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17. (9分)先化简,再求值:$4x^2y - [6xy - 2(4xy - 2) - x^2y] + 1$,其中$x = -\frac{1}{2}, y = -1.$
答案
解：
先化简原式：
$\begin{aligned}&4x^2y - [6xy - 2(4xy - 2) - x^2y] + 1\\=&4x^2y - (6xy - 8xy + 4 - x^2y) + 1\\=&4x^2y - 6xy + 8xy - 4 + x^2y + 1\\=&5x^2y + 2xy - 3\end{aligned}$
将$x=-\frac{1}{2}, y=-1$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=5×(-\frac{1}{2})^2×(-1) + 2×(-\frac{1}{2})×(-1) - 3\\&=5×\frac{1}{4}×(-1) + 1 - 3\\&=-\frac{5}{4} - 2\\&=-\frac{13}{4}\end{aligned}$
先化简原式：
$\begin{aligned}&4x^2y - [6xy - 2(4xy - 2) - x^2y] + 1\\=&4x^2y - (6xy - 8xy + 4 - x^2y) + 1\\=&4x^2y - 6xy + 8xy - 4 + x^2y + 1\\=&5x^2y + 2xy - 3\end{aligned}$
将$x=-\frac{1}{2}, y=-1$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=5×(-\frac{1}{2})^2×(-1) + 2×(-\frac{1}{2})×(-1) - 3\\&=5×\frac{1}{4}×(-1) + 1 - 3\\&=-\frac{5}{4} - 2\\&=-\frac{13}{4}\end{aligned}$
解析
【分析】
本题为整式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简整式，按照先去小括号、再去中括号的顺序运算，去括号时若括号前为负号，括号内每一项都要变号，同时用乘法分配律计算括号前的系数，去完括号后合并同类项得到最简整式；第二步将x、y的取值代入最简整式计算，先化简再代入能大幅降低计算量，减少出错概率。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}&4x^2y - [6xy - 2(4xy - 2) - x^2y] + 1\\=&4x^2y - (6xy - 8xy + 4 - x^2y) + 1\\=&4x^2y - 6xy + 8xy - 4 + x^2y + 1\\=&5x^2y + 2xy - 3\end{aligned}$
将$x=-\frac{1}{2}, y=-1$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=5×(-\frac{1}{2})^2×(-1) + 2×(-\frac{1}{2})×(-1) - 3\\&=5×\frac{1}{4}×(-1) + 1 - 3\\&=-\frac{5}{4} - 2\\&=-\frac{13}{4}\end{aligned}$
【答案】
$-\frac{13}{4}$
【知识点】
去括号法则、合并同类项、代数式求值
【点评】
本题是整式运算的常规题型，重点考察去括号的符号处理、同类项合并以及有理数混合运算，计算时注意负数的偶次幂为正，规避符号错误即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题为整式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简整式，按照先去小括号、再去中括号的顺序运算，去括号时若括号前为负号，括号内每一项都要变号，同时用乘法分配律计算括号前的系数，去完括号后合并同类项得到最简整式；第二步将x、y的取值代入最简整式计算，先化简再代入能大幅降低计算量，减少出错概率。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}&4x^2y - [6xy - 2(4xy - 2) - x^2y] + 1\\=&4x^2y - (6xy - 8xy + 4 - x^2y) + 1\\=&4x^2y - 6xy + 8xy - 4 + x^2y + 1\\=&5x^2y + 2xy - 3\end{aligned}$
将$x=-\frac{1}{2}, y=-1$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=5×(-\frac{1}{2})^2×(-1) + 2×(-\frac{1}{2})×(-1) - 3\\&=5×\frac{1}{4}×(-1) + 1 - 3\\&=-\frac{5}{4} - 2\\&=-\frac{13}{4}\end{aligned}$
【答案】
$-\frac{13}{4}$
【知识点】
去括号法则、合并同类项、代数式求值
【点评】
本题是整式运算的常规题型，重点考察去括号的符号处理、同类项合并以及有理数混合运算，计算时注意负数的偶次幂为正，规避符号错误即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
