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9.【例4】写出下列命题的逆命题,并判断这些逆命题是否成立.
(1)原命题:若$a = b$,则$a^2 = b^2$.
(2)原命题:全等三角形的对应边相等.
(1)原命题:若$a = b$,则$a^2 = b^2$.
(2)原命题:全等三角形的对应边相等.
答案
9. 解:(1)逆命题:若$a^2 = b^2$,则$a = b$. 逆命题不成立.
(2)逆命题:对应边相等的三角形是全等三角形. 逆命题成立.
(2)逆命题:对应边相等的三角形是全等三角形. 逆命题成立.
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确逆命题的改写规则：先找出原命题的条件（题设）和结论，再将条件和结论互换位置，就能得到原命题的逆命题；判断逆命题是否成立时，若能举出反例说明命题不成立，则该逆命题为假（不成立），若符合已学的定理、公理则为真（成立）。
对于(1)，先拆分原命题：条件是“$a = b$”，结论是“$a^2 = b^2$”，互换后得到逆命题，再举反例判断是否成立；
对于(2)，拆分原命题：条件是“两个三角形是全等三角形”，结论是“它们的对应边相等”，互换后得到逆命题，结合全等三角形的判定定理判断是否成立。
【解析】
解：(1) 原命题的条件为“$a = b$”，结论为“$a^2 = b^2$”，将条件和结论互换，得到逆命题：若$a^2 = b^2$，则$a = b$。
判断是否成立：举反例，当$a=2$，$b=-2$时，$a^2=4$，$b^2=4$，满足$a^2 = b^2$，但$2≠ -2$，因此该逆命题不成立。
(2) 原命题的条件为“两个三角形是全等三角形”，结论为“两个三角形的对应边相等”，将条件和结论互换，得到逆命题：对应边相等的三角形是全等三角形。
判断是否成立：根据全等三角形的SSS（边边边）判定定理，三边对应相等的两个三角形全等，因此该逆命题成立。
【答案】
(1)逆命题:若$a^2 = b^2$,则$a = b$. 逆命题不成立.
(2)逆命题:对应边相等的三角形是全等三角形. 逆命题成立.
【知识点】
逆命题的改写；命题真假判断；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题核心考查逆命题的改写方法和命题真假的判断技巧，解题的关键是准确拆分原命题的条件和结论，判断假命题时只需举出一个不符合命题的反例即可，判断真命题则需要结合已学的公理、定理验证。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确逆命题的改写规则：先找出原命题的条件（题设）和结论，再将条件和结论互换位置，就能得到原命题的逆命题；判断逆命题是否成立时，若能举出反例说明命题不成立，则该逆命题为假（不成立），若符合已学的定理、公理则为真（成立）。
对于(1)，先拆分原命题：条件是“$a = b$”，结论是“$a^2 = b^2$”，互换后得到逆命题，再举反例判断是否成立；
对于(2)，拆分原命题：条件是“两个三角形是全等三角形”，结论是“它们的对应边相等”，互换后得到逆命题，结合全等三角形的判定定理判断是否成立。
【解析】
解：(1) 原命题的条件为“$a = b$”，结论为“$a^2 = b^2$”，将条件和结论互换，得到逆命题：若$a^2 = b^2$，则$a = b$。
判断是否成立：举反例，当$a=2$，$b=-2$时，$a^2=4$，$b^2=4$，满足$a^2 = b^2$，但$2≠ -2$，因此该逆命题不成立。
(2) 原命题的条件为“两个三角形是全等三角形”，结论为“两个三角形的对应边相等”，将条件和结论互换，得到逆命题：对应边相等的三角形是全等三角形。
判断是否成立：根据全等三角形的SSS（边边边）判定定理，三边对应相等的两个三角形全等，因此该逆命题成立。
【答案】
(1)逆命题:若$a^2 = b^2$,则$a = b$. 逆命题不成立.
(2)逆命题:对应边相等的三角形是全等三角形. 逆命题成立.
