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1. 下列各式中，是分式的是（
A.$-\dfrac{b}{2a}$
B.$\dfrac{a+b}{2}$
C.$ab+a^2b$
D.$\dfrac{3ab}{π}$
A
）.A.$-\dfrac{b}{2a}$
B.$\dfrac{a+b}{2}$
C.$ab+a^2b$
D.$\dfrac{3ab}{π}$
答案
1. A
解析
【分析】要判断式子是否为分式，首先要回忆分式的判定标准：核心是看式子的分母中是否含有字母，注意π是固定的圆周率，属于常数，不属于字母。解题时只需逐个核查每个选项的分母情况，即可快速得出结果。
【解析】首先明确分式的定义：若A、B为整式，且B中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式。
对各选项逐一分析：
选项A：$-\frac{b}{2a}$的分母为$2a$，含有字母$a$，符合分式定义，是分式；
选项B：$\frac{a+b}{2}$的分母为2，是常数，不含字母，属于整式，不是分式；
选项C：$ab+a^2b$没有分母，属于整式中的多项式，不是分式；
选项D：$\frac{3ab}{π}$的分母为π，是固定常数，不含字母，属于整式，不是分式。
综上只有A是分式。
【答案】A
【知识点】分式的定义；整式与分式的区分
【点评】本题属于基础概念题，解题关键是牢记分式的判定规则，尤其要注意π是常数，不要误将其当作字母判断。
【难度系数】0.9
【解析】首先明确分式的定义：若A、B为整式，且B中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式。
对各选项逐一分析：
选项A：$-\frac{b}{2a}$的分母为$2a$，含有字母$a$，符合分式定义，是分式；
选项B：$\frac{a+b}{2}$的分母为2，是常数，不含字母，属于整式，不是分式；
选项C：$ab+a^2b$没有分母，属于整式中的多项式，不是分式；
选项D：$\frac{3ab}{π}$的分母为π，是固定常数，不含字母，属于整式，不是分式。
综上只有A是分式。
【答案】A
【知识点】分式的定义；整式与分式的区分
【点评】本题属于基础概念题，解题关键是牢记分式的判定规则，尤其要注意π是常数，不要误将其当作字母判断。
【难度系数】0.9
2. 下列方程是分式方程的是（
A.$\dfrac{2+x}{5}=\dfrac{3+x}{6}$
B.$\dfrac{x}{2}-3=\dfrac{x}{3}$
C.$\dfrac{x-1}{7+x}=3$
D.$\dfrac{3}{5}x=1$
C
）.A.$\dfrac{2+x}{5}=\dfrac{3+x}{6}$
B.$\dfrac{x}{2}-3=\dfrac{x}{3}$
C.$\dfrac{x-1}{7+x}=3$
D.$\dfrac{3}{5}x=1$
答案
2. C
解析
【分析】
解决本题首先要明确分式方程的判定标准：判断一个方程是否为分式方程，核心是看方程的分母中是否含有未知数，分母含未知数的就是分式方程，反之则为整式方程。接下来我们只需逐个分析四个选项的分母构成，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，我们对各选项逐一判断：
A选项：方程的分母为5和6，均为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
B选项：方程的分母为2和3，均为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
C选项：方程的分母为$7+x$，含有未知数$x$，符合分式方程的定义，符合要求；
D选项：方程的分母为5，是常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的定义、整式方程的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是抓住分式方程的判定要点，即分母是否含有未知数，注意不要将仅分子含有未知数的方程误判为分式方程。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确分式方程的判定标准：判断一个方程是否为分式方程，核心是看方程的分母中是否含有未知数，分母含未知数的就是分式方程，反之则为整式方程。接下来我们只需逐个分析四个选项的分母构成，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，我们对各选项逐一判断：
A选项：方程的分母为5和6，均为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
B选项：方程的分母为2和3，均为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
C选项：方程的分母为$7+x$，含有未知数$x$，符合分式方程的定义，符合要求；
D选项：方程的分母为5，是常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的定义、整式方程的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是抓住分式方程的判定要点，即分母是否含有未知数，注意不要将仅分子含有未知数的方程误判为分式方程。
