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1. 下列各式从左边到右边，是因式分解的是（
A.$(y-1)(y+1)=y^2 -1$
B.$x^2y + xy^2 -1 = xy(x+y)-1$
C.$(x-2)(x-3)=(3-x)(2-x)$
D.$x^2 -4x +4=(x-2)^2$
D
）A.$(y-1)(y+1)=y^2 -1$
B.$x^2y + xy^2 -1 = xy(x+y)-1$
C.$(x-2)(x-3)=(3-x)(2-x)$
D.$x^2 -4x +4=(x-2)^2$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断一个变形是不是因式分解，首先要明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。判定时需同时满足三个要点：①变形的对象是多项式；②变形的结果是几个整式的乘积；③变形前后等式恒成立。我们只需逐个对照选项是否符合以上要点即可选出正确答案。
【解析】
我们根据因式分解的定义逐一判断选项：
选项A：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆运算，不符合因式分解的定义，故A错误；
选项B：右边是$xy(x+y)-1$，最终形式是“乘积减常数”，不是几个整式的乘积形式，不符合因式分解的定义，故B错误；
选项C：左右两边都是两个整式的乘积，只是对左边的两个因式分别提取了-1做恒等变形，没有将多项式转化为整式乘积的过程，不符合因式分解的定义，故C错误；
选项D：左边是多项式$x^2-4x+4$，右边是$(x-2)(x-2)$，也就是两个整式的乘积，且等式恒成立，完全符合因式分解的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题考查因式分解的基础判定，属于概念类基础题，解题的关键是准确把握因式分解的核心特征，注意区分因式分解和整式乘法，避免混淆变形方向。
【难度系数】
0.8
要判断一个变形是不是因式分解，首先要明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。判定时需同时满足三个要点：①变形的对象是多项式；②变形的结果是几个整式的乘积；③变形前后等式恒成立。我们只需逐个对照选项是否符合以上要点即可选出正确答案。
【解析】
我们根据因式分解的定义逐一判断选项：
选项A：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆运算，不符合因式分解的定义，故A错误；
选项B：右边是$xy(x+y)-1$，最终形式是“乘积减常数”，不是几个整式的乘积形式，不符合因式分解的定义，故B错误；
选项C：左右两边都是两个整式的乘积，只是对左边的两个因式分别提取了-1做恒等变形，没有将多项式转化为整式乘积的过程，不符合因式分解的定义，故C错误；
选项D：左边是多项式$x^2-4x+4$，右边是$(x-2)(x-2)$，也就是两个整式的乘积，且等式恒成立，完全符合因式分解的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题考查因式分解的基础判定，属于概念类基础题，解题的关键是准确把握因式分解的核心特征，注意区分因式分解和整式乘法，避免混淆变形方向。
【难度系数】
0.8
2.若$x^2 + kx + 16 = (x - 4)^2$，那么 （
A.$k=-8$，从左到右是乘法运算
B.$k=8$，从左到右是乘法运算
C.$k=-8$，从左到右是因式分解
D.$k=8$，从左到右是因式分解
C
）A.$k=-8$，从左到右是乘法运算
B.$k=8$，从左到右是乘法运算
C.$k=-8$，从左到右是因式分解
D.$k=8$，从左到右是因式分解
答案
2. C
解析
【分析】
解题时可以分两步思考：第一步先利用完全平方公式将等式右边的$(x-4)^2$展开，再和左边的多项式$x^2+kx+16$对比一次项的系数，就能求出k的值；第二步回忆因式分解和整式乘法的区别：因式分解是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，整式乘法是把几个整式乘积的形式化成多项式，根据等式左右两边的形式判断运算类型即可。
【解析】
首先展开等式右侧的完全平方式：
$(x-4)^2 = x^2 - 2× x×4 + 4^2 = x^2 -8x +16$
已知$x^2 +kx +16 = (x-4)^2$，所以$x^2 +kx +16 = x^2 -8x +16$，对比等式两边一次项系数可得$k=-8$。
再判断运算类型：等式左边是多项式$x^2-8x+16$，右边是整式乘积的形式$(x-4)^2$，符合“把多项式化成几个整式乘积的形式”的特征，因此从左到右是因式分解。
综上，$k=-8$，从左到右是因式分解，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，因式分解的定义
