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13.如图7,在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西70°的方向,同时轮船B在南偏东10°的方向,那么∠AOB的度数为。
答案
$\boldsymbol{120°}$
解析
【分析】
解决本题首先要明确方向坐标的基本特征：上北下南、左西右东，相邻两个正方向（如正北和正西）的夹角为90°，正北与正南在同一直线上，组成180°的平角。解题时先根据已知的方向角确定OA、OB与对应正方向的夹角，再通过角的和差关系计算∠AOB的度数即可。
【解析】
根据方向角的定义：
1. 轮船A在北偏西70°方向，可知射线OA与正北方向的夹角为70°，因此OA和正西方向的夹角为$90°-70°=20°$；
2. 轮船B在南偏东10°方向，可知射线OB与正南方向的夹角为10°；
3. 正西方向和正南方向的夹角为90°，因此$∠ AOB = 20° + 90° + 10° = 120°$。
【答案】
$\boldsymbol{120°}$
【知识点】
方向角的认识，角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对方向角的理解和角度的运算，解题时结合图形标注各段夹角能有效避免计算错误，掌握方向角的定义是解题的前提。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确方向坐标的基本特征：上北下南、左西右东，相邻两个正方向（如正北和正西）的夹角为90°，正北与正南在同一直线上，组成180°的平角。解题时先根据已知的方向角确定OA、OB与对应正方向的夹角，再通过角的和差关系计算∠AOB的度数即可。
【解析】
根据方向角的定义：
1. 轮船A在北偏西70°方向，可知射线OA与正北方向的夹角为70°，因此OA和正西方向的夹角为$90°-70°=20°$；
2. 轮船B在南偏东10°方向，可知射线OB与正南方向的夹角为10°；
3. 正西方向和正南方向的夹角为90°，因此$∠ AOB = 20° + 90° + 10° = 120°$。
【答案】
$\boldsymbol{120°}$
【知识点】
方向角的认识，角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对方向角的理解和角度的运算，解题时结合图形标注各段夹角能有效避免计算错误，掌握方向角的定义是解题的前提。
【难度系数】
0.8
14. 任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式,应该怎样写呢?
我们以无限循环小数0.$\dot{5}$为例进行说明:设0.$\dot{5}$=x,由0.$\dot{5}$=0.555…可知,10x=5.555…,所以10x−x=5,解方程,得x=$\frac{5}{9}$,于是得0.$\dot{5}$=$\frac{5}{9}$. 将0.$\dot{3}\dot{6}$写成分数的形式是.
我们以无限循环小数0.$\dot{5}$为例进行说明:设0.$\dot{5}$=x,由0.$\dot{5}$=0.555…可知,10x=5.555…,所以10x−x=5,解方程,得x=$\frac{5}{9}$,于是得0.$\dot{5}$=$\frac{5}{9}$. 将0.$\dot{3}\dot{6}$写成分数的形式是.
答案
$\boldsymbol{\frac{4}{11}}$
解析
【分析】
本题是方法迁移类题目，可参照题干给出的无限循环小数化分数的思路求解：首先确定0.$\dot{3}\dot{6}$的循环节是2位，因此将原数扩大100倍，使扩大后的数与原数的小数部分完全相同，再通过两数相减消去无限循环的小数部分，得到一元一次方程，解方程后约分即可得到分数形式。
【解析】
解：设$0.\dot{3}\dot{6}=x$，
由$0.\dot{3}\dot{6}=0.363636···$可得：$100x=36.363636···$，
用$100x$减去$x$可消去循环小数部分，得：$100x - x = 36$，
合并同类项得：$99x=36$，
系数化为1得：$x=\frac{36}{99}$，约分化简为$x=\frac{4}{11}$。
【答案】
$\frac{4}{11}$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 无限循环小数化分数
【点评】
本题考查对新方法的理解和迁移应用能力，解题关键是根据循环节的位数确定原数需要扩大的倍数，准确消去循环部分后解方程即可，注意最终结果要约分为最简分数。
【难度系数】
0.7
本题是方法迁移类题目，可参照题干给出的无限循环小数化分数的思路求解：首先确定0.$\dot{3}\dot{6}$的循环节是2位，因此将原数扩大100倍，使扩大后的数与原数的小数部分完全相同，再通过两数相减消去无限循环的小数部分，得到一元一次方程，解方程后约分即可得到分数形式。
【解析】
解：设$0.\dot{3}\dot{6}=x$，
由$0.\dot{3}\dot{6}=0.363636···$可得：$100x=36.363636···$，
用$100x$减去$x$可消去循环小数部分，得：$100x - x = 36$，
合并同类项得：$99x=36$，
系数化为1得：$x=\frac{36}{99}$，约分化简为$x=\frac{4}{11}$。
【答案】
$\frac{4}{11}$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 无限循环小数化分数
【点评】
本题考查对新方法的理解和迁移应用能力，解题关键是根据循环节的位数确定原数需要扩大的倍数，准确消去循环部分后解方程即可，注意最终结果要约分为最简分数。
【难度系数】
0.7
15. (2024·长沙)为庆祝中国改革开放46周年,某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动,现场参与者均为在校中学生,其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”,该活动项目主持人要求参与者从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任取一个数字,先乘10,再加上4.6,将此时的运算结果再乘10,然后加上1978,最后减去参与者的出生年份(注:出生年份是一个四位数,比如2010年对应的四位数是2010),得到最终的运算结果.只要参与者报出最终的运算结果,主持人立马就知道参与者的出生年份.若某位参与者报出的最终的运算结果是915,则这位参与者的出生年份是.
