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1. 如图，AC是$\odot O$的弦，$AC=6$，点B是$\odot O$上的一个动点，且$∠ ABC=60°$. 若点M，N分别是AC，BC的中点，则MN的最大值是（
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{6}$
D.$2\sqrt{6}$
第1题图 第2题图
B
）A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{6}$
D.$2\sqrt{6}$
第1题图 第2题图
答案
1.B
解析
【分析】
首先观察到点M、N分别是AC、BC的中点，可联想到三角形中位线定理，得到MN与AB的数量关系：$MN=\frac{1}{2}AB$，因此求MN的最大值可转化为求弦AB的最大值。在圆中，最长的弦是直径，因此当AB为$\odot O$的直径时AB最大，此时结合直径所对圆周角为直角的性质，可构造直角三角形，利用已知的角度和边长求出直径AB的长度，最终得到MN的最大值。
【解析】
1. 由点M，N分别是AC，BC的中点，可知MN是$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线定理得：
$MN=\frac{1}{2}AB$，因此要使MN最大，只需AB取得最大值。
2. 在$\odot O$中，弦的最大值为直径，因此当AB为$\odot O$的直径时，AB最大。
3. 当AB为直径时，根据直径所对的圆周角是直角，可得$∠ ACB=90°$。
已知$∠ ABC=60°$，$AC=6$，在$Rt△ ABC$中，$\sin∠ ABC=\frac{AC}{AB}$，代入数据得：
$\sin60°=\frac{6}{AB}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{AB}$，解得$AB=4\sqrt{3}$。
4. 因此MN的最大值为$\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，圆周角定理，圆的弦的性质
【点评】
本题是圆中最值问题的典型题型，解题核心是通过中位线将待求线段的最值转化为圆中弦的最值，再结合圆周角性质和解直角三角形的知识求解，很好地考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先观察到点M、N分别是AC、BC的中点，可联想到三角形中位线定理，得到MN与AB的数量关系：$MN=\frac{1}{2}AB$，因此求MN的最大值可转化为求弦AB的最大值。在圆中，最长的弦是直径，因此当AB为$\odot O$的直径时AB最大，此时结合直径所对圆周角为直角的性质，可构造直角三角形，利用已知的角度和边长求出直径AB的长度，最终得到MN的最大值。
【解析】
1. 由点M，N分别是AC，BC的中点，可知MN是$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线定理得：
$MN=\frac{1}{2}AB$，因此要使MN最大，只需AB取得最大值。
2. 在$\odot O$中，弦的最大值为直径，因此当AB为$\odot O$的直径时，AB最大。
3. 当AB为直径时，根据直径所对的圆周角是直角，可得$∠ ACB=90°$。
已知$∠ ABC=60°$，$AC=6$，在$Rt△ ABC$中，$\sin∠ ABC=\frac{AC}{AB}$，代入数据得：
$\sin60°=\frac{6}{AB}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{AB}$，解得$AB=4\sqrt{3}$。
4. 因此MN的最大值为$\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，圆周角定理，圆的弦的性质
【点评】
本题是圆中最值问题的典型题型，解题核心是通过中位线将待求线段的最值转化为圆中弦的最值，再结合圆周角性质和解直角三角形的知识求解，很好地考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
2. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$AB$经过$A(3,0)$,$B(0,4)$,$\odot O$的半径为$2(O$为坐标原点$)$,点$P$是直线$AB$上的一动点,过点$P$作$\odot O$的一条切线$PQ$,$Q$为切点,则切线长$PQ$的最小值为 (
A.$\dfrac{2\sqrt{11}}{5}$
B.$2$
C.$3$
D.$\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$
A
)A.$\dfrac{2\sqrt{11}}{5}$
B.$2$
C.$3$
D.$\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$
答案
2.A
解析
【分析】
