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7. 如图3,将一个三角板$30°$角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合,$∠ 1=22°25'$,则$∠ 2$的大小为（）
A.$7°35'$
B.$22°25'$
C.$67°35'$
D.$82°25'$
A.$7°35'$
B.$22°25'$
C.$67°35'$
D.$82°25'$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆三角板的角度特征：直角三角板的直角度数为90°。结合图形观察各角的位置关系，可知∠1与∠2的和恰好等于直角的度数90°，因此可以通过角的和差关系，用90°减去∠1的度数求出∠2，计算时注意度分秒的换算进率为60。
【解析】
解：由三角板的角度特征可知直角为90°，结合角的位置关系可得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$
已知$∠ 1=22°25'$，代入得：
$∠ 2 = 90° - 22°25'$
根据$1°=60'$，将$90°$转化为$89°60'$计算：
$∠ 2 = 89°60' - 22°25' = 67°35'$
【答案】
C
【知识点】
角的和差计算；度分秒的换算；三角板的角度特征
【点评】
本题属于基础的角度计算问题，解题的核心是理清重合后各角之间的数量关系，计算时注意度分秒的换算进率为60，避免因换算错误失分。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆三角板的角度特征：直角三角板的直角度数为90°。结合图形观察各角的位置关系，可知∠1与∠2的和恰好等于直角的度数90°，因此可以通过角的和差关系，用90°减去∠1的度数求出∠2，计算时注意度分秒的换算进率为60。
【解析】
解：由三角板的角度特征可知直角为90°，结合角的位置关系可得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$
已知$∠ 1=22°25'$，代入得：
$∠ 2 = 90° - 22°25'$
根据$1°=60'$，将$90°$转化为$89°60'$计算：
$∠ 2 = 89°60' - 22°25' = 67°35'$
【答案】
C
【知识点】
角的和差计算；度分秒的换算；三角板的角度特征
【点评】
本题属于基础的角度计算问题，解题的核心是理清重合后各角之间的数量关系，计算时注意度分秒的换算进率为60，避免因换算错误失分。
【难度系数】
0.7
8. 德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人，二进制数只使用数字0,1，计数的进位方法是“逢二进一”，如：二进制数1 101记为$1\ 101_2$，$1\ 101_2$通过式子$1×2^3 +1×2^2 +0×2 +1$可以转换为十进制数13，仿上面的转换，将二进制数$11\ 000_2$转换为十进制数是（）
A.48
B.24
C.64
D.66
A.48
B.24
C.64
D.66
答案
B
解析
【分析】
首先要读懂题目给出的二进制转十进制的转换规则：将二进制数每个数位上的数字，从左到右依次乘以2的（总位数-1）次方、（总位数-2）次方……直到2的0次方，再将所有乘积相加，所得结果就是对应的十进制数。我们先确定二进制数$11000_2$的总位数，再按规则代入计算即可。
【解析】
二进制数$11000_2$是5位数，按照转换规则计算：
$\begin{aligned}11000_2&=1×2^4 + 1×2^3 + 0×2^2 + 0×2^1 + 0×2^0 \\&=1×16 + 1×8 + 0 + 0 + 0 \\&=16+8 \\&=24\end{aligned}$
因此对应的十进制数为24。
【答案】
B
【知识点】
进制转换；有理数乘方运算
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是读懂题目给出的转换规则，结合有理数乘方的基础运算即可求解，主要考查学生的阅读理解能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