答案
解：设参与者选取的数字为x（1≤x≤9，且x为整数），出生年份为y。
根据题意列方程：
$10(10x + 4.6) + 1978 - y = 915$
整理方程：
$100x + 46 + 1978 - y = 915$
$100x + 2024 - y = 915$
变形得：
$y = 100x + 1109$
∵参与者为在校中学生，出生年份是符合实际的四位数，
∴x只能取9，代入得：
$y = 100×9 + 1109 = 2009$
答：这位参与者的出生年份是2009。
根据题意列方程：
$10(10x + 4.6) + 1978 - y = 915$
整理方程：
$100x + 46 + 1978 - y = 915$
$100x + 2024 - y = 915$
变形得：
$y = 100x + 1109$
∵参与者为在校中学生，出生年份是符合实际的四位数，
∴x只能取9，代入得：
$y = 100×9 + 1109 = 2009$
答：这位参与者的出生年份是2009。
解析
【分析】
我们可以通过设未知数把题目中的运算规则转化为数学式子来求解：首先设参与者选取的数字为x，出生年份为y，按照题目给出的运算步骤列出等式，再对等式化简得到y和x的关系。最后结合“参与者是在校中学生，出生年份符合实际”这个隐含的限制条件，确定x的合理取值，代入就能算出出生年份。
【解析】
设参与者选取的数字为$x$（$1≤ x≤9$，且$x$为整数），出生年份为$y$。
根据题意的运算顺序列方程：
$10(10x + 4.6) + 1978 - y = 915$
展开并整理方程：
$100x + 46 + 1978 - y = 915$
$100x + 2024 - y = 915$
变形得$y$的表达式：
$y = 100x + 2024 - 915 = 100x + 1109$
因为参与者为在校中学生，出生年份符合实际情况，结合$x$是1到9的整数，只有$x=9$时得到的年份符合中学生年龄，代入得：
$y = 100×9 + 1109 = 2009$
【答案】
2009
【知识点】
列代数式，一元一次方程应用，实际取值判断
【点评】
本题结合趣味生活场景考查代数运算应用，解题关键是准确将文字描述的运算步骤转化为数学表达式，同时注意结合实际场景筛选未知数的合理取值，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
我们可以通过设未知数把题目中的运算规则转化为数学式子来求解：首先设参与者选取的数字为x，出生年份为y，按照题目给出的运算步骤列出等式，再对等式化简得到y和x的关系。最后结合“参与者是在校中学生，出生年份符合实际”这个隐含的限制条件，确定x的合理取值，代入就能算出出生年份。
【解析】
设参与者选取的数字为$x$（$1≤ x≤9$，且$x$为整数），出生年份为$y$。
根据题意的运算顺序列方程：
$10(10x + 4.6) + 1978 - y = 915$
展开并整理方程：
$100x + 46 + 1978 - y = 915$
$100x + 2024 - y = 915$
变形得$y$的表达式：
$y = 100x + 2024 - 915 = 100x + 1109$
因为参与者为在校中学生，出生年份符合实际情况，结合$x$是1到9的整数，只有$x=9$时得到的年份符合中学生年龄，代入得：
$y = 100×9 + 1109 = 2009$
【答案】
2009
【知识点】
列代数式，一元一次方程应用，实际取值判断
【点评】
本题结合趣味生活场景考查代数运算应用，解题关键是准确将文字描述的运算步骤转化为数学表达式，同时注意结合实际场景筛选未知数的合理取值，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
三、解答题(本大题共8小题,共75分)
16.(10分)计算:
(1)$(-\frac{1}{8}-\frac{9}{4}+\frac{3}{2})÷(-\frac{1}{24})$;
(2)$-1^{2026}-(-5\frac{1}{2})×\frac{4}{11}+(-2)^3÷\left|-3^2+1\right|$.