要计算切线长PQ的最小值，首先结合切线的性质可知，OQ⊥PQ，△OPQ为直角三角形，其中OQ是⊙O的半径为定值2，根据勾股定理可得$PQ=\sqrt{OP^2 - OQ^2}$，因此要让PQ最小，只需OP最小即可。OP是原点O到直线AB上动点P的距离，根据“垂线段最短”，OP的最小值为点O到直线AB的垂线段长度，因此先求直线AB的解析式，再计算点O到AB的距离，最后代入勾股定理即可求出PQ的最小值。
【解析】
1. 求直线AB的解析式：
设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将$A(3,0)$、$B(0,4)$代入得：
$\begin{cases} b=4 \\ 3k+b=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=-\dfrac{4}{3} \\ b=4 \end{cases}$
因此直线AB的解析式为$y=-\dfrac{4}{3}x+4$，整理为一般式：$4x+3y-12=0$。
2. 求点O到直线AB的最短距离：
根据点到直线的距离公式，原点$O(0,0)$到直线AB的最短距离$OP_{\mathrm{min}}=\dfrac{|4×0 + 3×0 -12|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\dfrac{12}{5}$。
3. 计算最小切线长PQ：
因为PQ是⊙O的切线，Q为切点，所以$OQ⊥ PQ$，$OQ=2$。
在$Rt△ OPQ$中，由勾股定理得：
$PQ=\sqrt{OP^2 - OQ^2}$
当OP取最小值$\dfrac{12}{5}$时，PQ最小：
$PQ_{\mathrm{min}}=\sqrt{(\dfrac{12}{5})^2 - 2^2}=\sqrt{\dfrac{144}{25}-\dfrac{100}{25}}=\sqrt{\dfrac{44}{25}}=\dfrac{2\sqrt{11}}{5}$
【答案】
A
【知识点】
切线的性质、点到直线的距离、勾股定理
【点评】
本题是圆中最值问题的典型题型，解题核心是将切线长的最值转化为圆心到直线上动点的距离最值，利用“垂线段最短”确定最短距离的位置，再结合切线性质和勾股定理计算即可，重点考察转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
要计算切线长PQ的最小值，首先结合切线的性质可知，OQ⊥PQ，△OPQ为直角三角形，其中OQ是⊙O的半径为定值2，根据勾股定理可得$PQ=\sqrt{OP^2 - OQ^2}$，因此要让PQ最小，只需OP最小即可。OP是原点O到直线AB上动点P的距离，根据“垂线段最短”，OP的最小值为点O到直线AB的垂线段长度，因此先求直线AB的解析式，再计算点O到AB的距离，最后代入勾股定理即可求出PQ的最小值。
【解析】
1. 求直线AB的解析式：
设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将$A(3,0)$、$B(0,4)$代入得：
$\begin{cases} b=4 \\ 3k+b=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=-\dfrac{4}{3} \\ b=4 \end{cases}$
因此直线AB的解析式为$y=-\dfrac{4}{3}x+4$，整理为一般式：$4x+3y-12=0$。
2. 求点O到直线AB的最短距离：
根据点到直线的距离公式，原点$O(0,0)$到直线AB的最短距离$OP_{\mathrm{min}}=\dfrac{|4×0 + 3×0 -12|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\dfrac{12}{5}$。
3. 计算最小切线长PQ：
因为PQ是⊙O的切线，Q为切点，所以$OQ⊥ PQ$，$OQ=2$。
在$Rt△ OPQ$中，由勾股定理得：
$PQ=\sqrt{OP^2 - OQ^2}$
当OP取最小值$\dfrac{12}{5}$时，PQ最小：
$PQ_{\mathrm{min}}=\sqrt{(\dfrac{12}{5})^2 - 2^2}=\sqrt{\dfrac{144}{25}-\dfrac{100}{25}}=\sqrt{\dfrac{44}{25}}=\dfrac{2\sqrt{11}}{5}$
【答案】
A
【知识点】
切线的性质、点到直线的距离、勾股定理
【点评】
本题是圆中最值问题的典型题型，解题核心是将切线长的最值转化为圆心到直线上动点的距离最值，利用“垂线段最短”确定最短距离的位置，再结合切线性质和勾股定理计算即可，重点考察转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
3. 如图,在平面直角坐标系中,已知点 C(3,4),以点 C 为圆心的圆与 y 轴相切.点 A,B 在 x 轴上,且 OA=OB,点 P 为⊙C 上的动点,∠APB=90°,则 AB 长度的最小值为（
A.4
B.3
C.7
D.8
A
）A.4
B.3
C.7
D.8
答案
3.A
解析
【分析】