18. (9分)某路公交车上原有乘客$(3m-n)$人，中途下车一半乘客，又上车若干人，这时车上共有乘客$(8m-5n)$人，问：上车的乘客多少人？当$m=10,n=8$时，上车的乘客有多少人？
答案
解：
中途下车一半后，车上剩余乘客人数为$\frac{1}{2}(3m-n)$人。
上车的乘客人数为：
$\begin{aligned}&(8m-5n) - \frac{1}{2}(3m-n)\\=&8m - 5n - \frac{3}{2}m + \frac{1}{2}n\\=&\frac{13}{2}m - \frac{9}{2}n\end{aligned}$
当$m=10$，$n=8$时，代入得：
$\begin{aligned}&\frac{13}{2}×10 - \frac{9}{2}×8\\=&65 - 36\\=&29\end{aligned}$
答：上车的乘客有$(\frac{13}{2}m-\frac{9}{2}n)$人，当$m=10,n=8$时，上车的乘客有29人。
中途下车一半后，车上剩余乘客人数为$\frac{1}{2}(3m-n)$人。
上车的乘客人数为：
$\begin{aligned}&(8m-5n) - \frac{1}{2}(3m-n)\\=&8m - 5n - \frac{3}{2}m + \frac{1}{2}n\\=&\frac{13}{2}m - \frac{9}{2}n\end{aligned}$
当$m=10$，$n=8$时，代入得：
$\begin{aligned}&\frac{13}{2}×10 - \frac{9}{2}×8\\=&65 - 36\\=&29\end{aligned}$
答：上车的乘客有$(\frac{13}{2}m-\frac{9}{2}n)$人，当$m=10,n=8$时，上车的乘客有29人。
解析
【分析】
解决本题首先要明确核心数量关系：上车乘客人数 = 最终车上总人数 - 中途下车后剩余的乘客人数。第一步先计算中途下车一半后的剩余人数：原有乘客$(3m-n)$人，下车一半后剩余原有人数的$\frac{1}{2}$；第二步用最终总人数减去剩余人数，通过去括号、合并同类项化简得到上车乘客的代数式；最后将$m=10$、$n=8$代入化简后的代数式计算即可得到具体数值，计算时要注意去括号的符号规则，避免运算错误。
【解析】
1. 计算中途下车一半后车上剩余的乘客人数：
原有乘客$(3m-n)$人，下车一半后剩余人数为$\frac{1}{2}(3m-n)$人。
2. 计算上车的乘客人数：
根据数量关系列算式：
$\begin{aligned}&(8m-5n) - \frac{1}{2}(3m-n)\\=&8m - 5n - \frac{3}{2}m + \frac{1}{2}n\\=&(8m-\frac{3}{2}m) + (-5n+\frac{1}{2}n)\\=&\frac{13}{2}m - \frac{9}{2}n\end{aligned}$
3. 代入$m=10$，$n=8$计算具体数值：
$\begin{aligned}&\frac{13}{2}×10 - \frac{9}{2}×8\\=&65 - 36\\=&29\end{aligned}$
【答案】
上车的乘客有$(\frac{13}{2}m-\frac{9}{2}n)$人；当$m=10,n=8$时，上车的乘客有29人。
【知识点】
1. 整式的加减运算
2. 代数式求值
【点评】
本题是整式实际应用的常规题型，重点考查对数量关系的梳理能力，以及去括号、合并同类项的运算能力，运算过程中要注意系数和符号的处理，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确核心数量关系：上车乘客人数 = 最终车上总人数 - 中途下车后剩余的乘客人数。第一步先计算中途下车一半后的剩余人数：原有乘客$(3m-n)$人，下车一半后剩余原有人数的$\frac{1}{2}$；第二步用最终总人数减去剩余人数，通过去括号、合并同类项化简得到上车乘客的代数式；最后将$m=10$、$n=8$代入化简后的代数式计算即可得到具体数值，计算时要注意去括号的符号规则，避免运算错误。
【解析】
1. 计算中途下车一半后车上剩余的乘客人数：
原有乘客$(3m-n)$人，下车一半后剩余人数为$\frac{1}{2}(3m-n)$人。
2. 计算上车的乘客人数：
根据数量关系列算式：
$\begin{aligned}&(8m-5n) - \frac{1}{2}(3m-n)\\=&8m - 5n - \frac{3}{2}m + \frac{1}{2}n\\=&(8m-\frac{3}{2}m) + (-5n+\frac{1}{2}n)\\=&\frac{13}{2}m - \frac{9}{2}n\end{aligned}$
3. 代入$m=10$，$n=8$计算具体数值：
$\begin{aligned}&\frac{13}{2}×10 - \frac{9}{2}×8\\=&65 - 36\\=&29\end{aligned}$
【答案】
上车的乘客有$(\frac{13}{2}m-\frac{9}{2}n)$人；当$m=10,n=8$时，上车的乘客有29人。
【知识点】
1. 整式的加减运算
2. 代数式求值
【点评】
本题是整式实际应用的常规题型，重点考查对数量关系的梳理能力，以及去括号、合并同类项的运算能力，运算过程中要注意系数和符号的处理，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.8
19. (9分)探究题:如图8是用棋子摆成的“T”字图案.
