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1.已知$\odot O$与直线$l$有2个公共点,若$\odot O$的直径为8 cm,则圆心$O$到直线$l$的距离是（
A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
A
）A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
答案
1.A
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“⊙O与直线l有2个公共点”入手，先根据公共点个数判断直线与圆的位置关系：公共点个数为2时，直线与圆相交；再回忆相交对应的数量特征：圆心到直线的距离d小于圆的半径r。接下来根据直径算出圆的半径，最后比对选项，选出符合d＜r的数值即可。
【解析】
解：
∵ ⊙O与直线l有2个公共点，
∴ 直线l与⊙O相交。
∵ ⊙O的直径为8 cm，
∴ ⊙O的半径$ r = \frac{8}{2} = 4 \, \mathrm{cm} $。
根据直线与圆相交的性质：直线与圆相交时，圆心到直线的距离$ d ＜ r $，即$ d ＜ 4 \, \mathrm{cm} $。
观察选项，只有3 cm满足$ d ＜ 4 \, \mathrm{cm} $，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，解题核心是牢记不同位置关系对应的公共点个数、圆心到直线距离与半径的大小关系，属于基础得分题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件“⊙O与直线l有2个公共点”入手，先根据公共点个数判断直线与圆的位置关系：公共点个数为2时，直线与圆相交；再回忆相交对应的数量特征：圆心到直线的距离d小于圆的半径r。接下来根据直径算出圆的半径，最后比对选项，选出符合d＜r的数值即可。
【解析】
解：
∵ ⊙O与直线l有2个公共点，
∴ 直线l与⊙O相交。
∵ ⊙O的直径为8 cm，
∴ ⊙O的半径$ r = \frac{8}{2} = 4 \, \mathrm{cm} $。
根据直线与圆相交的性质：直线与圆相交时，圆心到直线的距离$ d ＜ r $，即$ d ＜ 4 \, \mathrm{cm} $。
观察选项，只有3 cm满足$ d ＜ 4 \, \mathrm{cm} $，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，解题核心是牢记不同位置关系对应的公共点个数、圆心到直线距离与半径的大小关系，属于基础得分题型。
【难度系数】
0.8
2.【易错题】已知直线$a$上有两点$A,B$,点$A$在$\odot O$上,点$B$在$\odot O$外,则直线$a$与$\odot O$的关系是（
A.相离
B.相交
C.相切
D.相交或相切
D
）A.相离
B.相交
C.相切
D.相交或相切
答案
2.D
解析
【分析】
解题时先回忆直线与圆的位置关系的判定依据：根据公共点的个数可分为相离（0个公共点）、相切（1个公共点）、相交（2个公共点）三类。首先从已知条件“点A在⊙O上”入手，可确定直线a与⊙O至少有1个公共点，直接排除相离的可能；接下来分别验证相切、相交两种情况是否满足“点B在⊙O外”的条件，即可得出结论。
【解析】
直线与圆的位置关系有三类：
①相离：直线与圆没有公共点，本题中点A在⊙O上，说明直线a与⊙O存在公共点，故A选项错误；
②相切：直线与圆只有1个公共点（即切点），除切点外直线上所有点都在圆外，此时点B可在圆外部分，符合题意，故相切是可能的；
③相交：直线与圆有2个公共点，直线上存在位于圆外的部分，点B可在圆外部分，符合题意，故相交也是可能的。
综上，直线a与⊙O的关系是相交或相切。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系；点与圆的位置关系
【点评】
本题易错点是容易忽略相切的情况，仅考虑到相交的可能，解题时需结合两种位置关系的特征逐一验证是否符合已知条件，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时先回忆直线与圆的位置关系的判定依据：根据公共点的个数可分为相离（0个公共点）、相切（1个公共点）、相交（2个公共点）三类。首先从已知条件“点A在⊙O上”入手，可确定直线a与⊙O至少有1个公共点，直接排除相离的可能；接下来分别验证相切、相交两种情况是否满足“点B在⊙O外”的条件，即可得出结论。