要解决本题，首先进行转化：已知∠APB=90°且OA=OB，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得AB=2OP，因此求AB长度的最小值等价于求OP的最小值。其次分析圆的基本性质：以C(3,4)为圆心的圆与y轴相切，可先求出圆的半径，再根据“圆外一点到圆上各点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径”计算OP的最小值，最终即可求出AB的最小值。
【解析】
1. 转化最值问题：
∵∠APB=90°，OA=OB，
∴O是Rt△APB斜边AB的中点，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：$OP=\frac{1}{2}AB$，即$AB=2OP$，
因此要使AB最小，只需OP取得最小值即可。
2. 求⊙C的半径：
∵⊙C与y轴相切，圆心C(3,4)，
∴⊙C的半径r等于点C到y轴的距离，即$r=3$。
3. 计算OP的最小值：
由勾股定理可得OC的长度：$OC=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
点O到⊙C上点的最短距离为OC减去半径，即OP的最小值$=OC - r=5-3=2$。
4. 计算AB的最小值：
AB的最小值$=2×$OP的最小值$=2×2=4$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线定理，点到圆的最短距离，勾股定理
【点评】
本题属于圆的最值典型题型，核心是通过直角三角形的性质将AB的最值转化为OP的最值，再结合点与圆的位置关系求解，考察了几何中的转化思想，对基础几何性质的综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先进行转化：已知∠APB=90°且OA=OB，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得AB=2OP，因此求AB长度的最小值等价于求OP的最小值。其次分析圆的基本性质：以C(3,4)为圆心的圆与y轴相切，可先求出圆的半径，再根据“圆外一点到圆上各点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径”计算OP的最小值，最终即可求出AB的最小值。
【解析】
1. 转化最值问题：
∵∠APB=90°，OA=OB，
∴O是Rt△APB斜边AB的中点，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：$OP=\frac{1}{2}AB$，即$AB=2OP$，
因此要使AB最小，只需OP取得最小值即可。
2. 求⊙C的半径：
∵⊙C与y轴相切，圆心C(3,4)，
∴⊙C的半径r等于点C到y轴的距离，即$r=3$。
3. 计算OP的最小值：
由勾股定理可得OC的长度：$OC=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
点O到⊙C上点的最短距离为OC减去半径，即OP的最小值$=OC - r=5-3=2$。
4. 计算AB的最小值：
AB的最小值$=2×$OP的最小值$=2×2=4$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线定理，点到圆的最短距离，勾股定理
【点评】
本题属于圆的最值典型题型，核心是通过直角三角形的性质将AB的最值转化为OP的最值，再结合点与圆的位置关系求解，考察了几何中的转化思想，对基础几何性质的综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.6
4.(南充中考)如图，AB是$\odot O$的直径，$AD⊥ AB$于点A，$OD$交$\odot O$于点C，$AE⊥ OD$于点E，交$\odot O$于点F，F为$\overset{\frown}{BC}$的中点，P为线段AB上一动点，若$CD=4$，则$PE+PF$的最小值是（
A.4
B.$2\sqrt{7}$
C.6
D.$4\sqrt{3}$
C
）A.4
B.$2\sqrt{7}$
C.6
D.$4\sqrt{3}$
答案
4.C
解析
【分析】
本题是圆的性质与将军饮马最短路径结合的综合题，解题思路如下：第一步先求⊙O的半径：结合垂径定理和F是弧BC中点的条件，推导得到三段等弧，对应三个相等的圆心角，每个角为60°；再结合直角三角形30°角的性质，利用CD=4求出半径。第二步求最短路径：利用将军饮马模型，作F关于AB的对称点F'，则PE+PF的最小值就是线段EF'的长度，计算EF'的长度即可得到结果。
【解析】
1. 求⊙O的半径
设⊙O的半径为$r$，则$OA=OC=r$，$OD=OC+CD=r+4$。
∵$AE⊥OD$，OD是⊙O的半径，由垂径定理得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CF}$。
∵F是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{FB}$，因此$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{FB}$。
∵AB是直径，$∠ AOB=180°$，
∴$∠ AOC=∠ COF=∠ FOB=\frac{180°}{3}=60°$。
∵$AD⊥AB$，
