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17. 小峰和小明相约周末去科技馆看展览，根据图1中的谈话内容，求小明乘公交车、小峰骑自行车每小时各行多少千米.
答案
设小峰骑自行车每小时行$x$ km，则小明乘公交车每小时行$3x$ km. 依题意得 $\frac{20}{x}= \frac{30}{3x}+\frac{30}{60}$，解得 $x=20$. 经检验，$x=20$是所列分式方程的解，且符合题意，$\therefore 3x=60$，所以小明乘公交车每小时行 60 km，小峰骑自行车每小时行 20 km
解析
【分析】
这是行程类应用题，核心公式为“时间=路程÷速度”。首先梳理已知条件：小峰家到科技馆路程20km，小明家到科技馆路程30km；公交车速度是自行车速度的3倍；小峰8:00出发，小明8:30出发，两人同时到达，说明小峰的行驶时间比小明多30分钟（即$\frac{30}{60}$小时）。我们可以设小峰骑自行车的速度为未知数，根据两人的时间差列分式方程求解，最后要记得检验分式方程的解是否符合题意。
【解析】
设小峰骑自行车每小时行$x$ km，则小明乘公交车每小时行$3x$ km。
根据小峰的行驶时间=小明的行驶时间+多用的30分钟，列方程：
$\frac{20}{x}= \frac{30}{3x}+\frac{30}{60}$
化简方程：
$\frac{20}{x}=\frac{10}{x}+\frac{1}{2}$
移项得：$\frac{20}{x}-\frac{10}{x}=\frac{1}{2}$
即$\frac{10}{x}=\frac{1}{2}$，解得 $x=20$。
经检验，$x=20$是所列分式方程的解，且符合实际行驶的意义。
则小明乘公交车的速度为$3x=3×20=60$（km/h）。
【答案】
小明乘公交车每小时行60 km，小峰骑自行车每小时行20 km。
【知识点】
分式方程的应用、行程问题计算
【点评】
本题是常见的行程类应用题，解题的关键是准确梳理两人的时间关系，注意时间单位要统一，同时求解分式方程后必须检验解是否符合实际场景。
【难度系数】
0.7
这是行程类应用题，核心公式为“时间=路程÷速度”。首先梳理已知条件：小峰家到科技馆路程20km，小明家到科技馆路程30km；公交车速度是自行车速度的3倍；小峰8:00出发，小明8:30出发，两人同时到达，说明小峰的行驶时间比小明多30分钟（即$\frac{30}{60}$小时）。我们可以设小峰骑自行车的速度为未知数，根据两人的时间差列分式方程求解，最后要记得检验分式方程的解是否符合题意。
【解析】
设小峰骑自行车每小时行$x$ km，则小明乘公交车每小时行$3x$ km。
根据小峰的行驶时间=小明的行驶时间+多用的30分钟，列方程：
$\frac{20}{x}= \frac{30}{3x}+\frac{30}{60}$
化简方程：
$\frac{20}{x}=\frac{10}{x}+\frac{1}{2}$
移项得：$\frac{20}{x}-\frac{10}{x}=\frac{1}{2}$
即$\frac{10}{x}=\frac{1}{2}$，解得 $x=20$。
经检验，$x=20$是所列分式方程的解，且符合实际行驶的意义。
则小明乘公交车的速度为$3x=3×20=60$（km/h）。
【答案】
小明乘公交车每小时行60 km，小峰骑自行车每小时行20 km。
【知识点】
分式方程的应用、行程问题计算
【点评】
本题是常见的行程类应用题，解题的关键是准确梳理两人的时间关系，注意时间单位要统一，同时求解分式方程后必须检验解是否符合实际场景。
【难度系数】
0.7
18. 按要求完成下列题目.
(1) 求 $\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}$ 的值.
对于这个问题，可能有的同学接触过，注意到上面和式的每一项可以写成 $\frac{1}{n(n+1)}$ 的形式，而 $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，这样就把 $\frac{1}{n(n+1)}$ 一项分裂成两项.
试着把上面和式的每一项都分裂成两项，注意观察其中的规律，求出上面的和，并直接写出 $\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\dots+\frac{1}{2025×2026}$ 的值.
(2) 若
，求 $A$，$B$ 的值.
(1) 求 $\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}$ 的值.