【知识点】
逆命题的改写；命题真假判断；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题核心考查逆命题的改写方法和命题真假的判断技巧，解题的关键是准确拆分原命题的条件和结论，判断假命题时只需举出一个不符合命题的反例即可，判断真命题则需要结合已学的公理、定理验证。
【难度系数】
0.8
10. 下列命题的逆命题不成立的是 (
A.全等三角形的对应角相等
B.两直线平行,同位角相等
C.若 $ a ＞ b $, 则 $ ac^2 ＞ bc^2 $
D.在角的内部,到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
A
)A.全等三角形的对应角相等
B.两直线平行,同位角相等
C.若 $ a ＞ b $, 则 $ ac^2 ＞ bc^2 $
D.在角的内部,到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
答案
10. A
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按三步思考：第一步，回忆逆命题的定义：把原命题的条件和结论互换位置，得到的命题就是原命题的逆命题；第二步，依次写出四个选项中原命题的逆命题；第三步，结合已学的几何定理、不等式性质等，逐个判断逆命题的真假，找出逆命题不成立的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：原命题为“全等三角形的对应角相等”，逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”。我们知道，对应角相等的三角形只能证明两个三角形相似，不一定全等（比如两个边长不等的等边三角形，对应角都相等，但不全等），因此该逆命题不成立。
B选项：原命题为“两直线平行，同位角相等”，逆命题为“同位角相等，两直线平行”，这是平行线的判定定理，是真命题，逆命题成立。
C选项：原命题为“若$a＞b$，则$ac^2＞bc^2$”，逆命题为“若$ac^2＞bc^2$，则$a＞b$”。由$ac^2＞bc^2$可知$c^2＞0$（若$c^2=0$，则$ac^2=bc^2$，不满足大于的条件），根据不等式的性质，两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，可得$a＞b$，因此逆命题成立。
D选项：原命题为“在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上”，逆命题为“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，这是角平分线的性质定理，是真命题，逆命题成立。
综上，逆命题不成立的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
逆命题的定义，真假命题判断，全等三角形的判定
【点评】
本题考查逆命题的改写和真假判断，解题核心是准确将原命题的条件和结论互换得到逆命题，再结合所学的定理、性质判断真假，需要熟练掌握常见几何定理和代数性质的正反逻辑。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按三步思考：第一步，回忆逆命题的定义：把原命题的条件和结论互换位置，得到的命题就是原命题的逆命题；第二步，依次写出四个选项中原命题的逆命题；第三步，结合已学的几何定理、不等式性质等，逐个判断逆命题的真假，找出逆命题不成立的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：原命题为“全等三角形的对应角相等”，逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”。我们知道，对应角相等的三角形只能证明两个三角形相似，不一定全等（比如两个边长不等的等边三角形，对应角都相等，但不全等），因此该逆命题不成立。
B选项：原命题为“两直线平行，同位角相等”，逆命题为“同位角相等，两直线平行”，这是平行线的判定定理，是真命题，逆命题成立。
C选项：原命题为“若$a＞b$，则$ac^2＞bc^2$”，逆命题为“若$ac^2＞bc^2$，则$a＞b$”。由$ac^2＞bc^2$可知$c^2＞0$（若$c^2=0$，则$ac^2=bc^2$，不满足大于的条件），根据不等式的性质，两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，可得$a＞b$，因此逆命题成立。
D选项：原命题为“在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上”，逆命题为“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，这是角平分线的性质定理，是真命题，逆命题成立。
综上，逆命题不成立的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
逆命题的定义，真假命题判断，全等三角形的判定
【点评】
本题考查逆命题的改写和真假判断，解题核心是准确将原命题的条件和结论互换得到逆命题，再结合所学的定理、性质判断真假，需要熟练掌握常见几何定理和代数性质的正反逻辑。
【难度系数】
0.7
1. 与线段AB两个端点距离相等的点有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个
D