∴$∠ OAD=90°$，在$Rt△ OAD$中，$∠ D=90°-∠ AOC=30°$，
∴$OD=2OA$，即$r+4=2r$，解得$r=4$，即$OA=4$，$OD=8$。
2. 计算$PE+PF$的最小值
根据将军饮马模型，作点F关于AB的对称点$F'$，则$PF=PF'$，因此$PE+PF=PE+PF'≥ EF'$，当E、P、$F'$三点共线时取等号，最小值为$EF'$的长度。
在$Rt△ OAE$中，$OA=4$，$∠ AOE=60°$，
∴$OE=OA·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$。
设O为坐标原点，AB所在直线为x轴：
E点横坐标为$-OE·\cos60°=-1$，纵坐标为$OE·\sin60°=\sqrt{3}$，即$E(-1,\sqrt{3})$；
F点横坐标为$OF·\cos60°=2$，纵坐标为$OF·\sin60°=2\sqrt{3}$，则F关于AB的对称点$F'(2,-2\sqrt{3})$。
计算$EF'$的长度：
$EF'=\sqrt{(2-(-1))^2+(-2\sqrt{3}-\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6$
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，最短路径问题，圆的基本性质
【点评】
本题将圆的性质和最短路径问题结合考查，解题关键是先通过等弧关系推导圆心角度数求出半径，再利用对称转化线段和的最小值，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.6
本题是圆的性质与将军饮马最短路径结合的综合题，解题思路如下：第一步先求⊙O的半径：结合垂径定理和F是弧BC中点的条件，推导得到三段等弧，对应三个相等的圆心角，每个角为60°；再结合直角三角形30°角的性质，利用CD=4求出半径。第二步求最短路径：利用将军饮马模型，作F关于AB的对称点F'，则PE+PF的最小值就是线段EF'的长度，计算EF'的长度即可得到结果。
【解析】
1. 求⊙O的半径
设⊙O的半径为$r$，则$OA=OC=r$，$OD=OC+CD=r+4$。
∵$AE⊥OD$，OD是⊙O的半径，由垂径定理得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CF}$。
∵F是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{FB}$，因此$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{FB}$。
∵AB是直径，$∠ AOB=180°$，
∴$∠ AOC=∠ COF=∠ FOB=\frac{180°}{3}=60°$。
∵$AD⊥AB$，
∴$∠ OAD=90°$，在$Rt△ OAD$中，$∠ D=90°-∠ AOC=30°$，
∴$OD=2OA$，即$r+4=2r$，解得$r=4$，即$OA=4$，$OD=8$。
2. 计算$PE+PF$的最小值
根据将军饮马模型，作点F关于AB的对称点$F'$，则$PF=PF'$，因此$PE+PF=PE+PF'≥ EF'$，当E、P、$F'$三点共线时取等号，最小值为$EF'$的长度。
在$Rt△ OAE$中，$OA=4$，$∠ AOE=60°$，
∴$OE=OA·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$。
设O为坐标原点，AB所在直线为x轴：
E点横坐标为$-OE·\cos60°=-1$，纵坐标为$OE·\sin60°=\sqrt{3}$，即$E(-1,\sqrt{3})$；
F点横坐标为$OF·\cos60°=2$，纵坐标为$OF·\sin60°=2\sqrt{3}$，则F关于AB的对称点$F'(2,-2\sqrt{3})$。
计算$EF'$的长度：
$EF'=\sqrt{(2-(-1))^2+(-2\sqrt{3}-\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6$
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，最短路径问题，圆的基本性质
【点评】
本题将圆的性质和最短路径问题结合考查，解题关键是先通过等弧关系推导圆心角度数求出半径，再利用对称转化线段和的最小值，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.6
5. 如图，$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC⊥ BC$，$AC=8$，$BC=12$，$P$是$△ ABC$内部的一个动点，且满足$∠ PCA=∠ PBC$，则线段$AP$长的最小值为 （
A.$4$
B.$\frac{16\sqrt{13}}{13}$
C.$3$
D.$\frac{12\sqrt{13}}{13}$
A
）A.$4$
B.$\frac{16\sqrt{13}}{13}$
C.$3$
D.$\frac{12\sqrt{13}}{13}$
答案
5.A
解析
【分析】
