1. 线段的垂直平分线
（1）定义:经过线段并且于这条线段的直线,叫作这条线段的垂直平分线.
（2）性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离.
几何语言:如图,∵ CD 垂直平分 AB,∴ .

1. (1) 中点 垂直 (2) 相等 CA = CB

【分析】
本题考查线段垂直平分线的基础定义与性质，解题思路如下：
（1）针对定义类填空，结合“垂直平分线”的名称拆解要素：“平分”对应经过线段的中点，“垂直”对应与这条线段互相垂直，结合两个要素即可确定答案；
（2）针对性质类填空，先回忆线段垂直平分线的性质内容，再结合图形，点C在AB的垂直平分线CD上，因此点C到A、B两个端点的距离相等，即可写出对应的几何语言。
【解析】
（1）根据线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线，因此两个空依次填中点、垂直。
（2）根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
结合图形，CD垂直平分AB，点C在CD上，因此可推出CA=CB。
【答案】
(1) 中点 垂直 (2) 相等 CA = CB
【知识点】
线段垂直平分线的定义；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对基础知识点的识记和简单应用，熟练掌握线段垂直平分线的相关概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9

2.【例1】如图，CD是AB的垂直平分线，垂足为D.
(1) $AD =$ ，
$∠ ADC =$ $°$，
$AC =$ ；
(2)若$AD = 4$，$AC = 5$，则$BC =$ ，
$AB =$ .

3. 如图，已知AC垂直平分BD，交BD于点E，下列结论正确的是 .（填序号）
①$△ ABE ≌ △ ADE$；
②$AB = AD$；
③$CA$平分$∠ BCD$；
④$∠ ABC = ∠ ADC$；
⑤$∠ BAD = ∠ BCD$.

2. (1) BD 90 BC (2) 5 8 3. ①②③④

【分析】
本题组主要考查线段垂直平分线的定义及性质的应用，结合全等三角形的判定可推导边角关系。第2题解题思路：首先回忆线段垂直平分线的定义：垂直且平分一条线段的直线，可得被平分的线段两段相等，夹角为直角；再根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，即可填出对应空。第3题解题思路：先根据AC垂直平分BD得到相等的边和直角，再通过全等三角形的判定证明对应三角形全等，进而逐一验证5个结论是否成立即可。
【解析】
2. 解：
(1)
∵CD是AB的垂直平分线，垂足为D
根据线段垂直平分线的定义，可得CD平分AB且CD⊥AB，
∴AD=BD，∠ADC=90°；
又
∵点C在AB的垂直平分线CD上，根据线段垂直平分线的性质，可得AC=BC。
(2) 由(1)的结论可知：BC=AC=5，AB=2AD=2×4=8。
3. 解：
已知AC垂直平分BD，根据线段垂直平分线的性质可得：BE=DE，AB=AD，BC=DC，AC⊥BD，故结论②正确；
在△ABE和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD\\ BE=DE\\ AE=AE\end{array} $
∴△ABE≌△ADE（SSS），故结论①正确；
在△ABC和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD\\ BC=DC\\ AC=AC\end{array} $
∴△ABC≌△ADC（SSS）
∴∠ACB=∠ACD，即CA平分∠BCD；∠ABC=∠ADC，故结论③④正确；
现有条件无法推出∠BAD=∠BCD，故结论⑤错误。
综上正确的结论为①②③④。
【答案】
2. (1) BD；90；BC (2) 5；8 3. ①②③④
【知识点】
线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是轴对称部分的基础典型题，侧重考查对线段垂直平分线相关性质的掌握，解题时结合图形梳理边、角的等量关系，结合全等三角形的判定即可快速推导结论，注意要逐一验证所有结论，避免错判漏判。
【难度系数】
0.8

4.【例2】如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD.若AC=8，CD=5，则BD=.
5.如图，在△ABC中，AC=6 cm，线段AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，△BCN的周长是11 cm，则BC的长为.