【难度系数】
0.9
3. 计算$\frac{a^2 -5a}{a-5}$的结果是（
A.$a-5$
B.$a+5$
C.$5$
D.$a$
D
）。A.$a-5$
B.$a+5$
C.$5$
D.$a$
答案
3. D
解析
【分析】
解题时首先观察分式的分子和分母，发现分子是多项式，可以先通过提公因式法对分子进行因式分解，再根据分式的基本性质，约去分子分母中不为0的公因式，即可得到化简结果。
【解析】
首先对分子$a^2 -5a$提公因式$a$，可得：
$a^2 -5a = a(a-5)$
将其代入原式，得：
$\frac{a^2 -5a}{a-5} = \frac{a(a-5)}{a-5}$
根据分式有意义的条件，分母$a-5 ≠ 0$，因此可根据分式的基本性质，将分子和分母同时除以公因式$(a-5)$，化简后得结果为$a$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式因式分解；分式的基本性质；分式约分
【点评】
本题属于分式化简的基础题型，解题核心是先对多项式分子因式分解，找到分子分母的公因式后约分，计算时要注意约分的前提是公因式不为0。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察分式的分子和分母，发现分子是多项式，可以先通过提公因式法对分子进行因式分解，再根据分式的基本性质，约去分子分母中不为0的公因式，即可得到化简结果。
【解析】
首先对分子$a^2 -5a$提公因式$a$，可得：
$a^2 -5a = a(a-5)$
将其代入原式，得：
$\frac{a^2 -5a}{a-5} = \frac{a(a-5)}{a-5}$
根据分式有意义的条件，分母$a-5 ≠ 0$，因此可根据分式的基本性质，将分子和分母同时除以公因式$(a-5)$，化简后得结果为$a$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式因式分解；分式的基本性质；分式约分
【点评】
本题属于分式化简的基础题型，解题核心是先对多项式分子因式分解，找到分子分母的公因式后约分，计算时要注意约分的前提是公因式不为0。
【难度系数】
0.9
4. 石墨烯是目前世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.000 000 000 34 m. 这个数用科学记数法表示正确的是（
A.$3.4×10^{-9}$
B.$0.34×10^{-9}$
C.$3.4×10^{-10}$
D.$3.4×10^{-12}$
C
）.A.$3.4×10^{-9}$
B.$0.34×10^{-9}$
C.$3.4×10^{-10}$
D.$3.4×10^{-12}$
答案
4. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆科学记数法表示小于1的正数的规则：形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤ a＜10$，n为正整数。解题时先确定a的取值，排除不符合a范围的选项，再根据原数确定n的值，即可选出正确答案。
【解析】
科学记数法表示绝对值小于1的数的标准形式为$a×10^{-n}$，要求$1≤|a|＜10$，n等于原数左起第一个不为0的数字前面所有0的总个数（包含小数点前的0）。
1. 确定a的取值：将0.00000000034调整为满足$1≤ a＜10$的数，得$a=3.4$，B选项中a为0.34，不符合要求，直接排除。
2. 确定n的取值：原数0.00000000034中，第一个非零数字是3，它前面共有10个0，因此$n=10$，对应指数为$-10$。
综上，该数用科学记数法表示为$3.4×10^{-10}$。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法表示较小数
【点评】
本题考查科学记数法的应用，属于基础题型，解题核心是准确把握a的取值范围和负指数的确定规则，细心数清原数中0的个数即可得分。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先回忆科学记数法表示小于1的正数的规则：形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤ a＜10$，n为正整数。解题时先确定a的取值，排除不符合a范围的选项，再根据原数确定n的值，即可选出正确答案。
【解析】
科学记数法表示绝对值小于1的数的标准形式为$a×10^{-n}$，要求$1≤|a|＜10$，n等于原数左起第一个不为0的数字前面所有0的总个数（包含小数点前的0）。
1. 确定a的取值：将0.00000000034调整为满足$1≤ a＜10$的数，得$a=3.4$，B选项中a为0.34，不符合要求，直接排除。
2. 确定n的取值：原数0.00000000034中，第一个非零数字是3，它前面共有10个0，因此$n=10$，对应指数为$-10$。
综上，该数用科学记数法表示为$3.4×10^{-10}$。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法表示较小数
【点评】