首先要读懂题目给出的二进制转十进制的转换规则：将二进制数每个数位上的数字，从左到右依次乘以2的（总位数-1）次方、（总位数-2）次方……直到2的0次方，再将所有乘积相加，所得结果就是对应的十进制数。我们先确定二进制数$11000_2$的总位数，再按规则代入计算即可。
【解析】
二进制数$11000_2$是5位数，按照转换规则计算：
$\begin{aligned}11000_2&=1×2^4 + 1×2^3 + 0×2^2 + 0×2^1 + 0×2^0 \\&=1×16 + 1×8 + 0 + 0 + 0 \\&=16+8 \\&=24\end{aligned}$
因此对应的十进制数为24。
【答案】
B
【知识点】
进制转换；有理数乘方运算
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是读懂题目给出的转换规则，结合有理数乘方的基础运算即可求解，主要考查学生的阅读理解能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
9. 有若干片相同的拼图，其形状如图4①所示(单位:cm)，凸出的部分是直径为4 cm的半圆，且拼图沿水平方向排列时可紧密拼成一行，此时底部可与直线贴齐. 当4片拼图紧密拼成一行时长度为38 cm，如图4②所示. 下列结论正确的是 ()
A.依题意，$4(a+b)=38$
B.1片拼图的长度为9.5 cm
C.将拼图紧密拼成一行时，每增加一片拼图，总长度增加11 cm
D.将$n$片拼图紧密拼成一行时，总长度为$(9n+2)$ cm
A.依题意，$4(a+b)=38$
B.1片拼图的长度为9.5 cm
C.将拼图紧密拼成一行时，每增加一片拼图，总长度增加11 cm
D.将$n$片拼图紧密拼成一行时，总长度为$(9n+2)$ cm
答案
D
解析
【分析】
首先观察拼图的拼接规律：相邻两个拼图拼接时，前一片右侧凸出的半圆刚好嵌入后一片左侧凹进的半圆，因此只有最右侧的1个凸出部分会算入总长度，其余凸出部分均和相邻拼图的凹进部分重合。首先先求凸出部分的长度b：已知凸出的半圆直径为4cm，因此凸出长度b等于半圆的半径，即$b=4÷2=2\,\mathrm{cm}$。再根据4片拼图总长度为38cm，列算式求出a的值，再逐个验证选项即可。
【解析】
步骤1：求b的值
因为凸出的半圆直径为4cm，半圆凸出的长度为半径，因此：
$b = 4÷2 = 2\,\mathrm{cm}$
步骤2：求a的值
观察4片拼图的总长度可知：总长度=4个a的长度 + 最右侧凸出的b的长度，已知总长度为38cm，列方程得：
$4a + b = 38$
将$b=2$代入得：$4a + 2 = 38$，解得$a = 9\,\mathrm{cm}$。
步骤3：逐个验证选项
A选项：拼接时相邻拼图存在重合部分，总长度不是$4(a+b)$，该选项错误；
B选项：1片拼图的长度为$a+b=9+2=11\,\mathrm{cm}$，不是9.5cm，该选项错误；
C选项：每增加1片拼图，总长度仅增加a的长度即9cm，不是11cm，该选项错误；
D选项：n片拼图紧密拼接时，总长度为$n× a + b = (9n + 2)\,\mathrm{cm}$，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
图形规律探究，一元一次方程的应用
【点评】
本题的解题核心是准确找到拼图拼接时的重叠规律，避免直接用单片长度乘数量计算总长度，要注意扣除重合部分的长度。
【难度系数】
0.6
首先观察拼图的拼接规律：相邻两个拼图拼接时，前一片右侧凸出的半圆刚好嵌入后一片左侧凹进的半圆，因此只有最右侧的1个凸出部分会算入总长度，其余凸出部分均和相邻拼图的凹进部分重合。首先先求凸出部分的长度b：已知凸出的半圆直径为4cm，因此凸出长度b等于半圆的半径，即$b=4÷2=2\,\mathrm{cm}$。再根据4片拼图总长度为38cm，列算式求出a的值，再逐个验证选项即可。
【解析】
步骤1：求b的值
因为凸出的半圆直径为4cm，半圆凸出的长度为半径，因此：
$b = 4÷2 = 2\,\mathrm{cm}$
步骤2：求a的值
观察4片拼图的总长度可知：总长度=4个a的长度 + 最右侧凸出的b的长度，已知总长度为38cm，列方程得：
$4a + b = 38$
将$b=2$代入得：$4a + 2 = 38$，解得$a = 9\,\mathrm{cm}$。
步骤3：逐个验证选项
