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10. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题，“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文。只云绫、罗各一尺，共直钱一百二十文。问：绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺，1尺≈0.33米），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文钱。绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文钱。问：两种布每尺各多少钱？若设绫布有$x$尺，根据题意可列方程为（$\boldsymbol{}$）。
A.$\frac{896}{30 - x} - 120 = \frac{896}{x}$
B.$120 - \frac{896}{x} = \frac{896}{30 - x}$
C.$120 + \frac{896}{x} = \frac{896}{30 + x}$
D.$\frac{896}{x} = \frac{896}{30 - x} + 120$
A.$\frac{896}{30 - x} - 120 = \frac{896}{x}$
B.$120 - \frac{896}{x} = \frac{896}{30 - x}$
C.$120 + \frac{896}{x} = \frac{896}{30 + x}$
D.$\frac{896}{x} = \frac{896}{30 - x} + 120$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先统一单位，将3丈换算为30尺。已知设绫布有x尺，可先求出罗布的长度为总长度减去绫布长度即(30-x)尺。再根据“单价=总价÷数量”的关系，分别表示出绫布和罗布的每尺价格。最后结合“绫、罗各一尺共值120文”的等量关系，对等式变形即可得到对应方程。
【解析】
1. 单位换算：因为1丈=10尺，所以3丈=3×10=30尺。
2. 表示各量：设绫布有x尺，则罗布的长度为$(30 - x)$尺。
绫布每尺价格为：总售价÷绫布长度 = $\frac{896}{x}$ 文；
罗布每尺价格为：总售价÷罗布长度 = $\frac{896}{30 - x}$ 文。
3. 列等量关系：由“绫、罗各一尺共直钱一百二十文”可得：
$\frac{896}{x} + \frac{896}{30 - x} = 120$
移项后得到：$120 - \frac{896}{x} = \frac{896}{30 - x}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的实际应用；单价、总价、数量关系
【点评】
本题依托中国古代数学著作命题，考查列分式方程解决实际问题的能力，解题的核心是准确梳理题干中的数量关系，找准等量关系，同时要注意先统一单位再计算。
【难度系数】
0.7
解题时首先统一单位，将3丈换算为30尺。已知设绫布有x尺，可先求出罗布的长度为总长度减去绫布长度即(30-x)尺。再根据“单价=总价÷数量”的关系，分别表示出绫布和罗布的每尺价格。最后结合“绫、罗各一尺共值120文”的等量关系，对等式变形即可得到对应方程。
【解析】
1. 单位换算：因为1丈=10尺，所以3丈=3×10=30尺。
2. 表示各量：设绫布有x尺，则罗布的长度为$(30 - x)$尺。
绫布每尺价格为：总售价÷绫布长度 = $\frac{896}{x}$ 文；
罗布每尺价格为：总售价÷罗布长度 = $\frac{896}{30 - x}$ 文。
3. 列等量关系：由“绫、罗各一尺共直钱一百二十文”可得：
$\frac{896}{x} + \frac{896}{30 - x} = 120$
移项后得到：$120 - \frac{896}{x} = \frac{896}{30 - x}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的实际应用；单价、总价、数量关系
【点评】
本题依托中国古代数学著作命题，考查列分式方程解决实际问题的能力，解题的核心是准确梳理题干中的数量关系，找准等量关系，同时要注意先统一单位再计算。
【难度系数】
0.7
11. 要使分式$\frac{3}{x-2}$有意义，$x$的取值应满足
$x≠2$
。答案
11. $x≠2$
解析
【分析】
要确定分式有意义时未知数的取值范围，首先回忆分式的基本性质：分式有意义的前提是分母不能为0，若分母为0则分式无意义。解题时先找到给定分式的分母，再令分母不等于0，解这个不等式即可得到x的取值要求。
【解析】
解：根据分式有意义的条件：分母不为0。
本题中分式$\frac{3}{x-2}$的分母为$x-2$，因此可得：
$x-2≠0$
解得：$x≠2$
【答案】