【点评】
本题是基础概念题，既考查了完全平方公式的展开计算，也考查了因式分解和整式乘法的区分，牢记相关公式和概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时可以分两步思考：第一步先利用完全平方公式将等式右边的$(x-4)^2$展开，再和左边的多项式$x^2+kx+16$对比一次项的系数，就能求出k的值；第二步回忆因式分解和整式乘法的区别：因式分解是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，整式乘法是把几个整式乘积的形式化成多项式，根据等式左右两边的形式判断运算类型即可。
【解析】
首先展开等式右侧的完全平方式：
$(x-4)^2 = x^2 - 2× x×4 + 4^2 = x^2 -8x +16$
已知$x^2 +kx +16 = (x-4)^2$，所以$x^2 +kx +16 = x^2 -8x +16$，对比等式两边一次项系数可得$k=-8$。
再判断运算类型：等式左边是多项式$x^2-8x+16$，右边是整式乘积的形式$(x-4)^2$，符合“把多项式化成几个整式乘积的形式”的特征，因此从左到右是因式分解。
综上，$k=-8$，从左到右是因式分解，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，因式分解的定义
【点评】
本题是基础概念题，既考查了完全平方公式的展开计算，也考查了因式分解和整式乘法的区分，牢记相关公式和概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 已知$x^2 + ax - 2 = (x - 2) · (x + b)$，那么$a + b$的值为
0
。答案
3. 0
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用多项式恒等的性质：两个相等的多项式，它们对应次数的项的系数完全相同。解题思路如下：第一步先将等式右边的多项式乘积展开并合并同类项，整理成和左边形式一致的二次三项式；第二步根据对应项系数相等列出关于a、b的方程，求解得到a、b的值；最后代入计算a+b的结果即可。
【解析】
首先展开等式右边的式子：
$\begin{aligned}(x-2)(x+b)&=x· x + x· b - 2· x -2· b\\&=x^2 + bx -2x -2b\\&=x^2 + (b-2)x -2b\end{aligned}$
已知$x^2 + ax - 2 = x^2 + (b-2)x -2b$，根据多项式相等对应项系数相等，可得：
1. 常数项对应相等：$-2 = -2b$，解得$b=1$
2. 一次项系数对应相等：$a = b-2$，把$b=1$代入得$a=1-2=-1$
所以$a+b = -1 + 1 = 0$
【答案】
0
【知识点】
多项式乘法运算、多项式相等的性质、代数式求值
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查多项式乘法法则的应用和多项式恒等的性质，只要熟练掌握整式乘法的运算规则，就能快速找到等量关系求解参数，这种对应系数相等的方法在整式化简、因式分解相关题型中应用十分广泛。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以利用多项式恒等的性质：两个相等的多项式，它们对应次数的项的系数完全相同。解题思路如下：第一步先将等式右边的多项式乘积展开并合并同类项，整理成和左边形式一致的二次三项式；第二步根据对应项系数相等列出关于a、b的方程，求解得到a、b的值；最后代入计算a+b的结果即可。
【解析】
首先展开等式右边的式子：
$\begin{aligned}(x-2)(x+b)&=x· x + x· b - 2· x -2· b\\&=x^2 + bx -2x -2b\\&=x^2 + (b-2)x -2b\end{aligned}$
已知$x^2 + ax - 2 = x^2 + (b-2)x -2b$，根据多项式相等对应项系数相等，可得：
1. 常数项对应相等：$-2 = -2b$，解得$b=1$
2. 一次项系数对应相等：$a = b-2$，把$b=1$代入得$a=1-2=-1$
所以$a+b = -1 + 1 = 0$
【答案】
0
【知识点】
多项式乘法运算、多项式相等的性质、代数式求值
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查多项式乘法法则的应用和多项式恒等的性质，只要熟练掌握整式乘法的运算规则，就能快速找到等量关系求解参数，这种对应系数相等的方法在整式化简、因式分解相关题型中应用十分广泛。
【难度系数】
0.8
4. (南宁模拟)将多项式$3a+6a^2b$进行因式分解，得到的结果为（
A.$3a(1+2ab)$
B.$3a(1+ab)$
C.$3a(1-ab)$
D.$3a(1-2ab)$
A
）A.$3a(1+2ab)$
B.$3a(1+ab)$
C.$3a(1-ab)$
D.$3a(1-2ab)$