）A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个
答案
1. D
解析
【分析】
解题时先回忆线段垂直平分线的相关性质：到线段两个端点距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上。接下来思考线段AB的垂直平分线是一条直线，直线上有无数个点，因此满足条件的点数量为无数个，要注意避免只想到线段AB的中点，忽略垂直平分线上其余所有符合要求的点。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
因此所有到A、B两点距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上，而线段AB的垂直平分线是一条直线，直线包含无数个点，所以与线段AB两个端点距离相等的点有无数个，故选D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的判定；两点间距离
【点评】
本题易错点是仅考虑到线段中点就误选A选项，解题时要结合线段垂直平分线的性质全面分析，明确垂直平分线上的所有点都满足到线段两端距离相等的条件，避免思维局限。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆线段垂直平分线的相关性质：到线段两个端点距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上。接下来思考线段AB的垂直平分线是一条直线，直线上有无数个点，因此满足条件的点数量为无数个，要注意避免只想到线段AB的中点，忽略垂直平分线上其余所有符合要求的点。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
因此所有到A、B两点距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上，而线段AB的垂直平分线是一条直线，直线包含无数个点，所以与线段AB两个端点距离相等的点有无数个，故选D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的判定；两点间距离
【点评】
本题易错点是仅考虑到线段中点就误选A选项，解题时要结合线段垂直平分线的性质全面分析，明确垂直平分线上的所有点都满足到线段两端距离相等的条件，避免思维局限。
【难度系数】
0.7
2. 如图,线段AB的垂直平分线CD与AB相交于点D,已知AC=3,则BC的长为
3
.答案
2. 3
解析
【分析】
解题时先观察题干条件和图形，已知CD是线段AB的垂直平分线，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。点C在垂直平分线CD上，因此C到A、B两点的距离相等，即AC=BC，代入已知AC的长度即可求出BC的长。
【解析】
∵CD是线段AB的垂直平分线，点C在CD上，
∴根据线段垂直平分线的性质，可得BC=AC，
又
∵AC=3，
∴BC=3。
【答案】
3
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，直接考查线段垂直平分线性质的运用，熟练掌握相关性质即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
解题时先观察题干条件和图形，已知CD是线段AB的垂直平分线，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。点C在垂直平分线CD上，因此C到A、B两点的距离相等，即AC=BC，代入已知AC的长度即可求出BC的长。
【解析】
∵CD是线段AB的垂直平分线，点C在CD上，
∴根据线段垂直平分线的性质，可得BC=AC，
又
∵AC=3，
∴BC=3。
【答案】
3
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，直接考查线段垂直平分线性质的运用，熟练掌握相关性质即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
3. 如图，$AC=AD$，$BC=BD$，$AB$与$CD$交于点$O$，则下列结论正确的是
①$△ ACO ≌ △ ADO$；②$OC = OD$；③$AB$平分$∠ CAD$；④$∠ CAD = ∠ CBD$；⑤$∠ BAD = ∠ BAC$.
①②③⑤
（填序号）.①$△ ACO ≌ △ ADO$；②$OC = OD$；③$AB$平分$∠ CAD$；④$∠ CAD = ∠ CBD$；⑤$∠ BAD = ∠ BAC$.
答案
3. ①②③⑤
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，有两组边相等AC=AD、BC=BD，且AB是△ACB和△ADB的公共边，可先通过SSS判定这两个三角形全等，得到对应角相等的结论，再利用得到的角相等的条件，结合公共边AO，判定△ACO和△ADO是否全等，进而逐一验证5个结论是否成立。
【解析】
1. 证明△ABC≌△ABD：
已知AC=AD，BC=BD，又AB为两个三角形的公共边，即AB=AB，根据SSS全等判定定理，可得△ABC≌△ABD。
由全等三角形对应角相等，得∠BAC=∠BAD，故结论⑤正确；同时可得AB平分∠CAD，结论③正确。
2. 证明△ACO≌△ADO：