【解析】
直线与圆的位置关系有三类：
①相离：直线与圆没有公共点，本题中点A在⊙O上，说明直线a与⊙O存在公共点，故A选项错误；
②相切：直线与圆只有1个公共点（即切点），除切点外直线上所有点都在圆外，此时点B可在圆外部分，符合题意，故相切是可能的；
③相交：直线与圆有2个公共点，直线上存在位于圆外的部分，点B可在圆外部分，符合题意，故相交也是可能的。
综上，直线a与⊙O的关系是相交或相切。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系；点与圆的位置关系
【点评】
本题易错点是容易忽略相切的情况，仅考虑到相交的可能，解题时需结合两种位置关系的特征逐一验证是否符合已知条件，避免漏解。
【难度系数】
0.6
3.已知点A的坐标为(1,－3)，如果半径为r的⊙A与x轴无公共点，与y轴有公共点，那么r的取值范围是
1≤r＜3
.答案
3.$1≤ r＜3$
解析
【分析】
要确定半径r的取值范围，首先要明确直线和圆的位置关系判定规则：圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆无公共点（相离）；圆心到直线的距离小于等于半径时，直线与圆有公共点（相切或相交）。第一步先求出点A到x轴、y轴的距离，第二步分别根据⊙A与x轴无公共点、与y轴有公共点的条件列出关于r的不等式，第三步求两个不等式的公共解集即可得到r的取值范围，注意“有公共点”包含相切的情况，不要漏写等号。
【解析】
解：已知圆心A的坐标为(1, -3)，
1. 求点A到坐标轴的距离：
点A到x轴的距离为纵坐标的绝对值：$\vert -3 \vert = 3$，
点A到y轴的距离为横坐标的绝对值：$\vert 1 \vert = 1$。
2. 根据圆与坐标轴的位置关系列不等式：
∵ ⊙A与x轴无公共点，即x轴与⊙A相离，
∴ 圆心到x轴的距离 ＞ 半径r，即$r ＜ 3$；
∵ ⊙A与y轴有公共点，即y轴与⊙A相切或相交，
∴ 圆心到y轴的距离 ≤ 半径r，即$r ≥ 1$。
3. 取两个不等式的公共解集，得r的取值范围是$1 ≤ r ＜ 3$。
【答案】
$1≤ r＜3$
【知识点】
点到坐标轴的距离；直线与圆的位置关系；不等式组的解集
【点评】
本题考查直线与圆位置关系的实际应用，解题的核心是准确把握圆与直线有、无公共点对应的半径和圆心到直线距离的大小关系，易错点是容易忽略“有公共点”包含相切的情况，漏写r≥1的等号。
【难度系数】
0.7
要确定半径r的取值范围，首先要明确直线和圆的位置关系判定规则：圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆无公共点（相离）；圆心到直线的距离小于等于半径时，直线与圆有公共点（相切或相交）。第一步先求出点A到x轴、y轴的距离，第二步分别根据⊙A与x轴无公共点、与y轴有公共点的条件列出关于r的不等式，第三步求两个不等式的公共解集即可得到r的取值范围，注意“有公共点”包含相切的情况，不要漏写等号。
【解析】
解：已知圆心A的坐标为(1, -3)，
1. 求点A到坐标轴的距离：
点A到x轴的距离为纵坐标的绝对值：$\vert -3 \vert = 3$，
点A到y轴的距离为横坐标的绝对值：$\vert 1 \vert = 1$。
2. 根据圆与坐标轴的位置关系列不等式：
∵ ⊙A与x轴无公共点，即x轴与⊙A相离，
∴ 圆心到x轴的距离 ＞ 半径r，即$r ＜ 3$；
∵ ⊙A与y轴有公共点，即y轴与⊙A相切或相交，
∴ 圆心到y轴的距离 ≤ 半径r，即$r ≥ 1$。
3. 取两个不等式的公共解集，得r的取值范围是$1 ≤ r ＜ 3$。
【答案】
$1≤ r＜3$
【知识点】
点到坐标轴的距离；直线与圆的位置关系；不等式组的解集
【点评】
本题考查直线与圆位置关系的实际应用，解题的核心是准确把握圆与直线有、无公共点对应的半径和圆心到直线距离的大小关系，易错点是容易忽略“有公共点”包含相切的情况，漏写r≥1的等号。
【难度系数】
0.7
4.如图,已知$\odot O$上三点A,B,C,半径$OC=1$,$∠ ABC=30°$,切线PA交OC延长线于点P,则PA的长为 (
A.$2$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\frac{1}{2}$
B
)A.$2$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
4.B
解析
【分析】