答案
4. A
解析
【分析】
这道题考查用提公因式法进行因式分解，解题思路分为两步：第一步先确定多项式各项的公因式，公因式的确定方法是：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，三者的乘积就是公因式；第二步将公因式提取出来，用原多项式的每一项除以公因式，将得到的结果作为另一个因式，组合即可得到分解结果。
【解析】
首先确定多项式$3a+6a^2b$的公因式：
1. 系数部分：3和6的最大公约数是3；
2. 字母部分：两项都含有的字母是$a$，$a$的最低次幂是1次；
因此公因式为$3a$。
接下来提取公因式：
$3a+6a^2b = 3a × 1 + 3a × 2ab = 3a(1+2ab)$
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是准确找到公因式，提取公因式后要注意检验剩余因式是否正确，避免出现漏项的错误。
【难度系数】
0.9
这道题考查用提公因式法进行因式分解，解题思路分为两步：第一步先确定多项式各项的公因式，公因式的确定方法是：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，三者的乘积就是公因式；第二步将公因式提取出来，用原多项式的每一项除以公因式，将得到的结果作为另一个因式，组合即可得到分解结果。
【解析】
首先确定多项式$3a+6a^2b$的公因式：
1. 系数部分：3和6的最大公约数是3；
2. 字母部分：两项都含有的字母是$a$，$a$的最低次幂是1次；
因此公因式为$3a$。
接下来提取公因式：
$3a+6a^2b = 3a × 1 + 3a × 2ab = 3a(1+2ab)$
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是准确找到公因式，提取公因式后要注意检验剩余因式是否正确，避免出现漏项的错误。
【难度系数】
0.9
5. 运用提公因式法分解因式，下列因式分解正确的是 （
A.$2n^2 - mn + n = 2n(n - m)$
B.$2n^2 - mn + n = n(2 - m + 1)$
C.$2n^2 - mn + n = n(2n - m)$
D.$2n^2 - mn + n = n(2n - m + 1)$
D
）A.$2n^2 - mn + n = 2n(n - m)$
B.$2n^2 - mn + n = n(2 - m + 1)$
C.$2n^2 - mn + n = n(2n - m)$
D.$2n^2 - mn + n = n(2n - m + 1)$
答案
5. D
解析
【分析】
解决本题首先要明确提公因式法分解因式的步骤：第一步先确定多项式各项的公因式，第二步将每一项都除以公因式，把得到的商作为括号内的项，注意不要漏写原式中与公因式相同的项的商1，最后可以通过整式乘法展开结果和原式对比验证是否正确。我们先找多项式$2n^2 - mn + n$的公因式，各项都含有的公共因式是n，再逐项计算除以n后的结果，逐一比对选项即可。
【解析】
首先确定多项式$2n^2 - mn + n$的公因式为$n$：
1. 对各项分别除以公因式$n$：
$2n^2 ÷ n = 2n$，$-mn ÷ n = -m$，$n ÷ n = 1$
2. 提取公因式后可得：$2n^2 - mn + n = n(2n - m + 1)$
3. 逐一排查选项：
A选项展开后为$2n^2 - 2mn$，与原式不符，错误；
B选项括号内第一项应为$2n$，错误；
C选项漏写了$+1$，展开后缺少$n$项，错误；
D选项符合分解结果，正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定；因式分解的验证
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，易错点是提取公因式后漏写系数为1的项，解题时可通过将结果展开还原为整式的方法验证分解是否正确，能有效降低错误率。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确提公因式法分解因式的步骤：第一步先确定多项式各项的公因式，第二步将每一项都除以公因式，把得到的商作为括号内的项，注意不要漏写原式中与公因式相同的项的商1，最后可以通过整式乘法展开结果和原式对比验证是否正确。我们先找多项式$2n^2 - mn + n$的公因式，各项都含有的公共因式是n，再逐项计算除以n后的结果，逐一比对选项即可。
【解析】
首先确定多项式$2n^2 - mn + n$的公因式为$n$：
1. 对各项分别除以公因式$n$：
$2n^2 ÷ n = 2n$，$-mn ÷ n = -m$，$n ÷ n = 1$
2. 提取公因式后可得：$2n^2 - mn + n = n(2n - m + 1)$
3. 逐一排查选项：
A选项展开后为$2n^2 - 2mn$，与原式不符，错误；
B选项括号内第一项应为$2n$，错误；
C选项漏写了$+1$，展开后缺少$n$项，错误；