已知AC=AD，∠CAO=∠DAO（已证），AO为公共边即AO=AO，根据SAS全等判定定理，可得△ACO≌△ADO，故结论①正确。
由全等三角形对应边相等，得OC=OD，故结论②正确。
3. 分析结论④：题干所给条件无法推出∠CAD和∠CBD相等，故④错误。
综上，正确的结论为①②③⑤。
【答案】
①②③⑤
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形全等的基础应用类题目，需要学生熟练掌握全等三角形的判定定理，学会由已知条件入手逐步推导对应边、对应角的关系，逐一验证结论即可解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件，有两组边相等AC=AD、BC=BD，且AB是△ACB和△ADB的公共边，可先通过SSS判定这两个三角形全等，得到对应角相等的结论，再利用得到的角相等的条件，结合公共边AO，判定△ACO和△ADO是否全等，进而逐一验证5个结论是否成立。
【解析】
1. 证明△ABC≌△ABD：
已知AC=AD，BC=BD，又AB为两个三角形的公共边，即AB=AB，根据SSS全等判定定理，可得△ABC≌△ABD。
由全等三角形对应角相等，得∠BAC=∠BAD，故结论⑤正确；同时可得AB平分∠CAD，结论③正确。
2. 证明△ACO≌△ADO：
已知AC=AD，∠CAO=∠DAO（已证），AO为公共边即AO=AO，根据SAS全等判定定理，可得△ACO≌△ADO，故结论①正确。
由全等三角形对应边相等，得OC=OD，故结论②正确。
3. 分析结论④：题干所给条件无法推出∠CAD和∠CBD相等，故④错误。
综上，正确的结论为①②③⑤。
【答案】
①②③⑤
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形全等的基础应用类题目，需要学生熟练掌握全等三角形的判定定理，学会由已知条件入手逐步推导对应边、对应角的关系，逐一验证结论即可解题。
【难度系数】
0.7
4. 命题“全等三角形的面积相等”，请写出它的逆命题
面积相等的三角形是全等三角形
，这个逆命题不成立
（填“成立”或“不成立”）。答案
4. 面积相等的三角形是全等三角形 不成立
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确逆命题的改写规则：把原命题的题设和结论互换位置即可得到逆命题。第一步先拆分原命题“全等三角形的面积相等”的题设和结论：题设是“两个三角形是全等三角形”，结论是“这两个三角形的面积相等”；第二步将题设和结论互换得到逆命题；第三步判断逆命题是否成立，可通过举反例的方法验证：只要找到两个面积相等但形状不同、不全等的三角形，就能说明逆命题不成立。
【解析】
首先改写原命题为“如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的面积相等”，其中题设为“两个三角形全等”，结论为“两个三角形面积相等”。
将题设和结论互换，得到逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是全等三角形，简写为“面积相等的三角形是全等三角形”。
接下来判断逆命题是否成立：全等三角形要求对应边、对应角都完全相等，而面积相等的三角形形状不一定相同，例如底为4、高为3的三角形和底为6、高为2的三角形，面积均为6，但两个三角形的边长、角度都不相同，不是全等三角形，因此这个逆命题不成立。
【答案】
面积相等的三角形是全等三角形；不成立
【知识点】
1. 逆命题的定义
2. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查逆命题的改写方法以及命题真假的判断，解题的核心是准确拆分原命题的题设和结论，判断假命题时可通过举反例的方式快速验证，属于基础类题目。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确逆命题的改写规则：把原命题的题设和结论互换位置即可得到逆命题。第一步先拆分原命题“全等三角形的面积相等”的题设和结论：题设是“两个三角形是全等三角形”，结论是“这两个三角形的面积相等”；第二步将题设和结论互换得到逆命题；第三步判断逆命题是否成立，可通过举反例的方法验证：只要找到两个面积相等但形状不同、不全等的三角形，就能说明逆命题不成立。
【解析】
首先改写原命题为“如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的面积相等”，其中题设为“两个三角形全等”，结论为“两个三角形面积相等”。
将题设和结论互换，得到逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是全等三角形，简写为“面积相等的三角形是全等三角形”。
接下来判断逆命题是否成立：全等三角形要求对应边、对应角都完全相等，而面积相等的三角形形状不一定相同，例如底为4、高为3的三角形和底为6、高为2的三角形，面积均为6，但两个三角形的边长、角度都不相同，不是全等三角形，因此这个逆命题不成立。
【答案】
面积相等的三角形是全等三角形；不成立
【知识点】
1. 逆命题的定义
2. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查逆命题的改写方法以及命题真假的判断，解题的核心是准确拆分原命题的题设和结论，判断假命题时可通过举反例的方式快速验证，属于基础类题目。
【难度系数】
0.9
5. 如图，在$△ ABC$中，$DE$是$AB$的垂直平分线，分别交$AB$，$BC$于点$E$，$D$.