A选项：拼接时相邻拼图存在重合部分，总长度不是$4(a+b)$，该选项错误；
B选项：1片拼图的长度为$a+b=9+2=11\,\mathrm{cm}$，不是9.5cm，该选项错误；
C选项：每增加1片拼图，总长度仅增加a的长度即9cm，不是11cm，该选项错误；
D选项：n片拼图紧密拼接时，总长度为$n× a + b = (9n + 2)\,\mathrm{cm}$，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
图形规律探究，一元一次方程的应用
【点评】
本题的解题核心是准确找到拼图拼接时的重叠规律，避免直接用单片长度乘数量计算总长度，要注意扣除重合部分的长度。
【难度系数】
0.6
10. 图5所示图形都是由几个灰色和白色的正方形按一定规律组成的，图①中有2个灰色正方形，图②中有5个灰色正方形，图③中有8个灰色正方形，图④中有11个灰色正方形……依此规律，图ⓝ中灰色正方形的个数是(用含n的代数式表示，n为正整数) ()
A.$3n+2$
B.$2n+3$
C.$3n-1$
D.$3n-2$
A.$3n+2$
B.$2n+3$
C.$3n-1$
D.$3n-2$
答案
C
解析
【分析】
这是一道图形规律探究题，解题思路如下：第一步先整理已知条件，把每个图的序号和对应灰色正方形的数量对应列出：n=1时2个，n=2时5个，n=3时8个，n=4时11个；第二步观察数字变化规律，发现后一个数总比前一个数大3，说明序号每增加1，灰色正方形的数量就增加3；第三步推导通用表达式，或者用代入排除法验证选项，就能得到正确结果。
【解析】
方法一：推导规律法
观察已知数据：
当n=1时，灰色正方形个数：$2 = 3×1 - 1$
当n=2时，灰色正方形个数：$5 = 3×2 - 1$
当n=3时，灰色正方形个数：$8 = 3×3 - 1$
当n=4时，灰色正方形个数：$11 = 3×4 - 1$
由此可得，第n个图中灰色正方形的个数为$3n - 1$。
方法二：代入排除法
将$n=1$分别代入四个选项：
A选项：$3×1 + 2 = 5$，和已知图①的2个不符，排除；
B选项：$2×1 + 3 = 5$，和已知图①的2个不符，排除；
C选项：$3×1 - 1 = 2$，符合图①的数量，再验证$n=2$时，$3×2 -1=5$，符合图②的数量，$n=3$时$3×3-1=8$，也符合，正确；
D选项：$3×1 - 2 = 1$，和已知图①的2个不符，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究；列代数式；整式化简
【点评】
本题是规律探究类的基础题型，既可以通过观察数据变化推导通用表达式，也可以用代入验证的方法快速锁定答案，解题的关键是准确找到数量随序号变化的规律。
【难度系数】
0.7
这是一道图形规律探究题，解题思路如下：第一步先整理已知条件，把每个图的序号和对应灰色正方形的数量对应列出：n=1时2个，n=2时5个，n=3时8个，n=4时11个；第二步观察数字变化规律，发现后一个数总比前一个数大3，说明序号每增加1，灰色正方形的数量就增加3；第三步推导通用表达式，或者用代入排除法验证选项，就能得到正确结果。
【解析】
方法一：推导规律法
观察已知数据：
当n=1时，灰色正方形个数：$2 = 3×1 - 1$
当n=2时，灰色正方形个数：$5 = 3×2 - 1$
当n=3时，灰色正方形个数：$8 = 3×3 - 1$
当n=4时，灰色正方形个数：$11 = 3×4 - 1$
由此可得，第n个图中灰色正方形的个数为$3n - 1$。
方法二：代入排除法
将$n=1$分别代入四个选项：
A选项：$3×1 + 2 = 5$，和已知图①的2个不符，排除；
B选项：$2×1 + 3 = 5$，和已知图①的2个不符，排除；
C选项：$3×1 - 1 = 2$，符合图①的数量，再验证$n=2$时，$3×2 -1=5$，符合图②的数量，$n=3$时$3×3-1=8$，也符合，正确；
D选项：$3×1 - 2 = 1$，和已知图①的2个不符，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究；列代数式；整式化简
【点评】
本题是规律探究类的基础题型，既可以通过观察数据变化推导通用表达式，也可以用代入验证的方法快速锁定答案，解题的关键是准确找到数量随序号变化的规律。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 单项式$-\dfrac{4x^3y^2}{7}$的系数是。