拿到这道题我们可以按照以下思路思考：首先看到PA是圆的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，所以先连接OA构造直角三角形；其次已知圆周角∠ABC的度数，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出对应圆心角∠AOC的度数；最后在得到的直角三角形中，已知半径长度和锐角的度数，利用三角函数即可求出PA的长度。
【解析】
解：连接OA。
∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥PA，即$∠ OAP=90°$。
∵$∠ ABC$和$∠ AOC$是同弧$AC$所对的圆周角和圆心角，
∴$∠ AOC=2∠ ABC=2×30°=60°$。
∵⊙O的半径$OC=1$，
∴$OA=OC=1$。
在$Rt△ OAP$中，$\tan∠ AOP=\frac{PA}{OA}$，
∴$PA=OA·\tan60°=1×\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，解直角三角形
【点评】
本题属于圆的基础计算类题型，解题核心是通过连接过切点的半径构造直角三角形，结合圆周角定理得到直角三角形的内角度数，再利用三角函数计算边长，是圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
拿到这道题我们可以按照以下思路思考：首先看到PA是圆的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，所以先连接OA构造直角三角形；其次已知圆周角∠ABC的度数，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出对应圆心角∠AOC的度数；最后在得到的直角三角形中，已知半径长度和锐角的度数，利用三角函数即可求出PA的长度。
【解析】
解：连接OA。
∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥PA，即$∠ OAP=90°$。
∵$∠ ABC$和$∠ AOC$是同弧$AC$所对的圆周角和圆心角，
∴$∠ AOC=2∠ ABC=2×30°=60°$。
∵⊙O的半径$OC=1$，
∴$OA=OC=1$。
在$Rt△ OAP$中，$\tan∠ AOP=\frac{PA}{OA}$，
∴$PA=OA·\tan60°=1×\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，解直角三角形
【点评】
本题属于圆的基础计算类题型，解题核心是通过连接过切点的半径构造直角三角形，结合圆周角定理得到直角三角形的内角度数，再利用三角函数计算边长，是圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
5.(福建中考)如图,PA与$\odot O$相切于点A,PO的延长线交$\odot O$于点C,AB//PC,且交$\odot O$于点B.若$∠P=30°$,则$∠BCP$的大小为（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
C
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
5.C
解析
【分析】
遇到圆的切线问题，首先考虑连接过切点的半径，利用切线垂直于半径得到直角。已知∠P=30°，可在直角三角形中求出∠AOP的度数；再结合AB//PC的平行线性质，得到∠OAB的度数，由半径相等推出△OAB是等边三角形，求出∠AOB，进而得到∠BOC的度数，最后利用等腰三角形的性质求出∠BCP即可。
【解析】
解：连接OA，
∵PA与$\odot O$相切于点A，
∴$OA⊥ PA$，即$∠ PAO=90°$，
在$Rt△ PAO$中，$∠ P=30°$，
∴$∠ AOP=90° - ∠ P=60°$，
∵$AB// PC$，
∴$∠ OAB=∠ AOP=60°$，
又
∵$OA=OB$（$\odot O$的半径相等），
∴$△ OAB$是等边三角形，
∴$∠ AOB=60°$，
∵P、O、C三点共线，
∴$∠ BOC=180° - ∠ AOP - ∠ AOB=180° - 60° - 60°=60°$，
又
∵$OB=OC$，
∴$△ OBC$是等腰三角形，