D选项符合分解结果，正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定；因式分解的验证
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，易错点是提取公因式后漏写系数为1的项，解题时可通过将结果展开还原为整式的方法验证分解是否正确，能有效降低错误率。
【难度系数】
0.8
6. 因式分解：$3a^2 -21ab=$
$3a(a-7b)$
.答案
6. $3a(a-7b)$
解析
【分析】
对多项式进行因式分解时，首先观察各项是否存在公因式：第一步找系数的最大公约数，3和21的最大公约数是3；第二步找两项都含有的相同字母，两项均含有字母a，且a的最低次幂是1次，因此确定公因式为3a。之后提取公因式，用原多项式的每一项分别除以公因式，将得到的结果放在括号内即可完成分解。
【解析】
解：观察多项式$3a^2 -21ab$，可得两项的公因式为$3a$，
提取公因式$3a$计算如下：
$3a^2 -21ab = 3a · a - 3a · 7b = 3a(a - 7b)$
【答案】
$3a(a-7b)$
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是准确找出多项式各项的公因式，按规则提取公因式后要注意检查剩余项是否正确，避免出现漏项、符号错误等问题。
【难度系数】
0.9
对多项式进行因式分解时，首先观察各项是否存在公因式：第一步找系数的最大公约数，3和21的最大公约数是3；第二步找两项都含有的相同字母，两项均含有字母a，且a的最低次幂是1次，因此确定公因式为3a。之后提取公因式，用原多项式的每一项分别除以公因式，将得到的结果放在括号内即可完成分解。
【解析】
解：观察多项式$3a^2 -21ab$，可得两项的公因式为$3a$，
提取公因式$3a$计算如下：
$3a^2 -21ab = 3a · a - 3a · 7b = 3a(a - 7b)$
【答案】
$3a(a-7b)$
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是准确找出多项式各项的公因式，按规则提取公因式后要注意检查剩余项是否正确，避免出现漏项、符号错误等问题。
【难度系数】
0.9
7. (贵州模拟)若$x^2y - xy^2 = 40$，$xy = 8$，则$x - y$的值为
5
.答案
7. 5
解析
【分析】
解题时先观察已知等式左边的多项式$x^2y - xy^2$，可发现两项都含有公因式$xy$，因此先对左边用提公因式法因式分解，分解后可得到含$xy$和$x-y$的式子，再将已知的$xy=8$、$x^2y - xy^2=40$整体代入，即可求出$x-y$的值。
【解析】
解：对等式$x^2y - xy^2 = 40$左边因式分解，提取公因式$xy$，可得：
$xy(x - y) = 40$
把$xy = 8$代入上式，得：
$8(x - y) = 40$
等式两边同时除以8，解得：
$x - y = 40÷8 = 5$
【答案】
5
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握提公因式法因式分解，对多项式变形后将已知条件整体代入计算，即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知等式左边的多项式$x^2y - xy^2$，可发现两项都含有公因式$xy$，因此先对左边用提公因式法因式分解，分解后可得到含$xy$和$x-y$的式子，再将已知的$xy=8$、$x^2y - xy^2=40$整体代入，即可求出$x-y$的值。
【解析】
解：对等式$x^2y - xy^2 = 40$左边因式分解，提取公因式$xy$，可得：
$xy(x - y) = 40$
把$xy = 8$代入上式，得：
$8(x - y) = 40$
等式两边同时除以8，解得：
$x - y = 40÷8 = 5$
【答案】
5
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握提公因式法因式分解，对多项式变形后将已知条件整体代入计算，即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
8.已知$(2x-10)(x-2)-(x-2)(x-13)$可因式分解为$(x+a)(x+b)$，则$a+b$的值是________。
答案
8. 1
解析
【分析】
解题时首先观察多项式的结构特征，发现两个乘积项都含有公因式$(x-2)$，因此优先采用提公因式法因式分解：第一步提取公因式$(x-2)$，第二步化简公因式外剩余的整式部分，得到因式分解的最终结果，再和题目给出的$(x+a)(x+b)$形式对应，即可求出$a+b$的值。
【解析】
解：对原式提取公因式$(x-2)$，可得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x-2)[(2x-10)-(x-13)]\\&=(x-2)(2x-10 -x +13)\\&=(x-2)(x+3)\end{aligned}$
