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10.某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1 500箱材料；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1 400箱材料.
(1)甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？
(2)经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不得超过1 245箱.计划租用甲、乙两种型号的货车共70辆，且乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，该公司一次性将这批材料运往工厂共有哪几种租车方案？
(1)甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？
(2)经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不得超过1 245箱.计划租用甲、乙两种型号的货车共70辆，且乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，该公司一次性将这批材料运往工厂共有哪几种租车方案？
答案
(1)设甲型货车每辆可装载$x$箱材料,乙型货车每辆可装载$y$箱材料.
根据题意,得$\begin{cases}30x+50y=1\ 500, \\20x+60y=1\ 400,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=25, \\y=15.\end{cases}$
答:甲型货车每辆可装载25箱材料,乙型货车每辆可装载15箱材料.
(2)设租用$m$辆甲型货车,则租用$(70-m)$辆乙型货车.
根据题意,
得$\begin{cases}25m+15(70-m)≤1\ 245, \\70-m≤3m,\end{cases}$
解得$\dfrac{35}{2}≤m≤\dfrac{39}{2}$.
又因为$m$为整数,所以$m$可以取18,19,
所以该公司共有2种租车方案,
方案1:租用18辆甲型货车,52辆乙型货车;
方案2:租用19辆甲型货车,51辆乙型货车.
根据题意,得$\begin{cases}30x+50y=1\ 500, \\20x+60y=1\ 400,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=25, \\y=15.\end{cases}$
答:甲型货车每辆可装载25箱材料,乙型货车每辆可装载15箱材料.
(2)设租用$m$辆甲型货车,则租用$(70-m)$辆乙型货车.
根据题意,
得$\begin{cases}25m+15(70-m)≤1\ 245, \\70-m≤3m,\end{cases}$
解得$\dfrac{35}{2}≤m≤\dfrac{39}{2}$.
又因为$m$为整数,所以$m$可以取18,19,
所以该公司共有2种租车方案,
方案1:租用18辆甲型货车,52辆乙型货车;
方案2:租用19辆甲型货车,51辆乙型货车.
解析
【分析】
(1) 第一问需从题干提取两个等量关系：30辆甲型货车总装载量+50辆乙型货车总装载量=1500箱，20辆甲型货车总装载量+60辆乙型货车总装载量=1400箱，设甲、乙两种货车每辆装载量为未知数，列二元一次方程组即可求解。
(2) 第二问先设租用甲型货车的数量为m，可表示出乙型货车数量为(70-m)，再根据两个不等关系：两类货车总装载量≤1245箱、乙型货车数量≤甲型货车数量的3倍，列一元一次不等式组求出m的取值范围，结合m为正整数的实际要求，即可确定所有符合条件的租车方案。
【解析】
(1) 设甲型货车每辆可装载$x$箱材料，乙型货车每辆可装载$y$箱材料。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}30x+50y=1500 \\20x+60y=1400\end{cases}$
化简方程组得$\begin{cases}3x+5y=150 \\x+3y=70\end{cases}$，将$x=70-3y$代入$3x+5y=150$，解得$y=15$，再代入得$x=25$。
(2) 设租用$m$辆甲型货车，则租用$(70-m)$辆乙型货车。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}25m+15(70-m)≤1245 \\70-m≤3m\end{cases}$
解第一个不等式得$m≤19.5$，解第二个不等式得$m≥17.5$，所以不等式组解集为$17.5≤m≤19.5$。
因为m为正整数，所以m可取18、19，对应得到两种租车方案。
【答案】
(1) 甲型货车每辆可装载25箱材料，乙型货车每辆可装载15箱材料；
(2) 共有2种租车方案：
方案1：租用18辆甲型货车，52辆乙型货车；
方案2：租用19辆甲型货车，51辆乙型货车。
【知识点】
二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用
【点评】
本题是典型的方程与不等式结合的实际应用题，重点考查从题干提取数量关系的能力，解题时需注意未知数的实际意义，车辆数必须为正整数，避免得出不符合实际的解。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问需从题干提取两个等量关系：30辆甲型货车总装载量+50辆乙型货车总装载量=1500箱，20辆甲型货车总装载量+60辆乙型货车总装载量=1400箱，设甲、乙两种货车每辆装载量为未知数，列二元一次方程组即可求解。