本题考查科学记数法的应用，属于基础题型，解题核心是准确把握a的取值范围和负指数的确定规则，细心数清原数中0的个数即可得分。
【难度系数】
0.85
5. 计算$(-\dfrac{b}{a})^{3} · a^{4}$的结果是（
A.$ab^{3}$
B.$-ab^{3}$
C.$\dfrac{b^{7}}{a}$
D.$-\dfrac{b^{7}}{a}$
B
）.A.$ab^{3}$
B.$-ab^{3}$
C.$\dfrac{b^{7}}{a}$
D.$-\dfrac{b^{7}}{a}$
答案
5. B
解析
【分析】
这是分式乘方与整式乘法的混合运算题，需按照先乘方、后乘法的顺序计算。首先要回忆分式乘方法则，计算$(-\frac{b}{a})^3$时注意负数的奇次幂符号为负，分子和分母要分别乘方；再将乘方的结果与$a^4$相乘，结合同底数幂的运算规则约分即可得到最终结果。
【解析】
解：按运算顺序分步计算：
1. 计算乘方：根据分式乘方法则，分子、分母分别乘方，且负数的奇次幂为负，可得
$(-\dfrac{b}{a})^3=\dfrac{(-b)^3}{a^3}=-\dfrac{b^3}{a^3}$
2. 计算乘法：将上述结果与$a^4$相乘，同底数幂相除底数不变、指数相减，约分后得
$-\dfrac{b^3}{a^3}·a^4=-b^3·a^{4-3}=-ab^3$
因此计算结果对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式乘方、同底数幂运算、幂的符号判断
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查幂运算的相关规则，计算时要格外注意负数奇次幂的符号，以及同底数幂运算时指数的变化规律，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.8
这是分式乘方与整式乘法的混合运算题，需按照先乘方、后乘法的顺序计算。首先要回忆分式乘方法则，计算$(-\frac{b}{a})^3$时注意负数的奇次幂符号为负，分子和分母要分别乘方；再将乘方的结果与$a^4$相乘，结合同底数幂的运算规则约分即可得到最终结果。
【解析】
解：按运算顺序分步计算：
1. 计算乘方：根据分式乘方法则，分子、分母分别乘方，且负数的奇次幂为负，可得
$(-\dfrac{b}{a})^3=\dfrac{(-b)^3}{a^3}=-\dfrac{b^3}{a^3}$
2. 计算乘法：将上述结果与$a^4$相乘，同底数幂相除底数不变、指数相减，约分后得
$-\dfrac{b^3}{a^3}·a^4=-b^3·a^{4-3}=-ab^3$
因此计算结果对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式乘方、同底数幂运算、幂的符号判断
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查幂运算的相关规则，计算时要格外注意负数奇次幂的符号，以及同底数幂运算时指数的变化规律，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.8
6. 化简$\frac{x^2}{x-1} - \frac{1}{x-1}$的结果是（
A.$x+1$
B.$\frac{1}{x+1}$
C.$x-1$
D.$\frac{x}{x-1}$
A
）.A.$x+1$
B.$\frac{1}{x+1}$
C.$x-1$
D.$\frac{x}{x-1}$
答案
6. A
解析
【分析】
这是一道同分母分式的减法化简题，解题思路如下：第一步，先观察两个分式的分母，发现分母均为$x-1$，属于同分母分式运算，因此可以直接运用同分母分式的减法法则计算，即分母不变，分子相减；第二步，对得到的分子$x^2-1$进行因式分解，它符合平方差公式的形式，可以分解为$(x+1)(x-1)$；第三步，将分解后的分子和分母进行约分，约掉相同的因式$x-1$（隐含条件$x≠1$，保证原式有意义），即可得到最简结果，再对应选项选出答案。
【解析】
解：两个分式为同分母分式，根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$\frac{x^2}{x-1} - \frac{1}{x-1} = \frac{x^2 - 1}{x-1}$
根据平方差公式对分子因式分解：$x^2 -1=(x+1)(x-1)$，代入得：
原式$=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}$
约去分子分母的公因式$x-1$（$x≠1$，原式有意义），得：
原式$=x+1$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
同分母分式加减、平方差公式、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，核心是熟练掌握同分母分式的运算规则，结合因式分解完成约分即可得到结果，运算时要注意分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.9
