干中的两个等量关系：①1个A部件质量+2个B部件质量=2.8吨；②2个A部件质量=3个B部件质量，将两个等量关系转化为方程联立求解即可。
(2) 判断能否通行需要先计算车辆运输10套设备的总质量，总质量包含卡车自重和10套设备的质量，再将总质量与49吨比较，若小于49吨即可通行，反之不能通行。
【解析】
(1) 设1个A部件的质量为$x$吨，1个B部件的质量为$y$吨。
根据题意，列方程组得：
$\begin{cases} x+2y=2.8 \\ 2x=3y \end{cases}$
由$2x=3y$可得$x=\frac{3}{2}y$，将其代入$x+2y=2.8$中，得：
$\frac{3}{2}y+2y=2.8$，解得$y=0.8$
把$y=0.8$代入$x=\frac{3}{2}y$，得$x=\frac{3}{2}×0.8=1.2$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=1.2 \\ y=0.8 \end{cases}$
(2) 能通行，理由如下：
10套设备的总质量为$10×1.2 + 10×3×0.8=36$吨，
加上卡车自重后车辆总质量为$36+8=44$吨，
因为$44＜49$，符合通行要求，所以可以通行。
【答案】
(1) 1个A部件的质量为1.2吨，1个B部件的质量为0.8吨；(2) 能通行
【知识点】
二元一次方程组的应用，列代数式，有理数大小比较
【点评】
本题属于基础的实际应用类题型，解题关键是准确提取题干中的等量关系，计算总质量时注意不要遗漏卡车自重，整体逻辑清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