∴$∠ BCP=∠ OBC=\frac{180° - ∠ BOC}{2}=\frac{180° - 60°}{2}=60°$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是正确作出辅助线连接OA，结合切线性质、平行线性质和三角形角度关系逐步推导，难度不大，对圆的基础性质掌握牢固即可快速求解。
【难度系数】
0.7
遇到圆的切线问题，首先考虑连接过切点的半径，利用切线垂直于半径得到直角。已知∠P=30°，可在直角三角形中求出∠AOP的度数；再结合AB//PC的平行线性质，得到∠OAB的度数，由半径相等推出△OAB是等边三角形，求出∠AOB，进而得到∠BOC的度数，最后利用等腰三角形的性质求出∠BCP即可。
【解析】
解：连接OA，
∵PA与$\odot O$相切于点A，
∴$OA⊥ PA$，即$∠ PAO=90°$，
在$Rt△ PAO$中，$∠ P=30°$，
∴$∠ AOP=90° - ∠ P=60°$，
∵$AB// PC$，
∴$∠ OAB=∠ AOP=60°$，
又
∵$OA=OB$（$\odot O$的半径相等），
∴$△ OAB$是等边三角形，
∴$∠ AOB=60°$，
∵P、O、C三点共线，
∴$∠ BOC=180° - ∠ AOP - ∠ AOB=180° - 60° - 60°=60°$，
又
∵$OB=OC$，
∴$△ OBC$是等腰三角形，
∴$∠ BCP=∠ OBC=\frac{180° - ∠ BOC}{2}=\frac{180° - 60°}{2}=60°$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是正确作出辅助线连接OA，结合切线性质、平行线性质和三角形角度关系逐步推导，难度不大，对圆的基础性质掌握牢固即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6.如图，AB是$\odot O$的直径，C是$\odot O$上一点，D是$\odot O$外一点，过点A作$AE⊥ CD$，垂足为E，连接AC，OC，OE。若使CD切$\odot O$于点C，添加的下列条件中，不正确的是 （
A.$OC// AE$
B.$OA^2 + CE^2 = OE^2$
C.AC是$∠ OAE$的平分线
D.$OA = AC$
D
）A.$OC// AE$
B.$OA^2 + CE^2 = OE^2$
C.AC是$∠ OAE$的平分线
D.$OA = AC$
答案
6.D
解析
【分析】
要证明CD是⊙O的切线，根据切线的判定定理，已知OC是⊙O的半径，因此只需证明OC⊥CD即可，结合已知AE⊥CD的条件，逐一分析各选项的条件是否能推出OC⊥CD，选出无法推导的选项即可。
【解析】
已知AE⊥CD，故∠AEC=90°，我们逐一分析选项：
A. 若OC//AE，由AE⊥CD可得OC⊥CD，OC是⊙O的半径，根据切线判定定理，CD是⊙O的切线，该选项正确，不符合题意；
B. 若$OA^2 + CE^2 = OE^2$，因为OA、OC都是⊙O的半径，所以OA=OC，代入得$OC^2 + CE^2 = OE^2$，根据勾股定理逆定理可知△OCE是直角三角形，且∠OCE=90°，即OC⊥CD，故CD是⊙O的切线，该选项正确，不符合题意；
C. 若AC是∠OAE的平分线，则∠OAC=∠EAC，又OA=OC，故∠OAC=∠OCA，因此∠OCA=∠EAC，可得OC//AE，结合AE⊥CD，推出OC⊥CD，故CD是⊙O的切线，该选项正确，不符合题意；
D. 若OA=AC，结合OA=OC可得△OAC是等边三角形，仅能得到∠OAC=∠OCA=60°，无法推出OC⊥CD，不能判定CD是⊙O的切线，该选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定；勾股定理逆定理；平行线的性质
【点评】
本题围绕切线的判定展开，需要结合等腰三角形、平行线、勾股定理逆定理等知识综合分析，解题时紧扣“证切线即证半径与直线垂直”的核心思路即可。
【难度系数】
0.7
要证明CD是⊙O的切线，根据切线的判定定理，已知OC是⊙O的半径，因此只需证明OC⊥CD即可，结合已知AE⊥CD的条件，逐一分析各选项的条件是否能推出OC⊥CD，选出无法推导的选项即可。
【解析】
已知AE⊥CD，故∠AEC=90°，我们逐一分析选项：
A. 若OC//AE，由AE⊥CD可得OC⊥CD，OC是⊙O的半径，根据切线判定定理，CD是⊙O的切线，该选项正确，不符合题意；
B. 若$OA^2 + CE^2 = OE^2$，因为OA、OC都是⊙O的半径，所以OA=OC，代入得$OC^2 + CE^2 = OE^2$，根据勾股定理逆定理可知△OCE是直角三角形，且∠OCE=90°，即OC⊥CD，故CD是⊙O的切线，该选项正确，不符合题意；