(2) 第二问先设租用甲型货车的数量为m，可表示出乙型货车数量为(70-m)，再根据两个不等关系：两类货车总装载量≤1245箱、乙型货车数量≤甲型货车数量的3倍，列一元一次不等式组求出m的取值范围，结合m为正整数的实际要求，即可确定所有符合条件的租车方案。
【解析】
(1) 设甲型货车每辆可装载$x$箱材料，乙型货车每辆可装载$y$箱材料。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}30x+50y=1500 \\20x+60y=1400\end{cases}$
化简方程组得$\begin{cases}3x+5y=150 \\x+3y=70\end{cases}$，将$x=70-3y$代入$3x+5y=150$，解得$y=15$，再代入得$x=25$。
(2) 设租用$m$辆甲型货车，则租用$(70-m)$辆乙型货车。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}25m+15(70-m)≤1245 \\70-m≤3m\end{cases}$
解第一个不等式得$m≤19.5$，解第二个不等式得$m≥17.5$，所以不等式组解集为$17.5≤m≤19.5$。
因为m为正整数，所以m可取18、19，对应得到两种租车方案。
【答案】
(1) 甲型货车每辆可装载25箱材料，乙型货车每辆可装载15箱材料；
(2) 共有2种租车方案：
方案1：租用18辆甲型货车，52辆乙型货车；
方案2：租用19辆甲型货车，51辆乙型货车。
【知识点】
二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用
【点评】
本题是典型的方程与不等式结合的实际应用题，重点考查从题干提取数量关系的能力，解题时需注意未知数的实际意义，车辆数必须为正整数，避免得出不符合实际的解。
【难度系数】
0.6
11. 定义一种运算“*”，规定：$a*b=\begin{cases}a, & a≥ b, \\ b, & a ＜ b,\end{cases}$ 则不等式$(2x+1)*(2-x)＞3$的解集是（ ）
A.$x＞1$或$x＜\dfrac{1}{3}$
B.$-1＜x＜\dfrac{1}{3}$
C.$x＞1$或$x＜-1$
D.$x＞\dfrac{1}{3}$或$x＜-1$
A.$x＞1$或$x＜\dfrac{1}{3}$
B.$-1＜x＜\dfrac{1}{3}$
C.$x＞1$或$x＜-1$
D.$x＞\dfrac{1}{3}$或$x＜-1$
答案
C
解析
【分析】首先要理解新运算“*”的规则：两个数进行“*”运算时，结果取两个数中较大的数。解决这类新定义不等式问题，需要先根据运算规则的分段条件分类讨论，分别将新定义不等式转化为普通的一元一次不等式求解，最后合并两种情况的解集就能得到最终答案。第一步先确定分段的分界条件，即比较2x+1和2-x的大小，分两种情况展开计算，第二步分别解每种情况下的不等式，第三步合并解集对应选项即可。
【解析】根据新运算“*”的定义，运算结果为两个数中较大的数，分两种情况讨论：
1. 当$2x+1 ≥ 2-x$时，
先解前提不等式：移项得$2x+x ≥ 2-1$，即$3x≥1$，解得$x≥\frac{1}{3}$。
此时$(2x+1)*(2-x)=2x+1$，原不等式转化为：
$2x+1＞3$，移项得$2x＞2$，解得$x＞1$。
结合前提$x≥\frac{1}{3}$，该情况的解集为$x＞1$。
2. 当$2x+1 ＜ 2-x$时，
先解前提不等式：移项得$3x＜1$，解得$x＜\frac{1}{3}$。
此时$(2x+1)*(2-x)=2-x$，原不等式转化为：
$2-x＞3$，移项得$-x＞1$，两边同乘-1（不等号方向改变），解得$x＜-1$。
结合前提$x＜\frac{1}{3}$，该情况的解集为$x＜-1$。
将两种情况的解集合并，得原不等式的解集为$x＞1$或$x＜-1$。
【答案】C
【知识点】新定义运算；解一元一次不等式；分类讨论思想
【点评】本题核心是先准确理解新定义的运算规则，再通过分类讨论将陌生的新定义不等式转化为熟悉的一元一次不等式求解，解题时要注意每种情况的前提限制条件，避免出现解集扩大的错误。
【难度系数】0.7
【解析】根据新运算“*”的定义，运算结果为两个数中较大的数，分两种情况讨论：
1. 当$2x+1 ≥ 2-x$时，
先解前提不等式：移项得$2x+x ≥ 2-1$，即$3x≥1$，解得$x≥\frac{1}{3}$。
此时$(2x+1)*(2-x)=2x+1$，原不等式转化为：
$2x+1＞3$，移项得$2x＞2$，解得$x＞1$。
结合前提$x≥\frac{1}{3}$，该情况的解集为$x＞1$。
2. 当$2x+1 ＜ 2-x$时，
先解前提不等式：移项得$3x＜1$，解得$x＜\frac{1}{3}$。
此时$(2x+1)*(2-x)=2-x$，原不等式转化为：
$2-x＞3$，移项得$-x＞1$，两边同乘-1（不等号方向改变），解得$x＜-1$。
结合前提$x＜\frac{1}{3}$，该情况的解集为$x＜-1$。
将两种情况的解集合并，得原不等式的解集为$x＞1$或$x＜-1$。
【答案】C
【知识点】新定义运算；解一元一次不等式；分类讨论思想
【点评】本题核心是先准确理解新定义的运算规则，再通过分类讨论将陌生的新定义不等式转化为熟悉的一元一次不等式求解，解题时要注意每种情况的前提限制条件，避免出现解集扩大的错误。
【难度系数】0.7