首先结合∠ACB=90°与已知∠PCA=∠PBC，推导得出∠BPC=90°，由此确定动点P的运动轨迹是以BC为直径的圆；再根据点到圆上点的最短距离为“点到圆心的距离减去半径”，即可计算出AP的最小值。
【解析】
解：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，即∠PCA + ∠PCB = 90°。
又
∵∠PCA=∠PBC，
∴∠PBC + ∠PCB = 90°，
∴在△PBC中，∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=90°，
∴点P的运动轨迹为以BC为直径的圆。
设BC的中点为O，即该圆的圆心为O，半径$r=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$。
连接AO，在Rt△ACO中，AC=8，CO=6，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AC^2 + CO^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
根据圆的性质，点A到圆O上点的最短距离为$AO - r$，
∴AP的最小值为$10-6=4$。
【答案】
A
【知识点】
隐圆判定，勾股定理，点到圆的最短距离
【点评】
本题是典型的隐圆最值问题，解题的核心是通过角的等量关系推导出动点的轨迹为圆，将线段最值问题转化为点到圆的距离问题求解，能有效考察几何逻辑推理和知识转化能力。
【难度系数】
0.6
首先结合∠ACB=90°与已知∠PCA=∠PBC，推导得出∠BPC=90°，由此确定动点P的运动轨迹是以BC为直径的圆；再根据点到圆上点的最短距离为“点到圆心的距离减去半径”，即可计算出AP的最小值。
【解析】
解：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，即∠PCA + ∠PCB = 90°。
又
∵∠PCA=∠PBC，
∴∠PBC + ∠PCB = 90°，
∴在△PBC中，∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=90°，
∴点P的运动轨迹为以BC为直径的圆。
设BC的中点为O，即该圆的圆心为O，半径$r=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$。
连接AO，在Rt△ACO中，AC=8，CO=6，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AC^2 + CO^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
根据圆的性质，点A到圆O上点的最短距离为$AO - r$，
∴AP的最小值为$10-6=4$。
【答案】
A
【知识点】
隐圆判定，勾股定理，点到圆的最短距离
【点评】
本题是典型的隐圆最值问题，解题的核心是通过角的等量关系推导出动点的轨迹为圆，将线段最值问题转化为点到圆的距离问题求解，能有效考察几何逻辑推理和知识转化能力。
【难度系数】
0.6
6.如图,在$\odot O$中,弦$AB=6$,点C在AB上移动,连接OC,过点C作$CD⊥OC$交$\odot O$于点D,则CD的最大值为
3
.答案
6.3
解析
【分析】
解题时先连接OD构造直角三角形，利用勾股定理得到CD与OC、OD的数量关系：$CD^2=OD^2-OC^2$。由于OD是圆的半径为定值，因此要使CD最大，需让OC最小。根据“垂线段最短”可知，当OC垂直AB时OC的长度最小，再结合垂径定理即可求出CD的最大值。
【解析】
解：连接OD，
∵ $CD⊥OC$，
∴ $∠OCD=90°$，
在$Rt△ OCD$中，由勾股定理得：$CD^2=OD^2-OC^2$。
∵ OD是$\odot O$的半径，为定值，
∴ 当OC的长度最小时，CD的长度最大。
根据垂线段最短的性质，当$OC⊥AB$时，OC的长度最小，此时C为AB的中点（垂径定理）。
设$\odot O$半径为R，圆心O到AB的距离为d（即此时OC的长度），由垂径定理得：$R^2 - d^2 = (\frac{AB}{2})^2$。
已知$AB=6$，代入得$R^2 - d^2 = (\frac{6}{2})^2=9$，即此时$CD^2=9$，
∴ CD的最大值为$\sqrt{9}=3$。
【答案】
3
【知识点】
垂径定理；勾股定理；垂线段最短
【点评】
本题是圆中典型的最值问题，核心是通过转化思想，将CD的最值转化为OC的最值问题，结合圆的基本性质和直角三角形的性质求解，有利于培养学生的几何转化思维。
【难度系数】
0.6
解题时先连接OD构造直角三角形，利用勾股定理得到CD与OC、OD的数量关系：$CD^2=OD^2-OC^2$。由于OD是圆的半径为定值，因此要使CD最大，需让OC最小。根据“垂线段最短”可知，当OC垂直AB时OC的长度最小，再结合垂径定理即可求出CD的最大值。
【解析】
解：连接OD，
∵ $CD⊥OC$，
∴ $∠OCD=90°$，
在$Rt△ OCD$中，由勾股定理得：$CD^2=OD^2-OC^2$。
∵ OD是$\odot O$的半径，为定值，
∴ 当OC的长度最小时，CD的长度最大。