从图案中可以看出,第1个“T”字图案需要5枚棋子,第2个“T”字图案需要8枚棋子,第3个“T”字图案需要11枚棋子.
(1)照此规律,摆成第10个图案需要枚棋子.
(2)摆成第n个图案需要多少枚棋子?
(3)摆成第2 025个图案需要多少枚棋子?
从图案中可以看出,第1个“T”字图案需要5枚棋子,第2个“T”字图案需要8枚棋子,第3个“T”字图案需要11枚棋子.
(1)照此规律,摆成第10个图案需要枚棋子.
(2)摆成第n个图案需要多少枚棋子?
(3)摆成第2 025个图案需要多少枚棋子?
答案
(1) $\boldsymbol{32}$
解析
【分析】
先观察已知的三个“T”字图案对应的棋子数量：第1个需5枚，第2个需8枚，第3个需11枚，可发现相邻两个图案的棋子数相差3，即每增加1个图案，棋子数增加3枚。我们可以先推导第n个图案的棋子数的通用表达式，再分别代入n=10、n=2025即可求解对应问题。
【解析】
观察各图案棋子数和图案序号的关系：
第1个图案：$5 = 3×1 + 2$
第2个图案：$8 = 3×2 + 2$
第3个图案：$11 = 3×3 + 2$
……
由此可归纳出规律：第n个图案需要的棋子数为$(3n+2)$枚。
(1) 当$n=10$时，$3×10 + 2 = 32$（枚）；
(2) 由上述规律可得，摆成第n个图案需要$(3n+2)$枚棋子；
(3) 当$n=2025$时，$3×2025 + 2 = 6075 + 2 = 6077$（枚）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{32}$；(2) $\boldsymbol{(3n+2)}$枚；(3) $\boldsymbol{6077}$枚
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题核心是通过观察已知图形的数量变化特征，归纳出通用的代数式表示规律，再代入对应数值计算，侧重考查观察归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
先观察已知的三个“T”字图案对应的棋子数量：第1个需5枚，第2个需8枚，第3个需11枚，可发现相邻两个图案的棋子数相差3，即每增加1个图案，棋子数增加3枚。我们可以先推导第n个图案的棋子数的通用表达式，再分别代入n=10、n=2025即可求解对应问题。
【解析】
观察各图案棋子数和图案序号的关系：
第1个图案：$5 = 3×1 + 2$
第2个图案：$8 = 3×2 + 2$
第3个图案：$11 = 3×3 + 2$
……
由此可归纳出规律：第n个图案需要的棋子数为$(3n+2)$枚。
(1) 当$n=10$时，$3×10 + 2 = 32$（枚）；
(2) 由上述规律可得，摆成第n个图案需要$(3n+2)$枚棋子；
(3) 当$n=2025$时，$3×2025 + 2 = 6075 + 2 = 6077$（枚）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{32}$；(2) $\boldsymbol{(3n+2)}$枚；(3) $\boldsymbol{6077}$枚
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题核心是通过观察已知图形的数量变化特征，归纳出通用的代数式表示规律，再代入对应数值计算，侧重考查观察归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
