登录
1.如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC交BC于点D.若BD=2,则AC= (
A.2
B.3
C.1.5
D.4
D
)A.2
B.3
C.1.5
D.4
答案
1.D
解析
【分析】
解题时先梳理题干已知条件：△ABC是等边三角形，AD⊥BC，BD=2，目标是求AC的长度。首先回忆等边三角形的性质：等边三角形三条边长度相等，且等边三角形属于特殊的等腰三角形，满足“三线合一”，即底边上的高、底边上的中线、顶角角平分线互相重合。因此AD作为BC边上的高，同时也是BC边上的中线，可得D是BC的中点，先求出BC的长度，再结合等边三角形三边相等的性质就能得到AC的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴AC=BC
又
∵AD⊥BC，根据等边三角形三线合一的性质，AD是BC边上的中线
∴D为BC的中点，即BC=2BD
已知BD=2，因此BC=2×2=4
∴AC=BC=4
故选：D
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；三线合一
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握等边三角形的相关性质，利用三线合一得到线段的倍数关系即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理题干已知条件：△ABC是等边三角形，AD⊥BC，BD=2，目标是求AC的长度。首先回忆等边三角形的性质：等边三角形三条边长度相等，且等边三角形属于特殊的等腰三角形，满足“三线合一”，即底边上的高、底边上的中线、顶角角平分线互相重合。因此AD作为BC边上的高，同时也是BC边上的中线，可得D是BC的中点，先求出BC的长度，再结合等边三角形三边相等的性质就能得到AC的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴AC=BC
又
∵AD⊥BC，根据等边三角形三线合一的性质，AD是BC边上的中线
∴D为BC的中点，即BC=2BD
已知BD=2，因此BC=2×2=4
∴AC=BC=4
故选：D
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；三线合一
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握等边三角形的相关性质，利用三线合一得到线段的倍数关系即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
2.(2024·泰安)如图，直线$l// m$，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线$l$，$m$上.若$∠ ABE=21°$，则$∠ ACD$的度数是（
A.$45°$
B.$39°$
C.$29°$
D.$21°$
B
）A.$45°$
B.$39°$
C.$29°$
D.$21°$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先利用等边三角形的性质得到两个内角的度数，再结合平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，将已知角和待求角代入角度和的关系中，逐步推导就能算出∠ACD的度数。
【解析】
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵直线$l//m$
∴∠EBC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又
∵∠EBC=∠ABE+∠ABC=21°+60°=81°
∴∠BCD=180°-81°=99°
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=99°-60°=39°
故选B
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是将平行线形成的同旁内角拆分为已知角、等边三角形内角和待求角的组合，代入数值计算即可，解题时注意不要混淆角的拆分关系。
【难度系数】
0.8
解题时先利用等边三角形的性质得到两个内角的度数，再结合平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，将已知角和待求角代入角度和的关系中，逐步推导就能算出∠ACD的度数。
【解析】
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵直线$l//m$
∴∠EBC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又
∵∠EBC=∠ABE+∠ABC=21°+60°=81°
∴∠BCD=180°-81°=99°
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=99°-60°=39°
故选B
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是将平行线形成的同旁内角拆分为已知角、等边三角形内角和待求角的组合，代入数值计算即可，解题时注意不要混淆角的拆分关系。
【难度系数】
0.8
3.如图，在$△ ABC$中，$BC$的垂直平分线分别交$BC$，$AB$于点$E$，$F$.若$△ AFC$是等边三角形，则$∠ B=$