对于这个问题，可能有的同学接触过，注意到上面和式的每一项可以写成 $\frac{1}{n(n+1)}$ 的形式，而 $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，这样就把 $\frac{1}{n(n+1)}$ 一项分裂成两项.
试着把上面和式的每一项都分裂成两项，注意观察其中的规律，求出上面的和，并直接写出 $\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\dots+\frac{1}{2025×2026}$ 的值.
(2) 若
，求 $A$，$B$ 的值.答案
(1) $\frac{2025}{2026}$
(2) $A=\frac{1}{2}$，$B=-\frac{1}{2}$
(2) $A=\frac{1}{2}$，$B=-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
(1) 观察和式中每一项的结构，均符合$\frac{1}{n(n+1)}$的形式，可利用裂项公式$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$将每一项拆分为两个分数的差，相加后中间相邻项会相互抵消，仅剩下首尾两项，化简得到通式后代入$n=2025$即可算出具体值。
(2) 求$A$、$B$的值时，先将等式右侧的两个分式通分，化为和左侧分母相同的分式，根据分式相等时，分母相同则分子相等的性质，整理分子后让对应项的系数相等，列方程组即可求解$A$、$B$。
【解析】
(1) 根据裂项公式$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，将原式各项拆分：
$\begin{aligned}\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}&=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\\&=1-\frac{1}{n+1}\\&=\frac{n}{n+1}\end{aligned}$
当$n=2025$时，代入得$\frac{2025}{2025+1}=\frac{2025}{2026}$。
(2) 将等式右侧通分，公分母为$n(n+1)(n+2)$：
$\frac{A}{n(n+1)}+\frac{B}{(n+1)(n+2)}=\frac{A(n+2)+Bn}{n(n+1)(n+2)}$
已知$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{A(n+2)+Bn}{n(n+1)(n+2)}$，分母相同因此分子相等：
$1=A(n+2)+Bn$
整理右侧得：$1=(A+B)n+2A$
该等式对所有使分母不为0的$n$都成立，因此对应系数相等，可得方程组：
$\begin{cases}A+B=0\\2A=1\end{cases}$
解得$A=\frac{1}{2}$，$B=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\frac{2025}{2026}$；(2) $A=\frac{1}{2}$，$B=-\frac{1}{2}$
【知识点】
裂项相消求和，分式通分，待定系数法
【点评】
本题围绕分式的变形应用展开，第一问的裂项相消是分式求和的常用方法，掌握裂项规律后可快速简化计算；第二问利用分式恒等的性质求参数，核心是理解恒等式对应系数相等的原理，是分式章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 观察和式中每一项的结构，均符合$\frac{1}{n(n+1)}$的形式，可利用裂项公式$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$将每一项拆分为两个分数的差，相加后中间相邻项会相互抵消，仅剩下首尾两项，化简得到通式后代入$n=2025$即可算出具体值。
(2) 求$A$、$B$的值时，先将等式右侧的两个分式通分，化为和左侧分母相同的分式，根据分式相等时，分母相同则分子相等的性质，整理分子后让对应项的系数相等，列方程组即可求解$A$、$B$。
【解析】
(1) 根据裂项公式$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，将原式各项拆分：
$\begin{aligned}\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}&=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\\&=1-\frac{1}{n+1}\\&=\frac{n}{n+1}\end{aligned}$
当$n=2025$时，代入得$\frac{2025}{2025+1}=\frac{2025}{2026}$。
(2) 将等式右侧通分，公分母为$n(n+1)(n+2)$：
$\frac{A}{n(n+1)}+\frac{B}{(n+1)(n+2)}=\frac{A(n+2)+Bn}{n(n+1)(n+2)}$
已知$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{A(n+2)+Bn}{n(n+1)(n+2)}$，分母相同因此分子相等：
$1=A(n+2)+Bn$
整理右侧得：$1=(A+B)n+2A$
该等式对所有使分母不为0的$n$都成立，因此对应系数相等，可得方程组：
$\begin{cases}A+B=0\\2A=1\end{cases}$
解得$A=\frac{1}{2}$，$B=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\frac{2025}{2026}$；(2) $A=\frac{1}{2}$，$B=-\frac{1}{2}$
【知识点】
裂项相消求和，分式通分，待定系数法
【点评】
本题围绕分式的变形应用展开，第一问的裂项相消是分式求和的常用方法，掌握裂项规律后可快速简化计算；第二问利用分式恒等的性质求参数，核心是理解恒等式对应系数相等的原理，是分式章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