(1)若$△ ADC$的周长为$10$，则$AC + BC =$
(2)若$∠ C=90°$，$∠ B=36°$，则$∠ DAC$的度数为
(1)若$△ ADC$的周长为$10$，则$AC + BC =$
10
；(2)若$∠ C=90°$，$∠ B=36°$，则$∠ DAC$的度数为
18°
.答案
5. (1) 10 (2) 18°
解析
【分析】
（1）首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得AD=BD。观察△ADC的周长组成是AC+CD+AD，将AD替换为BD后，CD+BD刚好是BC，由此可直接得到AC+BC的长度等于△ADC的周长。
（2）同样先由垂直平分线性质得AD=BD，根据等腰三角形等边对等角可得∠BAD=∠B；再在Rt△ABC中利用直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数，最后用∠BAC减去∠BAD即可得到∠DAC的度数。
【解析】
（1）
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+CD+AD=10，
将AD替换为BD得：$AC+CD+BD=AC+BC=10$。
（2）
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B=36°，
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠BAC=90°-∠B=90°-36°=54°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=54°-36°=18°。
【答案】
（1）$\boxed{10}$；（2）$\boxed{18°}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题重点考查线段垂直平分线性质的应用，解题的核心是利用垂直平分线的性质实现线段等量替换、角的等量转化，是几何部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
（1）首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得AD=BD。观察△ADC的周长组成是AC+CD+AD，将AD替换为BD后，CD+BD刚好是BC，由此可直接得到AC+BC的长度等于△ADC的周长。
（2）同样先由垂直平分线性质得AD=BD，根据等腰三角形等边对等角可得∠BAD=∠B；再在Rt△ABC中利用直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数，最后用∠BAC减去∠BAD即可得到∠DAC的度数。
【解析】
（1）
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+CD+AD=10，
将AD替换为BD得：$AC+CD+BD=AC+BC=10$。
（2）
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B=36°，
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠BAC=90°-∠B=90°-36°=54°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=54°-36°=18°。
【答案】
（1）$\boxed{10}$；（2）$\boxed{18°}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题重点考查线段垂直平分线性质的应用，解题的核心是利用垂直平分线的性质实现线段等量替换、角的等量转化，是几何部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
6. 如图, 在$△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°$, $BE$ 平分$∠ ABC$,交$AC$于点$E$,$DE$垂直平分$AB$,交$AB$于点$D$. 求证:$BE + DE = AC$. 
答案
6. 证明:
∵ ∠ACB = 90°,
∴ AC ⊥ BC.
又
∵ DE ⊥ AB,BE 平分∠ABC,
∴ CE = DE.
∵ DE 垂直平分 AB,
∴ AE = BE.
∵ AC = AE + CE,
∴ BE + DE = AC.
∵ ∠ACB = 90°,
∴ AC ⊥ BC.
又
∵ DE ⊥ AB,BE 平分∠ABC,
∴ CE = DE.
∵ DE 垂直平分 AB,
∴ AE = BE.
∵ AC = AE + CE,
∴ BE + DE = AC.
解析
【分析】
要证明$BE + DE = AC$，首先观察到线段$AC$可拆分为$AE+CE$，因此只需证明$BE=AE$、$DE=CE$，再通过等量代换即可得证。推导时可结合已知条件对应相关性质：首先根据角平分线的性质，可推出角平分线上的点$E$到角两边的距离$CE$和$DE$相等；再根据线段垂直平分线的性质，可推出垂直平分线上的点$E$到线段$AB$两端的距离$AE$和$BE$相等，最后结合线段和的关系代换即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because ∠ ACB = 90°$，
$\therefore AC ⊥ BC$。
$\because DE ⊥ AB$，$BE$平分$∠ ABC$，
$\therefore CE = DE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\because DE$垂直平分$AB$，
$\therefore AE = BE$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
又$\because AC = AE + CE$，
将$AE=BE$、$CE=DE$代入上式，可得$BE + DE = AC$。
【答案】
证明:
∵ ∠ACB = 90°,
∴ AC ⊥ BC.
又
∵ DE ⊥ AB,BE 平分∠ABC,
∴ CE = DE.
∵ DE 垂直平分 AB,
∴ AE = BE.
∵ AC = AE + CE,
∴ BE + DE = AC.