C. 若AC是∠OAE的平分线，则∠OAC=∠EAC，又OA=OC，故∠OAC=∠OCA，因此∠OCA=∠EAC，可得OC//AE，结合AE⊥CD，推出OC⊥CD，故CD是⊙O的切线，该选项正确，不符合题意；
D. 若OA=AC，结合OA=OC可得△OAC是等边三角形，仅能得到∠OAC=∠OCA=60°，无法推出OC⊥CD，不能判定CD是⊙O的切线，该选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定；勾股定理逆定理；平行线的性质
【点评】
本题围绕切线的判定展开，需要结合等腰三角形、平行线、勾股定理逆定理等知识综合分析，解题时紧扣“证切线即证半径与直线垂直”的核心思路即可。
【难度系数】
0.7
7.(北京中考)如图，$\odot O$是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，$∠ DOB=∠ FOB=23.5°$.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角$∠ IFH$(即平行于GD的光线HF与$\odot O$的切线FI所成的锐角)的大小为
43
°.答案
7.43
解析
【分析】
解题时先明确已知条件：FI是圆O的切线，GD平行于HF，∠DOB=∠FOB=23.5°。首先利用圆的切线性质得到OF与FI垂直，得到90°的直角；再结合平行线同旁内角互补的性质，求出∠OFH的度数，最后通过角的和差关系计算出∠IFH的大小即可。
【解析】
1. 因为FI是$\odot O$的切线，F为切点，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可得$OF ⊥ FI$，即$∠ OFI = 90°$。
2. 由题意可知太阳光线$GD // HF$，根据平行线的性质，两直线平行、同旁内角互补，因此$∠ DOF + ∠ OFH = 180°$。
3. 已知$∠ DOB = ∠ FOB = 23.5°$，所以$∠ DOF = ∠ DOB + ∠ FOB = 23.5° + 23.5° = 47°$。
4. 将$∠ DOF=47°$代入$∠ DOF + ∠ OFH = 180°$，可得$∠ OFH = 180° - 47° = 133°$。
5. 观察图形可知$∠ OFH = ∠ OFI + ∠ IFH$，因此$∠ IFH = ∠ OFH - ∠ OFI = 133° - 90° = 43°$。
【答案】
43
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；角度计算
【点评】
本题结合生活实际，将地理常识与几何知识相结合，考查对基础几何性质的掌握和综合运用能力，解题的关键是找准切线对应的垂直关系，以及平行线对应的角的数量关系。
【难度系数】
0.6
解题时先明确已知条件：FI是圆O的切线，GD平行于HF，∠DOB=∠FOB=23.5°。首先利用圆的切线性质得到OF与FI垂直，得到90°的直角；再结合平行线同旁内角互补的性质，求出∠OFH的度数，最后通过角的和差关系计算出∠IFH的大小即可。
【解析】
1. 因为FI是$\odot O$的切线，F为切点，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可得$OF ⊥ FI$，即$∠ OFI = 90°$。
2. 由题意可知太阳光线$GD // HF$，根据平行线的性质，两直线平行、同旁内角互补，因此$∠ DOF + ∠ OFH = 180°$。
3. 已知$∠ DOB = ∠ FOB = 23.5°$，所以$∠ DOF = ∠ DOB + ∠ FOB = 23.5° + 23.5° = 47°$。
4. 将$∠ DOF=47°$代入$∠ DOF + ∠ OFH = 180°$，可得$∠ OFH = 180° - 47° = 133°$。
5. 观察图形可知$∠ OFH = ∠ OFI + ∠ IFH$，因此$∠ IFH = ∠ OFH - ∠ OFI = 133° - 90° = 43°$。
【答案】
43
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；角度计算
【点评】
本题结合生活实际，将地理常识与几何知识相结合，考查对基础几何性质的掌握和综合运用能力，解题的关键是找准切线对应的垂直关系，以及平行线对应的角的数量关系。