根据垂线段最短的性质，当$OC⊥AB$时，OC的长度最小，此时C为AB的中点（垂径定理）。
设$\odot O$半径为R，圆心O到AB的距离为d（即此时OC的长度），由垂径定理得：$R^2 - d^2 = (\frac{AB}{2})^2$。
已知$AB=6$，代入得$R^2 - d^2 = (\frac{6}{2})^2=9$，即此时$CD^2=9$，
∴ CD的最大值为$\sqrt{9}=3$。
【答案】
3
【知识点】
垂径定理；勾股定理；垂线段最短
【点评】
本题是圆中典型的最值问题，核心是通过转化思想，将CD的最值转化为OC的最值问题，结合圆的基本性质和直角三角形的性质求解，有利于培养学生的几何转化思维。
【难度系数】
0.6
7.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=4$,$BC=3$,$E$为$AB$的中点,点$D$在$AC$上,且$CD=1$,将$CD$绕点$C$在平面内旋转,连接$DE$,则$DE$的最小值是
$\dfrac{3}{2}$
,最大值是$\dfrac{7}{2}$
.答案
7.$\dfrac{3}{2}$，$\dfrac{7}{2}$
解析
【分析】
解决本题首先要明确动点D的运动轨迹：CD绕点C旋转，因此点D的轨迹是以C为圆心、CD长为半径的圆。求DE的最值本质是求定点E到该圆上动点的距离最值，只需先求出定点E到圆心C的距离，再结合圆的半径计算即可：最小值为两点距离减半径，最大值为两点距离加半径。首先用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB，再利用直角三角形斜边中线的性质求出CE的长度，最后代入计算最值。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
$\because$ E为AB的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半
$\therefore CE=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$
$\because$ CD绕点C旋转，$CD=1$
$\therefore$ 点D的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆
根据圆外一点到圆上点的距离最值规律：
$DE_{\mathrm{最小值}}=CE - CD=\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}$
$DE_{\mathrm{最大值}}=CE + CD=\frac{5}{2}+1=\frac{7}{2}$
【答案】
$\dfrac{3}{2}$，$\dfrac{7}{2}$
【知识点】
隐圆最值问题，直角三角形斜边中线性质，勾股定理
【点评】
本题属于常见的动点最值类考题，解题的核心是准确识别动点的隐圆轨迹，再结合直角三角形与圆的相关性质求解，掌握这类题型的解题规律可以快速得到答案。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确动点D的运动轨迹：CD绕点C旋转，因此点D的轨迹是以C为圆心、CD长为半径的圆。求DE的最值本质是求定点E到该圆上动点的距离最值，只需先求出定点E到圆心C的距离，再结合圆的半径计算即可：最小值为两点距离减半径，最大值为两点距离加半径。首先用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB，再利用直角三角形斜边中线的性质求出CE的长度，最后代入计算最值。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
$\because$ E为AB的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半
$\therefore CE=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$
$\because$ CD绕点C旋转，$CD=1$
$\therefore$ 点D的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆
根据圆外一点到圆上点的距离最值规律：
$DE_{\mathrm{最小值}}=CE - CD=\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}$
$DE_{\mathrm{最大值}}=CE + CD=\frac{5}{2}+1=\frac{7}{2}$
【答案】
$\dfrac{3}{2}$，$\dfrac{7}{2}$
【知识点】
隐圆最值问题，直角三角形斜边中线性质，勾股定理
【点评】
本题属于常见的动点最值类考题，解题的核心是准确识别动点的隐圆轨迹，再结合直角三角形与圆的相关性质求解，掌握这类题型的解题规律可以快速得到答案。
【难度系数】
0.6
8.如图，$\odot O$的弦$AB$长为$2$，$CD$是$\odot O$的直径，$∠ ADB=30°$，$∠ ADC=15°$，$P$是$CD$上的动点，则$PA+PB$的最小值是________.