【知识点】
角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、等量代换
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的性质，通过线段的等量代换即可快速得证，考查学生对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
要证明$BE + DE = AC$，首先观察到线段$AC$可拆分为$AE+CE$，因此只需证明$BE=AE$、$DE=CE$，再通过等量代换即可得证。推导时可结合已知条件对应相关性质：首先根据角平分线的性质，可推出角平分线上的点$E$到角两边的距离$CE$和$DE$相等；再根据线段垂直平分线的性质，可推出垂直平分线上的点$E$到线段$AB$两端的距离$AE$和$BE$相等，最后结合线段和的关系代换即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because ∠ ACB = 90°$，
$\therefore AC ⊥ BC$。
$\because DE ⊥ AB$，$BE$平分$∠ ABC$，
$\therefore CE = DE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\because DE$垂直平分$AB$，
$\therefore AE = BE$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
又$\because AC = AE + CE$，
将$AE=BE$、$CE=DE$代入上式，可得$BE + DE = AC$。
【答案】
证明:
∵ ∠ACB = 90°,
∴ AC ⊥ BC.
又
∵ DE ⊥ AB,BE 平分∠ABC,
∴ CE = DE.
∵ DE 垂直平分 AB,
∴ AE = BE.
∵ AC = AE + CE,
∴ BE + DE = AC.
【知识点】
角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、等量代换
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的性质，通过线段的等量代换即可快速得证，考查学生对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
7. (人教八上 $P_{71}$ 习题 $T_{13}$ 改编)如图,在 $△ ABC$ 中,边 $AB,AC$ 的垂直平分线交于点 $P$.
(1)求证:$PA = PB = PC$;
(2)求证:点 $P$ 在 $BC$ 的垂直平分线上.
(1)求证:$PA = PB = PC$;
(2)求证:点 $P$ 在 $BC$ 的垂直平分线上.
答案
7. 证明:(1)
∵ PD 垂直平分 AB,PE 垂直平分 AC,
∴ PA = PB,PA = PC.
∴ PA = PB = PC.
(2)
∵ PB = PC,
∴ 点 P 在 BC 的垂直平分线上.
∵ PD 垂直平分 AB,PE 垂直平分 AC,
∴ PA = PB,PA = PC.
∴ PA = PB = PC.
(2)
∵ PB = PC,
∴ 点 P 在 BC 的垂直平分线上.
解析
【分析】
（1）要证明PA=PB=PC，可利用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。已知点P在AB的垂直平分线上，可得PA=PB；点P同时在AC的垂直平分线上，可得PA=PC，通过等量代换即可得到三者相等的结论。
（2）要证明点P在BC的垂直平分线上，需利用线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。结合第一问得到的PB=PC，即可直接推出结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ PD垂直平分AB，PE垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质，
∴ PA = PB，PA = PC，
∴ PA = PB = PC。
(2) 证明：
由(1)可得PB = PC，根据线段垂直平分线的判定，
∴ 点P在BC的垂直平分线上。
【答案】
(1) 证明：
∵ PD 垂直平分 AB,PE 垂直平分 AC,
∴ PA = PB,PA = PC.
∴ PA = PB = PC.
(2) 证明：
∵ PB = PC,
∴ 点 P 在 BC 的垂直平分线上.
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查线段垂直平分线的性质与判定的应用，解题时要注意区分二者的使用场景：已知点在垂直平分线上推导线段相等用性质，已知线段相等推导点在垂直平分线上用判定，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
（1）要证明PA=PB=PC，可利用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。已知点P在AB的垂直平分线上，可得PA=PB；点P同时在AC的垂直平分线上，可得PA=PC，通过等量代换即可得到三者相等的结论。
（2）要证明点P在BC的垂直平分线上，需利用线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。结合第一问得到的PB=PC，即可直接推出结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ PD垂直平分AB，PE垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质，
∴ PA = PB，PA = PC，
∴ PA = PB = PC。
(2) 证明：
由(1)可得PB = PC，根据线段垂直平分线的判定，
∴ 点P在BC的垂直平分线上。
【答案】
(1) 证明：
∵ PD 垂直平分 AB,PE 垂直平分 AC,
∴ PA = PB,PA = PC.
∴ PA = PB = PC.
(2) 证明：
∵ PB = PC,
∴ 点 P 在 BC 的垂直平分线上.
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查线段垂直平分线的性质与判定的应用，解题时要注意区分二者的使用场景：已知点在垂直平分线上推导线段相等用性质，已知线段相等推导点在垂直平分线上用判定，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