这是一道同分母分式的减法化简题，解题思路如下：第一步，先观察两个分式的分母，发现分母均为$x-1$，属于同分母分式运算，因此可以直接运用同分母分式的减法法则计算，即分母不变，分子相减；第二步，对得到的分子$x^2-1$进行因式分解，它符合平方差公式的形式，可以分解为$(x+1)(x-1)$；第三步，将分解后的分子和分母进行约分，约掉相同的因式$x-1$（隐含条件$x≠1$，保证原式有意义），即可得到最简结果，再对应选项选出答案。
【解析】
解：两个分式为同分母分式，根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$\frac{x^2}{x-1} - \frac{1}{x-1} = \frac{x^2 - 1}{x-1}$
根据平方差公式对分子因式分解：$x^2 -1=(x+1)(x-1)$，代入得：
原式$=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}$
约去分子分母的公因式$x-1$（$x≠1$，原式有意义），得：
原式$=x+1$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
同分母分式加减、平方差公式、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，核心是熟练掌握同分母分式的运算规则，结合因式分解完成约分即可得到结果，运算时要注意分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.9
7. 已知$a=2^{-2}$，$b=(π-2)^0$，$c=(-1)^3$，则$a$，$b$，$c$的大小关系是（
A.$a＞b＞c$
B.$b＞a＞c$
C.$c＞a＞b$
D.$b＞c＞a$
B
）.A.$a＞b＞c$
B.$b＞a＞c$
C.$c＞a＞b$
D.$b＞c＞a$
答案
7. B
解析
【分析】
本题需要比较a、b、c的大小，解题思路很明确：首先分别根据负整数指数幂、零指数幂、乘方的运算规则，计算出a、b、c三个数的具体数值，再按照有理数大小比较的规则对三个数排序，最后匹配对应的选项即可。
【解析】
首先分别计算a、b、c的数值：
1. 计算a的值：根据负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），可得$a=2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}=0.25$；
2. 计算b的值：根据零指数幂的运算法则$a^0=1$（$a≠0$），由于$π\approx3.14$，因此$π-2≠0$，可得$b=(π-2)^0=1$；
3. 计算c的值：根据乘方的运算规则，负数的奇次幂为负数，可得$c=(-1)^3=-1$。
再比较三个数的大小：$1＞0.25＞-1$，即$b＞a＞c$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
负整数指数幂运算；零指数幂运算；有理数大小比较
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查幂的相关运算法则的应用，只要熟练掌握各类幂的运算规则，准确计算出三个数的数值，就能快速判断大小关系得到正确答案。
【难度系数】
0.8
本题需要比较a、b、c的大小，解题思路很明确：首先分别根据负整数指数幂、零指数幂、乘方的运算规则，计算出a、b、c三个数的具体数值，再按照有理数大小比较的规则对三个数排序，最后匹配对应的选项即可。
【解析】
首先分别计算a、b、c的数值：
1. 计算a的值：根据负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），可得$a=2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}=0.25$；
2. 计算b的值：根据零指数幂的运算法则$a^0=1$（$a≠0$），由于$π\approx3.14$，因此$π-2≠0$，可得$b=(π-2)^0=1$；
3. 计算c的值：根据乘方的运算规则，负数的奇次幂为负数，可得$c=(-1)^3=-1$。
再比较三个数的大小：$1＞0.25＞-1$，即$b＞a＞c$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
负整数指数幂运算；零指数幂运算；有理数大小比较
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查幂的相关运算法则的应用，只要熟练掌握各类幂的运算规则，准确计算出三个数的数值，就能快速判断大小关系得到正确答案。
【难度系数】
0.8
8. 若把分式$\frac{3xy}{x+y}$中$x$和$y$的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（
A.扩大为原来的2倍
B.缩小为原来的$\frac{1}{2}$
C.缩小为原来的$\frac{1}{4}$
D.扩大为原来的4倍
A
）.A.扩大为原来的2倍
B.缩小为原来的$\frac{1}{2}$
C.缩小为原来的$\frac{1}{4}$
D.扩大为原来的4倍
答案
8. A
解析
【分析】
解决这类分式中变量扩大倍数的问题，核心思路是先按照题目要求，用扩大后的变量替换原式中对应的变量，再对新得到的分式进行化简，最后将化简后的结果和原分式对比，就能判断分式值的变化情况。