4. 3 5. 5 cm

【分析】
这两道题均考查线段垂直平分线的性质应用，解题思路如下：
第4题：首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。题中D在AB的垂直平分线上，因此可得BD=AD，要求BD的长只需要求出AD的长度即可，AD的长度可通过AC与CD的长度差计算得到。
第5题：同样先运用垂直平分线的性质，N在AB的垂直平分线上，因此AN=BN。观察△BCN的周长组成：BN+CN+BC，将BN替换为等量的AN后，周长可转化为AN+CN+BC=AC+BC，已知AC长度和△BCN的周长，直接作差即可求出BC的长度。
【解析】
4. 解：
∵点D在AB的垂直平分线上


∴BD = AD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
又
∵AC = 8，CD = 5


∴AD = AC - CD = 8 - 5 = 3


∴BD = 3
5. 解：
∵MN是AB的垂直平分线，点N在MN上


∴AN = BN（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）


∵△BCN的周长为11 cm


∴BN + CN + BC = 11 cm
将BN=AN代入得：AN + CN + BC = 11 cm
又
∵AN + CN = AC = 6 cm


∴BC = 11 - 6 = 5 cm
【答案】
4. 3
5. 5 cm
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 线段和差计算
【点评】
两道题都是线段垂直平分线性质的基础应用，解题关键是利用性质完成线段的等量代换，将未知线段和已知条件建立关联，解题过程简单直接，熟练掌握性质即可快速得分。
【难度系数】
0.8

6. 线段的垂直平分线的判定:与线段两个端点距离的点在这条线段的垂直平分线上.
几何语言:如图,∵,∴点P在线段AB的垂直平分线上.

6. 相等 PA = PB

【分析】
这道题考查线段垂直平分线的判定定理相关内容，解题时先回忆该判定定理的文字表述，确定第一空的内容；再结合给出的几何图形，明确判定的条件对应的几何等式，填写第二空的几何语言条件。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此第一空填“相等”。
结合题图，点P到线段AB两个端点A、B的距离相等即PA=PB，这是点P在AB垂直平分线上的前提条件，因此几何语言的条件部分填“PA=PB”。
【答案】
相等；PA = PB
【知识点】
线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对线段垂直平分线判定定理的识记与几何表达的掌握，牢记定理内容即可顺利解答。
【难度系数】
0.9

7.【例3】如图，$AB = AC$，$MB = MC$. 求证:直线AM是线段BC的垂直平分线.

7. 证明:
∵ AB = AC,
∴ 点A在BC的垂直平分线上.
∵ MB = MC,
∴ 点M在BC的垂直平分线上.
∴ 直线AM是线段BC的垂直平分线.

【分析】
要证明直线AM是线段BC的垂直平分线，可结合线段垂直平分线的判定定理思考：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。首先由已知AB=AC，可得点A到B、C的距离相等，因此点A在BC的垂直平分线上；再由MB=MC，可得点M到B、C的距离相等，因此点M也在BC的垂直平分线上。最后根据两点确定一条直线，过A、M两点的直线就是BC的垂直平分线。
【解析】
证明：
∵ AB = AC，
∴ 点A在BC的垂直平分线上。
∵ MB = MC，
∴ 点M在BC的垂直平分线上。
又
∵两点确定一条直线，
∴ 直线AM是线段BC的垂直平分线。
【答案】
证明:
∵ AB = AC,
∴ 点A在BC的垂直平分线上.
∵ MB = MC,
∴ 点M在BC的垂直平分线上.
∴ 直线AM是线段BC的垂直平分线.
【知识点】
线段垂直平分线的判定、两点确定一条直线
【点评】
本题是基础类几何证明题，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的判定定理，通过验证两个点均在目标线段的垂直平分线上，结合直线的基本性质即可完成证明，逻辑推导难度较低。
【难度系数】
0.8

8. 如图，AD交BC于点E，AB = AC，BE = CE. 求证：BD = CD.

8. 证明:
∵ AB = AC,
∴ 点A在BC的垂直平分线上.
∵ BE = CE,
∴ 点E在BC的垂直平分线上.
∴ AE是线段BC的垂直平分线.
又点D在AE上,
∴ BD = CD.

【分析】
要证明BD=CD，我们可以从线段垂直平分线的性质切入思考：如果能证明点D在BC的垂直平分线上，就能直接得到BD=CD。首先结合已知条件AB=AC，可判断点A在BC的垂直平分线上；再由BE=CE，可判断点E也在BC的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，可知AE就是BC的垂直平分线，而点D在AE上，即可顺利推导得证。
【解析】
证明:
∵ AB = AC,
∴ 点A在BC的垂直平分线上.
∵ BE = CE,
∴ 点E在BC的垂直平分线上.
∴ AE是线段BC的垂直平分线.
又点D在AE上,
∴ BD = CD.
【答案】
证明:
∵ AB = AC,
∴ 点A在BC的垂直平分线上.
∵ BE = CE,
∴ 点E在BC的垂直平分线上.
∴ AE是线段BC的垂直平分线.
又点D在AE上,
∴ BD = CD.
【知识点】
线段垂直平分线的判定；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础类几何证明题，解题关键是灵活运用垂直平分线的判定定理确定线段的垂直平分线，再结合性质得到相等线段，掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8