$x≠2$
【知识点】
分式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题是分式章节的基础常规考题，直接考察分式有意义的核心规则，牢记分母不为0的要求即可快速求解，得分率较高。
【难度系数】
0.9
要确定分式有意义时未知数的取值范围，首先回忆分式的基本性质：分式有意义的前提是分母不能为0，若分母为0则分式无意义。解题时先找到给定分式的分母，再令分母不等于0，解这个不等式即可得到x的取值要求。
【解析】
解：根据分式有意义的条件：分母不为0。
本题中分式$\frac{3}{x-2}$的分母为$x-2$，因此可得：
$x-2≠0$
解得：$x≠2$
【答案】
$x≠2$
【知识点】
分式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题是分式章节的基础常规考题，直接考察分式有意义的核心规则，牢记分母不为0的要求即可快速求解，得分率较高。
【难度系数】
0.9
12. 计算：$(π - 3.14)^0 + (-\dfrac{1}{2})^{-1} =$
$-1$
.答案
12. $-1$
解析
【分析】
本题是幂的加法运算，解题时需先分别计算两个幂的值，再求和：第一步，回忆零指数幂的运算规则：非零数的0次幂等于1，先判断底数$π - 3.14$是否为0，因$π\approx3.14159＞3.14$，底数不为0，因此可得$(π - 3.14)^0$的结果；第二步，回忆负整数指数幂的运算规则：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a≠0$，$n$为正整数），据此计算$(-\frac{1}{2})^{-1}$的值；最后将两个结果相加即可得到最终答案。
【解析】
根据零指数幂的性质：当$a≠0$时，$a^0=1$，
$\because π\approx3.14159＞3.14$，即$π - 3.14≠0$，
$\therefore (π - 3.14)^0=1$；
根据负整数指数幂的性质：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a≠0$，$n$为正整数），
$\therefore (-\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^1}=-2$；
将两个结果相加：$1 + (-2) = -1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
零指数幂运算；负整数指数幂运算
【点评】
本题属于实数运算中的基础题型，核心考查对零指数幂、负整数指数幂运算法则的掌握，解题时要注意先判断零指数幂的底数不为0，计算负指数幂时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
本题是幂的加法运算，解题时需先分别计算两个幂的值，再求和：第一步，回忆零指数幂的运算规则：非零数的0次幂等于1，先判断底数$π - 3.14$是否为0，因$π\approx3.14159＞3.14$，底数不为0，因此可得$(π - 3.14)^0$的结果；第二步，回忆负整数指数幂的运算规则：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a≠0$，$n$为正整数），据此计算$(-\frac{1}{2})^{-1}$的值；最后将两个结果相加即可得到最终答案。
【解析】
根据零指数幂的性质：当$a≠0$时，$a^0=1$，
$\because π\approx3.14159＞3.14$，即$π - 3.14≠0$，
$\therefore (π - 3.14)^0=1$；
根据负整数指数幂的性质：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a≠0$，$n$为正整数），
$\therefore (-\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^1}=-2$；
将两个结果相加：$1 + (-2) = -1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
零指数幂运算；负整数指数幂运算
【点评】
本题属于实数运算中的基础题型，核心考查对零指数幂、负整数指数幂运算法则的掌握，解题时要注意先判断零指数幂的底数不为0，计算负指数幂时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
13. 已知$x^2 - 3x -4=0$，则代数式$\frac{x}{x^2 -x -4}$的值是
$\frac{1}{2}$
。答案
13. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时可先观察已知方程与所求代数式的结构特点，二者均含$x^2$项，可采用整体代入法简化计算：首先可确定x的取值不为0（将x=0代入已知方程不成立），再从已知方程中得到$x^2$的表达式，代入所求代数式的分母化简即可得到结果；也可以先解出已知方程的根，再分别代入代数式计算验证结果。