30
°。答案
3.30
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“BC的垂直平分线”入手，根据线段垂直平分线的性质可得FB=FC，进而推出∠B=∠FCB；再结合等边三角形的性质得到∠AFC的度数，最后利用三角形外角的性质，建立∠AFC和∠B的等量关系，即可求出∠B的度数。
【解析】
∵EF是BC的垂直平分线，
∴FB=FC，
∴∠B=∠FCB。
∵△AFC是等边三角形，
∴∠AFC=60°。
又
∵∠AFC是△FBC的外角，
∴∠AFC=∠B+∠FCB=2∠B，
∴2∠B=60°，
解得∠B=30°。
【答案】
30
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是结合已知条件找到角之间的等量关系，将所求角和已知特殊角建立联系即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件“BC的垂直平分线”入手，根据线段垂直平分线的性质可得FB=FC，进而推出∠B=∠FCB；再结合等边三角形的性质得到∠AFC的度数，最后利用三角形外角的性质，建立∠AFC和∠B的等量关系，即可求出∠B的度数。
【解析】
∵EF是BC的垂直平分线，
∴FB=FC，
∴∠B=∠FCB。
∵△AFC是等边三角形，
∴∠AFC=60°。
又
∵∠AFC是△FBC的外角，
∴∠AFC=∠B+∠FCB=2∠B，
∴2∠B=60°，
解得∠B=30°。
【答案】
30
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是结合已知条件找到角之间的等量关系，将所求角和已知特殊角建立联系即可求解。
【难度系数】
0.7
4.如图,点 D,E 分别在等边三角形 ABC 的边AC,AB 上,且$AE=CD$,求$∠CFD$的度数.
答案
4.$60°$
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据等边三角形的性质得到边相等、内角为60°的条件，结合已知的AE=CD，可证明包含这两组等边的两个三角形全等；再利用全等三角形对应角相等的性质得到角的等量关系，最后结合三角形外角的性质，将待求角转化为等边三角形的内角，即可求出度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠A=∠ACB=60°，
在△AEC和△CDB中，
$\{\begin{array}{l}AE=CD（已知）\\∠A=∠DCB（已证）\\AC=CB（已证）\end{array} $
∴△AEC≌△CDB（SAS），
∴∠ACE=∠CBD（全等三角形的对应角相等），
∵∠CFD是△BFC的外角，
∴∠CFD=∠CBD+∠BCF（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），
将∠CBD替换为∠ACE，可得：
∠CFD=∠ACE+∠BCF=∠ACB=60°。
【答案】
$60°$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是等边三角形相关的基础常考题，核心是通过已知条件构造全等三角形实现角的等量转化，再结合外角性质求解角度，解题时要注意梳理角度之间的代换逻辑。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据等边三角形的性质得到边相等、内角为60°的条件，结合已知的AE=CD，可证明包含这两组等边的两个三角形全等；再利用全等三角形对应角相等的性质得到角的等量关系，最后结合三角形外角的性质，将待求角转化为等边三角形的内角，即可求出度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠A=∠ACB=60°，
在△AEC和△CDB中，
$\{\begin{array}{l}AE=CD（已知）\\∠A=∠DCB（已证）\\AC=CB（已证）\end{array} $
∴△AEC≌△CDB（SAS），
∴∠ACE=∠CBD（全等三角形的对应角相等），
∵∠CFD是△BFC的外角，
∴∠CFD=∠CBD+∠BCF（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），
将∠CBD替换为∠ACE，可得：
∠CFD=∠ACE+∠BCF=∠ACB=60°。
【答案】
$60°$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是等边三角形相关的基础常考题，核心是通过已知条件构造全等三角形实现角的等量转化，再结合外角性质求解角度，解题时要注意梳理角度之间的代换逻辑。
【难度系数】
0.7
5.下列条件中,不能判定三角形是等边三角形的是（
A.有两个内角是$60°$的三角形
B.三边都相等的三角形
C.有一个角是$60°$的等腰三角形
D.有两个外角相等的等腰三角形
D
）A.有两个内角是$60°$的三角形
B.三边都相等的三角形
C.有一个角是$60°$的等腰三角形
D.有两个外角相等的等腰三角形
答案
5.D
解析
【分析】
本题考查等边三角形的判定，解题时先回忆等边三角形的常见判定定理，再逐一分析每个选项是否符合判定条件即可。首先明确等边三角形的三类判定方法：①三边相等的三角形是等边三角形；②三个内角都为60°的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，结合判定规则逐个验证选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 三角形内角和为180°，若两个内角是60°，则第三个内角为$180°-60°-60°=60°$，三个内角均为60°，可判定为等边三角形，不符合题意；