【解析】
根据题意，将x、y都替换为原来的2倍，即新的x为2x，新的y为2y，代入原分式可得：
新分式 = $\frac{3·(2x)·(2y)}{2x+2y}$
先计算分子：$3·(2x)·(2y)=12xy$
再对分母提取公因式：$2x+2y=2(x+y)$
因此新分式可化简为：$\frac{12xy}{2(x+y)}=\frac{6xy}{x+y}$
对比原分式$\frac{3xy}{x+y}$，可得$\frac{6xy}{x+y}=2×\frac{3xy}{x+y}$，即新分式的值是原分式的2倍。
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质；分式的化简
【点评】
本题是分式性质的典型基础应用题，解题时切忌凭直觉判断，要严格按照代入、化简、对比的步骤推导，熟练掌握该方法即可快速解决同类变量扩缩的分式问题。
【难度系数】
0.8
解决这类分式中变量扩大倍数的问题，核心思路是先按照题目要求，用扩大后的变量替换原式中对应的变量，再对新得到的分式进行化简，最后将化简后的结果和原分式对比，就能判断分式值的变化情况。
【解析】
根据题意，将x、y都替换为原来的2倍，即新的x为2x，新的y为2y，代入原分式可得：
新分式 = $\frac{3·(2x)·(2y)}{2x+2y}$
先计算分子：$3·(2x)·(2y)=12xy$
再对分母提取公因式：$2x+2y=2(x+y)$
因此新分式可化简为：$\frac{12xy}{2(x+y)}=\frac{6xy}{x+y}$
对比原分式$\frac{3xy}{x+y}$，可得$\frac{6xy}{x+y}=2×\frac{3xy}{x+y}$，即新分式的值是原分式的2倍。
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质；分式的化简
【点评】
本题是分式性质的典型基础应用题，解题时切忌凭直觉判断，要严格按照代入、化简、对比的步骤推导，熟练掌握该方法即可快速解决同类变量扩缩的分式问题。
【难度系数】
0.8
9. 若关于$x$的分式方程$\dfrac{a-1}{x+1}=2$的解是负数，则$a$的取值范围是（
A.$a＞3$
B.$a＜3$
C.$a＞3$且$a≠5$
D.$a＜3$且$a≠1$
D
）.A.$a＞3$
B.$a＜3$
C.$a＞3$且$a≠5$
D.$a＜3$且$a≠1$
答案
9. D
解析
【分析】
首先我们要先求解分式方程，用含a的代数式表示出x的值；再根据“方程的解是负数”的条件列不等式，求出a的初步范围；最后要牢记分式方程有意义的前提是分母不为0，排除对应增根的a的取值，综合两个条件就能得到a的完整取值范围。
【解析】
1. 求解分式方程
给方程$\dfrac{a-1}{x+1}=2$两边同时乘$(x+1)$（$x+1≠0$）去分母，得：
$a-1=2(x+1)$
展开右侧得：$a-1=2x+2$
移项整理得：$2x=a-3$
解得：$x=\dfrac{a-3}{2}$
2. 根据解为负数列不等式
因为方程的解是负数，所以$x＜0$，即：
$\dfrac{a-3}{2}＜0$
两边同乘2得：$a-3＜0$，解得$a＜3$
3. 考虑分式有意义的条件
分式分母不能为0，即$x+1≠0$，也就是$x≠-1$，代入$x=\dfrac{a-3}{2}$得：
$\dfrac{a-3}{2}≠-1$
两边同乘2得：$a-3≠-2$，解得$a≠1$
综上，a的取值范围是$a＜3$且$a≠1$。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解，分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含条件，仅根据解为负数得到$a＜3$就错选B，求解分式方程相关的参数范围题时，一定要注意排除增根对应的参数值。
【难度系数】
0.6
首先我们要先求解分式方程，用含a的代数式表示出x的值；再根据“方程的解是负数”的条件列不等式，求出a的初步范围；最后要牢记分式方程有意义的前提是分母不为0，排除对应增根的a的取值，综合两个条件就能得到a的完整取值范围。
【解析】
1. 求解分式方程
给方程$\dfrac{a-1}{x+1}=2$两边同时乘$(x+1)$（$x+1≠0$）去分母，得：
$a-1=2(x+1)$
展开右侧得：$a-1=2x+2$
移项整理得：$2x=a-3$
解得：$x=\dfrac{a-3}{2}$
2. 根据解为负数列不等式
因为方程的解是负数，所以$x＜0$，即：
$\dfrac{a-3}{2}＜0$
两边同乘2得：$a-3＜0$，解得$a＜3$
3. 考虑分式有意义的条件
分式分母不能为0，即$x+1≠0$，也就是$x≠-1$，代入$x=\dfrac{a-3}{2}$得：
$\dfrac{a-3}{2}≠-1$
两边同乘2得：$a-3≠-2$，解得$a≠1$
综上，a的取值范围是$a＜3$且$a≠1$。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解，分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含条件，仅根据解为负数得到$a＜3$就错选B，求解分式方程相关的参数范围题时，一定要注意排除增根对应的参数值。
【难度系数】
0.6