【解析】
方法一（整体代入法）：
已知$x^2 - 3x -4=0$，
当$x=0$时，方程左边$=0-0-4=-4≠0$，因此$x≠0$。
将方程移项得：$x^2=3x+4$，
把$x^2=3x+4$代入$\frac{x}{x^2 -x -4}$的分母：
$x^2 -x -4=(3x+4)-x-4=2x$，
因此原式$=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$。
方法二（代入求值法）：
先解方程$x^2 -3x -4=0$，因式分解得$(x-4)(x+1)=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=-1$。
当$x=4$时，$\frac{x}{x^2 -x -4}=\frac{4}{16-4-4}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$；
当$x=-1$时，$\frac{x}{x^2 -x -4}=\frac{-1}{1+1-4}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$。
综上，代数式的值为$\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
整体代入求值，代数式化简，一元二次方程求解
【点评】
本题核心考查整体代入的数学思想，不需要求解x的具体值即可快速得到结果，相比直接解方程代入的方法更简便，能有效提升解题效率，是代数式求值类题目的常用技巧。
【难度系数】
0.7
解题时可先观察已知方程与所求代数式的结构特点，二者均含$x^2$项，可采用整体代入法简化计算：首先可确定x的取值不为0（将x=0代入已知方程不成立），再从已知方程中得到$x^2$的表达式，代入所求代数式的分母化简即可得到结果；也可以先解出已知方程的根，再分别代入代数式计算验证结果。
【解析】
方法一（整体代入法）：
已知$x^2 - 3x -4=0$，
当$x=0$时，方程左边$=0-0-4=-4≠0$，因此$x≠0$。
将方程移项得：$x^2=3x+4$，
把$x^2=3x+4$代入$\frac{x}{x^2 -x -4}$的分母：
$x^2 -x -4=(3x+4)-x-4=2x$，
因此原式$=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$。
方法二（代入求值法）：
先解方程$x^2 -3x -4=0$，因式分解得$(x-4)(x+1)=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=-1$。
当$x=4$时，$\frac{x}{x^2 -x -4}=\frac{4}{16-4-4}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$；
当$x=-1$时，$\frac{x}{x^2 -x -4}=\frac{-1}{1+1-4}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$。
综上，代数式的值为$\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
整体代入求值，代数式化简，一元二次方程求解
【点评】
本题核心考查整体代入的数学思想，不需要求解x的具体值即可快速得到结果，相比直接解方程代入的方法更简便，能有效提升解题效率，是代数式求值类题目的常用技巧。
【难度系数】
0.7
14. 一列数：$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{10}$，$\frac{4}{17}$，$\frac{5}{26}$，…，它们按一定的规律排列，则第$n$个数（$n$为正整数）为
$\frac{n}{n^2+1}$
.答案
14. $\frac{n}{n^2+1}$
解析
【分析】
对于分数形式的数列找规律题，我们通常采用拆分法，分别观察分子、分母与项数n的对应关系：首先看分子，第1项分子是1，第2项是2，第3项是3，可直接得出分子的规律；再看分母，第1项分母是2，第2项是5，第3项是10，将分母与对应项数的平方作对比，即可发现分母的规律，最后将分子分母的规律组合即可得到第n个数的表达式。
【解析】
我们分别分析分子和分母的规律：
1. 分子规律：
第1个数的分子为1，第2个数的分子为2，第3个数的分子为3，……，
由此可得第n个数的分子为n。
2. 分母规律：
第1个数的分母：$2=1^2+1$
第2个数的分母：$5=2^2+1$
第3个数的分母：$10=3^2+1$
第4个数的分母：$17=4^2+1$
……
由此可得第n个数的分母为$n^2+1$。
综上，第n个数为$\frac{n}{n^2+1}$。
【答案】