答案
8.$2\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题属于圆中的最值问题，核心解法是结合将军饮马模型与圆的性质求解。首先利用对称转化线段：作点A关于直径CD的对称点A'，由对称性质可知PA=PA'，因此PA+PB可转化为PA'+PB，根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值就是线段A'B的长度。再结合圆周角定理求出对应圆心角，进而求解A'B的长度即可得到答案。
【解析】
1. 作点A关于直径CD的对称点A'，连接A'B、OA、OB、OA'，此时PA+PB的最小值为A'B的长度。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
已知∠ADB=30°，其对应弧为弧AB，因此∠AOB=2∠ADB=60°。
又OA=OB（均为⊙O的半径），因此△AOB为等边三角形，可得OA=OB=AB=2，即⊙O的半径为2。
3. 已知∠ADC=15°，其对应弧为弧AC，因此∠AOC=2∠ADC=30°。
由对称性质可得∠A'OC=∠AOC=30°，因此∠A'OB=∠A'OC+∠AOC+∠AOB=30°+30°+60°=120°。
4. 过点O作OH⊥A'B于点H，由等腰三角形三线合一可知，$∠ BOH=\frac{1}{2}∠ A'OB=60°$，且A'B=2BH。
在Rt△BOH中，$BH=OB·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，因此$A'B=2BH=2\sqrt{3}$。
即PA+PB的最小值为$2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
最短路径问题，圆周角定理，等边三角形性质
【点评】
本题是圆中最值问题的典型题型，将对称转化思想与圆的性质相结合，解题的关键是通过对称将两条线段和的最值转化为两点间的线段长度，再结合圆周角定理求出对应圆心角即可求解。
【难度系数】
0.6
本题属于圆中的最值问题，核心解法是结合将军饮马模型与圆的性质求解。首先利用对称转化线段：作点A关于直径CD的对称点A'，由对称性质可知PA=PA'，因此PA+PB可转化为PA'+PB，根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值就是线段A'B的长度。再结合圆周角定理求出对应圆心角，进而求解A'B的长度即可得到答案。
【解析】
1. 作点A关于直径CD的对称点A'，连接A'B、OA、OB、OA'，此时PA+PB的最小值为A'B的长度。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
已知∠ADB=30°，其对应弧为弧AB，因此∠AOB=2∠ADB=60°。
又OA=OB（均为⊙O的半径），因此△AOB为等边三角形，可得OA=OB=AB=2，即⊙O的半径为2。
3. 已知∠ADC=15°，其对应弧为弧AC，因此∠AOC=2∠ADC=30°。
由对称性质可得∠A'OC=∠AOC=30°，因此∠A'OB=∠A'OC+∠AOC+∠AOB=30°+30°+60°=120°。
4. 过点O作OH⊥A'B于点H，由等腰三角形三线合一可知，$∠ BOH=\frac{1}{2}∠ A'OB=60°$，且A'B=2BH。
在Rt△BOH中，$BH=OB·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，因此$A'B=2BH=2\sqrt{3}$。
即PA+PB的最小值为$2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
最短路径问题，圆周角定理，等边三角形性质
【点评】
本题是圆中最值问题的典型题型，将对称转化思想与圆的性质相结合，解题的关键是通过对称将两条线段和的最值转化为两点间的线段长度，再结合圆周角定理求出对应圆心角即可求解。
【难度系数】
0.6