【难度系数】
0.6
8.(西藏中考)如图,AB是$\odot O$的直径,点C在$\odot O$上,$∠ CAB=60°$,过点C的切线交BA的延长线于点D.求证:$CD=CB.$
答案
8.证明:连接OC,则OC=OA.
∵∠CAB=60°,
∴△AOC是等边三角形.
∴∠COD=60°.
∴∠B=$\frac{1}{2}$∠COD=30°.
∵CD与⊙O相切于点C,
∴CD⊥OC.
∴∠OCD=90°.
∴∠D=90°-∠COD=30°.
∴∠B=∠D.
∴CD=CB.
∵∠CAB=60°,
∴△AOC是等边三角形.
∴∠COD=60°.
∴∠B=$\frac{1}{2}$∠COD=30°.
∵CD与⊙O相切于点C,
∴CD⊥OC.
∴∠OCD=90°.
∴∠D=90°-∠COD=30°.
∴∠B=∠D.
∴CD=CB.
解析
【分析】
要证明CD=CB，可通过证明∠D=∠B，利用等角对等边的性质推导。首先根据切线的性质，过切点的半径垂直于切线，因此需先连接辅助线OC。结合已知∠CAB=60°，同圆半径OC=OA，可推出△AOC是等边三角形，得到∠COD的度数；再利用圆周角定理求出∠B的度数，结合切线垂直半径的性质求出∠D的度数，最终通过∠B=∠D得证结论。
【解析】
证明：连接OC，则OC=OA。
∵∠CAB=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠COD=60°。
∴∠B=$\frac{1}{2}$∠COD=30°。
∵CD与⊙O相切于点C，
∴CD⊥OC，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=90°-∠COD=30°，
∴∠B=∠D，
∴CD=CB。
【答案】
证明：连接OC，则OC=OA。
∵∠CAB=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠COD=60°。
∴∠B=$\frac{1}{2}$∠COD=30°。
∵CD与⊙O相切于点C，
∴CD⊥OC，
∴∠OCD=90°。
∴∠D=90°-∠COD=30°。
∴∠B=∠D，
∴CD=CB。
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的常规基础题型，解题核心是合理连接圆心与切点作为辅助线，结合等边三角形、圆周角、切线的性质完成角度推导，能够有效考查学生对圆相关基础性质的掌握情况和简单的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.8
要证明CD=CB，可通过证明∠D=∠B，利用等角对等边的性质推导。首先根据切线的性质，过切点的半径垂直于切线，因此需先连接辅助线OC。结合已知∠CAB=60°，同圆半径OC=OA，可推出△AOC是等边三角形，得到∠COD的度数；再利用圆周角定理求出∠B的度数，结合切线垂直半径的性质求出∠D的度数，最终通过∠B=∠D得证结论。
【解析】
证明：连接OC，则OC=OA。
∵∠CAB=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠COD=60°。
∴∠B=$\frac{1}{2}$∠COD=30°。
∵CD与⊙O相切于点C，
∴CD⊥OC，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=90°-∠COD=30°，
∴∠B=∠D，
∴CD=CB。
【答案】
证明：连接OC，则OC=OA。
∵∠CAB=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠COD=60°。
∴∠B=$\frac{1}{2}$∠COD=30°。
∵CD与⊙O相切于点C，
∴CD⊥OC，
∴∠OCD=90°。
∴∠D=90°-∠COD=30°。
∴∠B=∠D，
∴CD=CB。
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的常规基础题型，解题核心是合理连接圆心与切点作为辅助线，结合等边三角形、圆周角、切线的性质完成角度推导，能够有效考查学生对圆相关基础性质的掌握情况和简单的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.8
9.(驻马店驿城区期末)如图,在$\odot O$中,四边形ABCD为圆内接四边形,AB为直径,过D作$DE⊥ BC$交BC延长线于点E,$∠ B + 2∠ A=180°$.