11. 单项式$-\dfrac{4x^3y^2}{7}$的系数是。
答案
解：根据单项式系数的定义，单项式中的数字因数为该单项式的系数。
在单项式$-\dfrac{4x^3y^2}{7}$中，数字因数是$-\dfrac{4}{7}$，因此该单项式的系数是$\boldsymbol{-\dfrac{4}{7}}$。
在单项式$-\dfrac{4x^3y^2}{7}$中，数字因数是$-\dfrac{4}{7}$，因此该单项式的系数是$\boldsymbol{-\dfrac{4}{7}}$。
解析
【分析】
解题时首先要回忆单项式系数的定义：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。我们只需要将给定单项式里的字母部分剥离，剩下的带符号的数字部分就是所求系数，注意不要遗漏数字前的负号，也不要忽略分母中的数字。
【解析】
根据单项式系数的定义，单项式中的数字因数为该单项式的系数。
在单项式$-\dfrac{4x^3y^2}{7}$中，字母部分是$x^3y^2$，对应的数字因数为$-\dfrac{4}{7}$，因此该单项式的系数是$-\dfrac{4}{7}$。
【答案】
$-\dfrac{4}{7}$
【知识点】
单项式的系数
【点评】
本题是基础概念类题型，核心考查对单项式系数定义的理解，易错点是容易漏掉系数前的负号，只要准确掌握概念就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先要回忆单项式系数的定义：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。我们只需要将给定单项式里的字母部分剥离，剩下的带符号的数字部分就是所求系数，注意不要遗漏数字前的负号，也不要忽略分母中的数字。
【解析】
根据单项式系数的定义，单项式中的数字因数为该单项式的系数。
在单项式$-\dfrac{4x^3y^2}{7}$中，字母部分是$x^3y^2$，对应的数字因数为$-\dfrac{4}{7}$，因此该单项式的系数是$-\dfrac{4}{7}$。
【答案】
$-\dfrac{4}{7}$
【知识点】
单项式的系数
【点评】
本题是基础概念类题型，核心考查对单项式系数定义的理解，易错点是容易漏掉系数前的负号，只要准确掌握概念就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9
12. 如图6,小亮将一个衣架固定在墙上,他在衣架两端各用一个钉子进行固定,请你用数学知识解释他这样操作的原因是。
答案
两点确定一条直线。
解析
【分析】
要解释两个钉子固定衣架的原理，首先可以把钉子抽象为几何中的点，衣架的固定边可以看作一条直线。我们知道经过1个点可以画出无数条直线，无法确定唯一的位置，而经过两个点时，只能画出唯一的一条直线，因此两个钉子就能把衣架的位置固定住，防止其转动偏移。
【解析】
将两个钉子看作平面内的两个点，根据直线的基本性质：经过两点有且只有一条直线，也就是两点确定一条直线。因此用两个钉子分别固定衣架的两端时，衣架所在的直线就被唯一确定，不会发生转动或移位，即可将衣架稳定固定在墙上。
【答案】
两点确定一条直线
【知识点】
两点确定一条直线；直线的基本性质
【点评】
本题属于生活场景结合几何知识的基础应用题，需要同学们将实际生活中的物体抽象为几何模型，再结合所学的直线性质作答，体现了数学在生活中的实用性。
【难度系数】
0.8
要解释两个钉子固定衣架的原理，首先可以把钉子抽象为几何中的点，衣架的固定边可以看作一条直线。我们知道经过1个点可以画出无数条直线，无法确定唯一的位置，而经过两个点时，只能画出唯一的一条直线，因此两个钉子就能把衣架的位置固定住，防止其转动偏移。
【解析】
将两个钉子看作平面内的两个点，根据直线的基本性质：经过两点有且只有一条直线，也就是两点确定一条直线。因此用两个钉子分别固定衣架的两端时，衣架所在的直线就被唯一确定，不会发生转动或移位，即可将衣架稳定固定在墙上。
【答案】
两点确定一条直线
【知识点】
两点确定一条直线；直线的基本性质
【点评】
本题属于生活场景结合几何知识的基础应用题，需要同学们将实际生活中的物体抽象为几何模型，再结合所学的直线性质作答，体现了数学在生活中的实用性。
【难度系数】
0.8