B. 三边都相等的三角形是等边三角形，这是等边三角形的定义，可直接判定，不符合题意；
C. 若等腰三角形的顶角为60°，则两个底角均为$(180°-60°)÷2=60°$；若等腰三角形的底角为60°，则顶角为$180°-60°×2=60°$，三种均为60°，可判定为等边三角形，不符合题意；
D. 等腰三角形的两个底角本身就相等，因此两个底角对应的外角也一定相等，该特征是所有等腰三角形的共性，比如顶角为90°的等腰直角三角形，两个底角外角均为135°，但它不是等边三角形，因此不能判定为等边三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，需要熟练掌握等边三角形的判定规则，注意区分等腰三角形和等边三角形的性质差异，不要将等腰三角形的共性特征误认为等边三角形的判定条件。
【难度系数】
0.8
本题考查等边三角形的判定，解题时先回忆等边三角形的常见判定定理，再逐一分析每个选项是否符合判定条件即可。首先明确等边三角形的三类判定方法：①三边相等的三角形是等边三角形；②三个内角都为60°的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，结合判定规则逐个验证选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 三角形内角和为180°，若两个内角是60°，则第三个内角为$180°-60°-60°=60°$，三个内角均为60°，可判定为等边三角形，不符合题意；
B. 三边都相等的三角形是等边三角形，这是等边三角形的定义，可直接判定，不符合题意；
C. 若等腰三角形的顶角为60°，则两个底角均为$(180°-60°)÷2=60°$；若等腰三角形的底角为60°，则顶角为$180°-60°×2=60°$，三种均为60°，可判定为等边三角形，不符合题意；
D. 等腰三角形的两个底角本身就相等，因此两个底角对应的外角也一定相等，该特征是所有等腰三角形的共性，比如顶角为90°的等腰直角三角形，两个底角外角均为135°，但它不是等边三角形，因此不能判定为等边三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，需要熟练掌握等边三角形的判定规则，注意区分等腰三角形和等边三角形的性质差异，不要将等腰三角形的共性特征误认为等边三角形的判定条件。
【难度系数】
0.8
6.【新情境·生活情境】由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，所以小明设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可.如图，衣架杆$OA=OB=20\ \mathrm{cm}$，若衣架收拢时，$∠ AOB=60°$，则此时A，B两点之间的距离为
20
cm. 答案
6.20
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：已知OA=OB，可判断△OAB是等腰三角形，再结合给出的∠AOB=60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判定△OAB为等边三角形，最后利用等边三角形三边相等的性质，就能直接求出A、B两点的距离。
【解析】
解：
∵ OA=OB=20 cm，
∴ △OAB是等腰三角形，
又
∵ ∠AOB=60°，
∴ △OAB是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ AB=OA=20 cm。
【答案】
20
【知识点】
等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的衣架场景考查等边三角形的实际应用，解题核心是快速识别出图形中的等边三角形，属于基础应用题，掌握等边三角形的判定规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：已知OA=OB，可判断△OAB是等腰三角形，再结合给出的∠AOB=60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判定△OAB为等边三角形，最后利用等边三角形三边相等的性质，就能直接求出A、B两点的距离。
【解析】
解：
∵ OA=OB=20 cm，
∴ △OAB是等腰三角形，
又
∵ ∠AOB=60°，
∴ △OAB是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ AB=OA=20 cm。
【答案】
20
【知识点】
等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的衣架场景考查等边三角形的实际应用，解题核心是快速识别出图形中的等边三角形，属于基础应用题，掌握等边三角形的判定规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
7.(教材 P93 复习题 T11 变式)如图，△ABC 是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，垂足分别为 A，B，C.求证：△DEF 是等边三角形.