16.(10分)计算:
(1)$(-\frac{1}{8}-\frac{9}{4}+\frac{3}{2})÷(-\frac{1}{24})$;
(2)$-1^{2026}-(-5\frac{1}{2})×\frac{4}{11}+(-2)^3÷\left|-3^2+1\right|$.
答案
解：
(1) 原式$=(-\frac{1}{8}-\frac{9}{4}+\frac{3}{2})×(-24)$
$=-\frac{1}{8}×(-24)-\frac{9}{4}×(-24)+\frac{3}{2}×(-24)$
$=3+54-36$
$=21$
(2) 原式$=-1-(-\frac{11}{2})×\frac{4}{11}+(-8)÷\left|-9+1\right|$
$=-1+2+(-8)÷8$
$=-1+2-1$
$=0$
(1) 原式$=(-\frac{1}{8}-\frac{9}{4}+\frac{3}{2})×(-24)$
$=-\frac{1}{8}×(-24)-\frac{9}{4}×(-24)+\frac{3}{2}×(-24)$
$=3+54-36$
$=21$
(2) 原式$=-1-(-\frac{11}{2})×\frac{4}{11}+(-8)÷\left|-9+1\right|$
$=-1+2+(-8)÷8$
$=-1+2-1$
$=0$
解析
【分析】
本题是有理数混合运算题，解题思路如下：
(1) 小题先根据“除以一个数等于乘以这个数的倒数”将除法转化为乘法，观察到括号内各分数的分母均是24的因数，因此运用乘法分配律分别相乘即可简化计算，无需先通分计算括号内的和，计算时注意每一项的符号规则。
(2) 小题遵循有理数混合运算顺序：先算乘方、绝对值内的运算，再算乘除，最后算加减；需注意区分$-1^{2026}$和$(-1)^{2026}$、$-3^2$和$(-3)^2$的区别，避免符号出错，带分数先化为假分数更便于乘法计算。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法：
原式$=(-\frac{1}{8}-\frac{9}{4}+\frac{3}{2})×(-24)$
根据乘法分配律展开计算：
$=-\frac{1}{8}×(-24)-\frac{9}{4}×(-24)+\frac{3}{2}×(-24)$
分别计算每一项的乘积：
$=3+54-36$
合并计算得：
$=21$
(2) 先计算乘方和绝对值内的运算：
原式$=-1-(-\frac{11}{2})×\frac{4}{11}+(-8)÷\left|-9+1\right|$
再计算乘除运算：
$=-1+2+(-8)÷8$
$=-1+2-1$
最后计算加减：
$=0$
【答案】
(1) $\boxed{21}$；(2) $\boxed{0}$
【知识点】
有理数混合运算、乘法分配律、绝对值运算
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，核心考察运算顺序和符号判断能力，合理运用运算律可简化计算步骤，降低出错概率，是运算类的常考基础题。
【难度系数】
0.7
本题是有理数混合运算题，解题思路如下：
(1) 小题先根据“除以一个数等于乘以这个数的倒数”将除法转化为乘法，观察到括号内各分数的分母均是24的因数，因此运用乘法分配律分别相乘即可简化计算，无需先通分计算括号内的和，计算时注意每一项的符号规则。
(2) 小题遵循有理数混合运算顺序：先算乘方、绝对值内的运算，再算乘除，最后算加减；需注意区分$-1^{2026}$和$(-1)^{2026}$、$-3^2$和$(-3)^2$的区别，避免符号出错，带分数先化为假分数更便于乘法计算。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法：
原式$=(-\frac{1}{8}-\frac{9}{4}+\frac{3}{2})×(-24)$
根据乘法分配律展开计算：
$=-\frac{1}{8}×(-24)-\frac{9}{4}×(-24)+\frac{3}{2}×(-24)$
分别计算每一项的乘积：
$=3+54-36$
合并计算得：
$=21$
(2) 先计算乘方和绝对值内的运算：
原式$=-1-(-\frac{11}{2})×\frac{4}{11}+(-8)÷\left|-9+1\right|$
再计算乘除运算：
$=-1+2+(-8)÷8$
$=-1+2-1$
最后计算加减：
$=0$
【答案】
(1) $\boxed{21}$；(2) $\boxed{0}$
【知识点】
有理数混合运算、乘法分配律、绝对值运算
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，核心考察运算顺序和符号判断能力，合理运用运算律可简化计算步骤，降低出错概率，是运算类的常考基础题。
【难度系数】
0.7