(1)求证:DE为$\odot O$切线;
(2)若$CE=1,BC=8$,求$\odot O$的半径.
(1)求证:DE为$\odot O$切线;
(2)若$CE=1,BC=8$,求$\odot O$的半径.
答案
9.解:(1)证明:连接OD.
∵四边形ABCD为圆内接四边形,
∴∠B+∠ADC=180°.
∵∠B+2∠A=180°,
∴2∠A=∠ADC=∠ADO+∠CDO.
∵OA=OD,
∴∠A=∠CDO,∠ADC=2∠A.
∴∠AOD=180°-2∠A.
∴∠AOD=∠B.
∴OD//BC.
∵DE⊥BC,
∴OD⊥DE.
∵OD是⊙O的半径,
∴DE为⊙O的切线.
(2)过点O作OH⊥BC于点H.
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=4.
∵CE=1,
∴EH=5.
∵OD//BE,
∴OD⊥DE.
∴∠ODE=∠E=∠OHE=90°.
∴四边形ODEH是矩形.
∴OD=EH=5.
∴⊙O的半径为5.
∵四边形ABCD为圆内接四边形,
∴∠B+∠ADC=180°.
∵∠B+2∠A=180°,
∴2∠A=∠ADC=∠ADO+∠CDO.
∵OA=OD,
∴∠A=∠CDO,∠ADC=2∠A.
∴∠AOD=180°-2∠A.
∴∠AOD=∠B.
∴OD//BC.
∵DE⊥BC,
∴OD⊥DE.
∵OD是⊙O的半径,
∴DE为⊙O的切线.
(2)过点O作OH⊥BC于点H.
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=4.
∵CE=1,
∴EH=5.
∵OD//BE,
∴OD⊥DE.
∴∠ODE=∠E=∠OHE=90°.
∴四边形ODEH是矩形.
∴OD=EH=5.
∴⊙O的半径为5.