$\frac{n}{n^2+1}$
【知识点】
规律型数字变化类，列代数式
【点评】
这道题是规律探究类的基础题型，核心解题技巧是拆分分子、分母分别对应项数找规律，掌握该方法可快速解决同类型的数列规律问题。
【难度系数】
0.8
对于分数形式的数列找规律题，我们通常采用拆分法，分别观察分子、分母与项数n的对应关系：首先看分子，第1项分子是1，第2项是2，第3项是3，可直接得出分子的规律；再看分母，第1项分母是2，第2项是5，第3项是10，将分母与对应项数的平方作对比，即可发现分母的规律，最后将分子分母的规律组合即可得到第n个数的表达式。
【解析】
我们分别分析分子和分母的规律：
1. 分子规律：
第1个数的分子为1，第2个数的分子为2，第3个数的分子为3，……，
由此可得第n个数的分子为n。
2. 分母规律：
第1个数的分母：$2=1^2+1$
第2个数的分母：$5=2^2+1$
第3个数的分母：$10=3^2+1$
第4个数的分母：$17=4^2+1$
……
由此可得第n个数的分母为$n^2+1$。
综上，第n个数为$\frac{n}{n^2+1}$。
【答案】
$\frac{n}{n^2+1}$
【知识点】
规律型数字变化类，列代数式
【点评】
这道题是规律探究类的基础题型，核心解题技巧是拆分分子、分母分别对应项数找规律，掌握该方法可快速解决同类型的数列规律问题。
【难度系数】
0.8
三、解答题
15. 解分式方程：
(1) $\frac{x}{x-1} -1 = \frac{2}{x+1}.$
(2) $\frac{x-2}{x+2} - $
$ = \frac{16}{x^2 -4}.$
15. 解分式方程：
(1) $\frac{x}{x-1} -1 = \frac{2}{x+1}.$
(2) $\frac{x-2}{x+2} - $
$ = \frac{16}{x^2 -4}.$答案
15. (1) $x=3$
(2) 原分式方程无解
(2) 原分式方程无解
解析
【分析】
解分式方程的核心是将分式方程转化为整式方程求解，具体思考步骤为：①先观察各分母，能因式分解的先因式分解，确定所有分母的最简公分母；②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程；③解所得的整式方程；④必须验根：将整式方程的解代入最简公分母，若公分母为0，则该解是增根，原方程无解；若公分母不为0，则该解是原方程的根。
【解析】
(1) 解方程 $\frac{x}{x-1} -1 = \frac{2}{x+1}$
最简公分母为$(x-1)(x+1)$，方程两边同时乘$(x-1)(x+1)$，去分母得：
$x(x+1) - (x-1)(x+1) = 2(x-1)$
展开化简：
$x^2 +x - (x^2 -1) = 2x -2$
$x +1 = 2x -2$
移项合并同类项得：
$-x = -3$
解得 $x=3$
检验：当$x=3$时，$(x-1)(x+1)=(3-1)(3+1)=8≠0$，因此$x=3$是原方程的解。
(2) 解方程 $\frac{x-2}{x+2} - \frac{x+2}{x-2} = \frac{16}{x^2-4}$
先因式分解分母得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，因此最简公分母为$(x+2)(x-2)$，方程两边同时乘$(x+2)(x-2)$，去分母得：
$(x-2)^2 - (x+2)^2 = 16$
展开化简：
$(x^2 -4x +4) - (x^2 +4x +4) = 16$
$-8x = 16$
解得 $x=-2$
检验：当$x=-2$时，最简公分母$(x+2)(x-2)=(-2+2)(-2-2)=0$，因此$x=-2$是增根，原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=3$
(2) 原分式方程无解
【知识点】
分式方程的解法，增根的检验
【点评】
本题考查分式方程的求解，易错点为去分母时漏乘不含分母的项、展开运算时符号出错，以及忘记验根，解题时要严格按步骤操作，尤其要牢记分式方程必须验根，避免将增根错认为原方程的解。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心是将分式方程转化为整式方程求解，具体思考步骤为：①先观察各分母，能因式分解的先因式分解，确定所有分母的最简公分母；②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程；③解所得的整式方程；④必须验根：将整式方程的解代入最简公分母，若公分母为0，则该解是增根，原方程无解；若公分母不为0，则该解是原方程的根。
【解析】
(1) 解方程 $\frac{x}{x-1} -1 = \frac{2}{x+1}$
最简公分母为$(x-1)(x+1)$，方程两边同时乘$(x-1)(x+1)$，去分母得：
$x(x+1) - (x-1)(x+1) = 2(x-1)$
展开化简：
$x^2 +x - (x^2 -1) = 2x -2$