已知原式可因式分解为$(x+a)(x+b)$，因此$a$、$b$的值分别为$-2$和$3$（或$3$和$-2$），则$a+b=-2+3=1$。
【答案】
1
【知识点】
提公因式法因式分解、整式加减运算、代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是准确识别公因式，计算剩余整式时要注意去括号的符号规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察多项式的结构特征，发现两个乘积项都含有公因式$(x-2)$，因此优先采用提公因式法因式分解：第一步提取公因式$(x-2)$，第二步化简公因式外剩余的整式部分，得到因式分解的最终结果，再和题目给出的$(x+a)(x+b)$形式对应，即可求出$a+b$的值。
【解析】
解：对原式提取公因式$(x-2)$，可得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x-2)[(2x-10)-(x-13)]\\&=(x-2)(2x-10 -x +13)\\&=(x-2)(x+3)\end{aligned}$
已知原式可因式分解为$(x+a)(x+b)$，因此$a$、$b$的值分别为$-2$和$3$（或$3$和$-2$），则$a+b=-2+3=1$。
【答案】
1
【知识点】
提公因式法因式分解、整式加减运算、代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是准确识别公因式，计算剩余整式时要注意去括号的符号规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
9. 把下列多项式因式分解：
(1)$12x^2y^3 - 3x^2y^5$；
(2)$(x-2)^2 - x + 2$。
(1)$12x^2y^3 - 3x^2y^5$；
(2)$(x-2)^2 - x + 2$。
答案
9. 解:(1)$12x^2y^3 - 3x^2y^5=3x^2y^3(4-y^2)=3x^2y^3(2+y)(2-y)$.
(2)$(x-2)^2 - x + 2=(x-2)^2-(x-2)=(x-2)[(x-2)-1]=(x-2)(x-3)$.
(2)$(x-2)^2 - x + 2=(x-2)^2-(x-2)=(x-2)[(x-2)-1]=(x-2)(x-3)$.
解析
【分析】
(1) 因式分解优先采用提公因式法：先确定公因式，系数12和3的最大公约数是3，相同字母中x的最低次幂为$x^2$，y的最低次幂为$y^3$，因此公因式为$3x^2y^3$；提取公因式后得到$3x^2y^3(4-y^2)$，观察发现$4-y^2$符合平方差公式的结构，继续分解即可。
(2) 先对多项式变形，将$-x+2$整理为$-(x-2)$，此时可将$(x-2)$看作整体，确定公因式为$(x-2)$，提取公因式后对剩余部分化简即可得到结果。
【解析】
(1) 先提取公因式$3x^2y^3$，再用平方差公式分解：
$12x^2y^3 - 3x^2y^5=3x^2y^3(4-y^2)=3x^2y^3(2+y)(2-y)$
(2) 先变形构造公因式，再提取公因式化简：
$(x-2)^2 - x + 2=(x-2)^2-(x-2)=(x-2)[(x-2)-1]=(x-2)(x-3)$
【答案】
(1)$3x^2y^3(2+y)(2-y)$；(2)$(x-2)(x-3)$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题需遵循“先提公因式，再套用公式”的顺序，注意因式分解要彻底，第二题运用整体思想找公因式是这类题型的常用技巧。
【难度系数】
0.8
(1) 因式分解优先采用提公因式法：先确定公因式，系数12和3的最大公约数是3，相同字母中x的最低次幂为$x^2$，y的最低次幂为$y^3$，因此公因式为$3x^2y^3$；提取公因式后得到$3x^2y^3(4-y^2)$，观察发现$4-y^2$符合平方差公式的结构，继续分解即可。
(2) 先对多项式变形，将$-x+2$整理为$-(x-2)$，此时可将$(x-2)$看作整体，确定公因式为$(x-2)$，提取公因式后对剩余部分化简即可得到结果。
【解析】
(1) 先提取公因式$3x^2y^3$，再用平方差公式分解：
$12x^2y^3 - 3x^2y^5=3x^2y^3(4-y^2)=3x^2y^3(2+y)(2-y)$
(2) 先变形构造公因式，再提取公因式化简：
$(x-2)^2 - x + 2=(x-2)^2-(x-2)=(x-2)[(x-2)-1]=(x-2)(x-3)$
【答案】
(1)$3x^2y^3(2+y)(2-y)$；(2)$(x-2)(x-3)$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题需遵循“先提公因式，再套用公式”的顺序，注意因式分解要彻底，第二题运用整体思想找公因式是这类题型的常用技巧。
【难度系数】
0.8