解析
【分析】
（1）要证明DE是⊙O的切线，根据切线判定定理，需连接半径OD，证明OD⊥DE即可。已知DE⊥BC，因此只需推导OD//BC：先利用圆内接四边形对角互补的性质，结合题目给出的∠B+2∠A=180°推导角的等量关系，再结合等腰三角形OA=OD的性质，可得∠AOD=∠B，即可证明OD//BC，进而得到OD⊥DE，完成切线证明。
（2）求⊙O半径即求OD的长度，结合OD//BC的结论，过O作OH⊥BC，一方面可利用垂径定理求出CH的长度，另一方面可证明四边形ODEH是矩形，根据矩形对边相等的性质，OD=EH，计算EH的长度即可得到半径。
【解析】
(1) 证明：连接OD。
∵ 四边形ABCD为圆内接四边形，
∴ $∠ B + ∠ ADC = 180°$，
又
∵ $∠ B + 2∠ A = 180°$，
∴ $2∠ A = ∠ ADC$。
∵ $OA = OD$，
∴ $∠ A = ∠ ADO$，
∴ $∠ ADC = ∠ ADO + ∠ CDO = ∠ A + ∠ CDO = 2∠ A$，即$∠ A = ∠ CDO$，
又
∵ $△ AOD$中，$∠ AOD = 180° - ∠ A - ∠ ADO = 180° - 2∠ A$，
结合$∠ B + 2∠ A = 180°$，可得$∠ AOD = ∠ B$，
∴ $OD// BC$，
∵ $DE⊥ BC$，
∴ $OD⊥ DE$，
又
∵ OD是⊙O的半径，
∴ DE为⊙O的切线。
(2) 过点O作$OH⊥ BC$于点H，
根据垂径定理，$BH = CH = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×8 = 4$，
∵ $CE=1$，
∴ $EH = CE + CH = 1 + 4 = 5$，
∵ $OD// BE$，$DE⊥ BE$，$OH⊥ BE$，
∴ $∠ ODE = ∠ E = ∠ OHE = 90°$，
∴ 四边形ODEH是矩形，
∴ $OD = EH = 5$，
即⊙O的半径为5。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boxed{5}$
【知识点】
切线的判定定理；圆内接四边形的性质；垂径定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，重点考查辅助线的构造思路：证切线时优先考虑连接半径证垂直，涉及弦长计算时优先考虑作弦的垂线用垂径定理，再结合平行线、矩形的性质即可求解，是圆章节的高频考点题型。
【难度系数】
0.7
（1）要证明DE是⊙O的切线，根据切线判定定理，需连接半径OD，证明OD⊥DE即可。已知DE⊥BC，因此只需推导OD//BC：先利用圆内接四边形对角互补的性质，结合题目给出的∠B+2∠A=180°推导角的等量关系，再结合等腰三角形OA=OD的性质，可得∠AOD=∠B，即可证明OD//BC，进而得到OD⊥DE，完成切线证明。
（2）求⊙O半径即求OD的长度，结合OD//BC的结论，过O作OH⊥BC，一方面可利用垂径定理求出CH的长度，另一方面可证明四边形ODEH是矩形，根据矩形对边相等的性质，OD=EH，计算EH的长度即可得到半径。
【解析】
(1) 证明：连接OD。
∵ 四边形ABCD为圆内接四边形，
∴ $∠ B + ∠ ADC = 180°$，
又
∵ $∠ B + 2∠ A = 180°$，
∴ $2∠ A = ∠ ADC$。
∵ $OA = OD$，
∴ $∠ A = ∠ ADO$，
∴ $∠ ADC = ∠ ADO + ∠ CDO = ∠ A + ∠ CDO = 2∠ A$，即$∠ A = ∠ CDO$，
又
∵ $△ AOD$中，$∠ AOD = 180° - ∠ A - ∠ ADO = 180° - 2∠ A$，
结合$∠ B + 2∠ A = 180°$，可得$∠ AOD = ∠ B$，
∴ $OD// BC$，
∵ $DE⊥ BC$，
∴ $OD⊥ DE$，
又
∵ OD是⊙O的半径，
∴ DE为⊙O的切线。
(2) 过点O作$OH⊥ BC$于点H，
根据垂径定理，$BH = CH = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×8 = 4$，
∵ $CE=1$，
∴ $EH = CE + CH = 1 + 4 = 5$，
∵ $OD// BE$，$DE⊥ BE$，$OH⊥ BE$，
∴ $∠ ODE = ∠ E = ∠ OHE = 90°$，
∴ 四边形ODEH是矩形，
∴ $OD = EH = 5$，
即⊙O的半径为5。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boxed{5}$
【知识点】
切线的判定定理；圆内接四边形的性质；垂径定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，重点考查辅助线的构造思路：证切线时优先考虑连接半径证垂直，涉及弦长计算时优先考虑作弦的垂线用垂径定理，再结合平行线、矩形的性质即可求解，是圆章节的高频考点题型。
【难度系数】
0.7