$x +1 = 2x -2$
移项合并同类项得：
$-x = -3$
解得 $x=3$
检验：当$x=3$时，$(x-1)(x+1)=(3-1)(3+1)=8≠0$，因此$x=3$是原方程的解。
(2) 解方程 $\frac{x-2}{x+2} - \frac{x+2}{x-2} = \frac{16}{x^2-4}$
先因式分解分母得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，因此最简公分母为$(x+2)(x-2)$，方程两边同时乘$(x+2)(x-2)$，去分母得：
$(x-2)^2 - (x+2)^2 = 16$
展开化简：
$(x^2 -4x +4) - (x^2 +4x +4) = 16$
$-8x = 16$
解得 $x=-2$
检验：当$x=-2$时，最简公分母$(x+2)(x-2)=(-2+2)(-2-2)=0$，因此$x=-2$是增根，原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=3$
(2) 原分式方程无解
【知识点】
分式方程的解法，增根的检验
【点评】
本题考查分式方程的求解，易错点为去分母时漏乘不含分母的项、展开运算时符号出错，以及忘记验根，解题时要严格按步骤操作，尤其要牢记分式方程必须验根，避免将增根错认为原方程的解。
【难度系数】
0.7
16. 先化简，再求值：$\frac{a^2 -9}{a^2 +6a +9} ÷ (1 - \frac{3}{a})$，其中$a=2$。
答案
化简得$\frac{a}{a+3}$，当$a=2$时，原式=$\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路分两步：第一步先化简分式，首先对第一个分式的分子、分母分别因式分解（分子用平方差公式，分母用完全平方公式），再计算括号内的分式减法（将1转化为同分母分式$\frac{a}{a}$，再和$\frac{3}{a}$相减），接着把除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘它的倒数），最后约分化为最简分式；第二步将$a=2$代入最简分式计算结果，代入前要确认$a$的取值使原分式所有分母都不为0。
【解析】
解：先对原式化简：
$\frac{a^2 -9}{a^2 +6a +9} ÷ (1 - \frac{3}{a})$
$=\frac{(a+3)(a-3)}{(a+3)^2} ÷ (\frac{a}{a} - \frac{3}{a})$
$=\frac{a-3}{a+3} ÷ \frac{a-3}{a}$
$=\frac{a-3}{a+3} × \frac{a}{a-3}$
$=\frac{a}{a+3}$
当$a=2$时，原分式所有分母均不为0，代入最简式得：
原式$=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$
【答案】
化简结果为$\frac{a}{a+3}$，求值结果为$\frac{2}{5}$
【知识点】
分式化简求值、因式分解、分式四则运算
【点评】
本题是分式运算的基础常规题型，主要考查因式分解的熟练程度和分式运算规则，运算时要注意顺序：先算括号内，再算乘除，约分要彻底，代入数值前需确认原式有意义。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，解题思路分两步：第一步先化简分式，首先对第一个分式的分子、分母分别因式分解（分子用平方差公式，分母用完全平方公式），再计算括号内的分式减法（将1转化为同分母分式$\frac{a}{a}$，再和$\frac{3}{a}$相减），接着把除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘它的倒数），最后约分化为最简分式；第二步将$a=2$代入最简分式计算结果，代入前要确认$a$的取值使原分式所有分母都不为0。
【解析】
解：先对原式化简：
$\frac{a^2 -9}{a^2 +6a +9} ÷ (1 - \frac{3}{a})$
$=\frac{(a+3)(a-3)}{(a+3)^2} ÷ (\frac{a}{a} - \frac{3}{a})$
$=\frac{a-3}{a+3} ÷ \frac{a-3}{a}$
$=\frac{a-3}{a+3} × \frac{a}{a-3}$
$=\frac{a}{a+3}$
当$a=2$时，原分式所有分母均不为0，代入最简式得：
原式$=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$
【答案】
化简结果为$\frac{a}{a+3}$，求值结果为$\frac{2}{5}$
【知识点】
分式化简求值、因式分解、分式四则运算
【点评】
本题是分式运算的基础常规题型，主要考查因式分解的熟练程度和分式运算规则，运算时要注意顺序：先算括号内，再算乘除，约分要彻底，代入数值前需确认原式有意义。
【难度系数】
0.8
