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12.某中学为落实“全员育人，创办特色学校”的精神，决心打造“书香校园”，计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本.
(1)符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来.
(2)若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明(1)中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
(1)符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来.
(2)若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明(1)中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
答案
(1)设组建中型图书角$x$个,则组建小型图书角$(30-x)$个.
由题意,得$\begin{cases}80x+30(30-x)≤1\ 900, \\50x+60(30-x)≤1\ 620,\end{cases}$
解这个不等式组,得$18≤x≤20$.
由于$x$只能取整数,
$\therefore x$的取值是18,19,20.
当$x=18$时,$30-x=12$;
当$x=19$时,$30-x=11$;
当$x=20$时,$30-x=10$.
故有三种组建方案:方案一,中型图书角18个,小型图书角12个;方案二,中型图书角19个,小型图书角11个;方案三,中型图书角20个,小型图书角10个.
(2)方案一的费用:$860×18+570×12=22\ 320$(元);
方案二的费用:$860×19+570×11=22\ 610$(元);
方案三的费用:$860×20+570×10=22\ 900$(元).
故方案一费用最低,最低费用是22 320元.
由题意,得$\begin{cases}80x+30(30-x)≤1\ 900, \\50x+60(30-x)≤1\ 620,\end{cases}$
解这个不等式组,得$18≤x≤20$.
由于$x$只能取整数,
$\therefore x$的取值是18,19,20.
当$x=18$时,$30-x=12$;
当$x=19$时,$30-x=11$;
当$x=20$时,$30-x=10$.
故有三种组建方案:方案一,中型图书角18个,小型图书角12个;方案二,中型图书角19个,小型图书角11个;方案三,中型图书角20个,小型图书角10个.
(2)方案一的费用:$860×18+570×12=22\ 320$(元);
方案二的费用:$860×19+570×11=22\ 610$(元);
方案三的费用:$860×20+570×10=22\ 900$(元).
故方案一费用最低,最低费用是22 320元.
解析
【分析】
这是一道实际应用类的方案设计题，解题思路如下：1. 求解第一问时，先设中型图书角的数量为x个，那么小型图书角数量就是总个数30减去x，即(30-x)个；再根据科技类书籍总数不超过1900本、人文类书籍总数不超过1620本两个限制条件，分别列出不等式组成一元一次不等式组；解不等式组得到x的取值范围，结合x代表图书角个数，必须为非负整数，就能得到x的所有合法取值，对应得出所有组建方案。2. 求解第二问时，分别计算第一问中每种方案的总费用，再比较费用大小，即可找到费用最低的方案及最低费用。
【解析】
(1) 设组建中型图书角$x$个，则组建小型图书角$(30-x)$个。
由题意可列不等式组：
$\begin{cases}80x+30(30-x)≤1900, \\50x+60(30-x)≤1620,\end{cases}$
解第一个不等式：$80x+900-30x≤1900$，化简得$50x≤1000$，解得$x≤20$；
解第二个不等式：$50x+1800-60x≤1620$，化简得$-10x≤-180$，解得$x≥18$；
因此不等式组的解集为$18≤x≤20$。
由于x为非负整数，所以x的取值为18、19、20，对应三种方案：
当$x=18$时，$30-x=12$，即方案一：中型图书角18个，小型图书角12个；
当$x=19$时，$30-x=11$，即方案二：中型图书角19个，小型图书角11个；
当$x=20$时，$30-x=10$，即方案三：中型图书角20个，小型图书角10个。
(2) 分别计算三种方案的总费用：
方案一费用：$860×18+570×12=15480+6840=22320$（元）；
方案二费用：$860×19+570×11=16340+6270=22610$（元）；
方案三费用：$860×20+570×10=17200+5700=22900$（元）。
对比可得$22320＜22610＜22900$，因此方案一费用最低。
【答案】
(1) 共3种组建方案：方案一：中型图书角18个，小型图书角12个；方案二：中型图书角19个，小型图书角11个；方案三：中型图书角20个，小型图书角10个。
(2) 方案一费用最低，最低费用为22320元。
【知识点】
一元一次不等式组应用；方案设计；最优费用计算
【点评】
本题结合校园建设的实际情境考查不等式组的实际应用，解题时需要注意未知数的取值要符合实际意义（需为非负整数），最优方案可通过直接计算各方案成本比较得出，贴近生活，能很好地锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道实际应用类的方案设计题，解题思路如下：1. 求解第一问时，先设中型图书角的数量为x个，那么小型图书角数量就是总个数30减去x，即(30-x)个；再根据科技类书籍总数不超过1900本、人文类书籍总数不超过1620本两个限制条件，分别列出不等式组成一元一次不等式组；解不等式组得到x的取值范围，结合x代表图书角个数，必须为非负整数，就能得到x的所有合法取值，对应得出所有组建方案。2. 求解第二问时，分别计算第一问中每种方案的总费用，再比较费用大小，即可找到费用最低的方案及最低费用。
【解析】
(1) 设组建中型图书角$x$个，则组建小型图书角$(30-x)$个。
由题意可列不等式组：
$\begin{cases}80x+30(30-x)≤1900, \\50x+60(30-x)≤1620,\end{cases}$
解第一个不等式：$80x+900-30x≤1900$，化简得$50x≤1000$，解得$x≤20$；
解第二个不等式：$50x+1800-60x≤1620$，化简得$-10x≤-180$，解得$x≥18$；
因此不等式组的解集为$18≤x≤20$。
由于x为非负整数，所以x的取值为18、19、20，对应三种方案：
当$x=18$时，$30-x=12$，即方案一：中型图书角18个，小型图书角12个；
当$x=19$时，$30-x=11$，即方案二：中型图书角19个，小型图书角11个；
当$x=20$时，$30-x=10$，即方案三：中型图书角20个，小型图书角10个。
(2) 分别计算三种方案的总费用：
方案一费用：$860×18+570×12=15480+6840=22320$（元）；
方案二费用：$860×19+570×11=16340+6270=22610$（元）；
方案三费用：$860×20+570×10=17200+5700=22900$（元）。
对比可得$22320＜22610＜22900$，因此方案一费用最低。
【答案】
(1) 共3种组建方案：方案一：中型图书角18个，小型图书角12个；方案二：中型图书角19个，小型图书角11个；方案三：中型图书角20个，小型图书角10个。
(2) 方案一费用最低，最低费用为22320元。
【知识点】
一元一次不等式组应用；方案设计；最优费用计算
【点评】
本题结合校园建设的实际情境考查不等式组的实际应用，解题时需要注意未知数的取值要符合实际意义（需为非负整数），最优方案可通过直接计算各方案成本比较得出，贴近生活，能很好地锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