答案
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC = ∠ACB = ∠BAC = 60°。
∵ DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，垂足分别为A，B，C，
∴ ∠DAB = ∠EBC = ∠FCA = 90°。
∴ ∠ABD = 180° - ∠ABC - ∠EBC = 180° - 60° - 90° = 30°，
同理可得∠BCE = 30°，∠CAF = 30°。
∴ ∠D = 180° - ∠DAB - ∠ABD = 180° - 90° - 30° = 60°，
同理可得∠E = 60°，∠F = 60°。
∴ ∠D = ∠E = ∠F = 60°，
∴ △DEF是等边三角形。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC = ∠ACB = ∠BAC = 60°。
∵ DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，垂足分别为A，B，C，
∴ ∠DAB = ∠EBC = ∠FCA = 90°。
∴ ∠ABD = 180° - ∠ABC - ∠EBC = 180° - 60° - 90° = 30°，
同理可得∠BCE = 30°，∠CAF = 30°。
∴ ∠D = 180° - ∠DAB - ∠ABD = 180° - 90° - 30° = 60°，
同理可得∠E = 60°，∠F = 60°。
∴ ∠D = ∠E = ∠F = 60°，
∴ △DEF是等边三角形。
解析
【分析】
要证明△DEF是等边三角形，可通过证明其三个内角均为60°实现。首先利用等边△ABC的性质得到三个内角均为60°，再结合题目给出的垂直条件得到相关直角为90°，借助平角的性质先求出∠ABD、∠BCE、∠CAF的度数，最后利用三角形内角和定理计算出∠D、∠E、∠F的度数，若三个角都为60°即可判定△DEF为等边三角形。
【解析】
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC = ∠ACB = ∠BAC = 60°。
∵ DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，垂足分别为A，B，C，
∴ ∠DAB = ∠EBC = ∠FCA = 90°。
∴ ∠ABD = 180° - ∠ABC - ∠EBC = 180° - 60° - 90° = 30°，
同理可得∠BCE = 30°，∠CAF = 30°。
∴ ∠D = 180° - ∠DAB - ∠ABD = 180° - 90° - 30° = 60°，
同理可得∠E = 60°，∠F = 60°。
∴ ∠D = ∠E = ∠F = 60°，
∴ △DEF是等边三角形。
【答案】
△DEF是等边三角形
【知识点】
等边三角形的性质；等边三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是等边三角形性质与判定的基础应用类题目，解题的关键是结合已知的垂直条件和等边三角形的内角特征，通过角度推导得到待证三角形的内角度数，熟练掌握等边三角形的判定方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
要证明△DEF是等边三角形，可通过证明其三个内角均为60°实现。首先利用等边△ABC的性质得到三个内角均为60°，再结合题目给出的垂直条件得到相关直角为90°，借助平角的性质先求出∠ABD、∠BCE、∠CAF的度数，最后利用三角形内角和定理计算出∠D、∠E、∠F的度数，若三个角都为60°即可判定△DEF为等边三角形。
【解析】
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC = ∠ACB = ∠BAC = 60°。
∵ DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，垂足分别为A，B，C，
∴ ∠DAB = ∠EBC = ∠FCA = 90°。
∴ ∠ABD = 180° - ∠ABC - ∠EBC = 180° - 60° - 90° = 30°，
同理可得∠BCE = 30°，∠CAF = 30°。
∴ ∠D = 180° - ∠DAB - ∠ABD = 180° - 90° - 30° = 60°，
同理可得∠E = 60°，∠F = 60°。
∴ ∠D = ∠E = ∠F = 60°，
∴ △DEF是等边三角形。
【答案】
△DEF是等边三角形
【知识点】
等边三角形的性质；等边三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是等边三角形性质与判定的基础应用类题目，解题的关键是结合已知的垂直条件和等边三角形的内角特征，通过角度推导得到待证三角形的内角度数，熟练掌握等边三角形的判定方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
