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一、选择题
1. 如图，已知∠1=∠2，下列补充的条件中，不能判定△ABC∽△ADE 的是（
A.∠B=∠ADE；
B.∠C=∠E；
C.$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$；
D.$\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$。
1. 如图，已知∠1=∠2，下列补充的条件中，不能判定△ABC∽△ADE 的是（
D
）A.∠B=∠ADE；
B.∠C=∠E；
C.$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$；
D.$\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$。
答案
1. D.
解析
【分析】
要判断哪个条件不能判定△ABC∽△ADE，首先从已知条件推导公共相等角：已知∠1=∠2，根据角的和差关系，∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，可得∠BAC=∠DAE，即两个三角形已经有一组对应角相等。结合相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，只需判断各选项是否满足上述判定要求即可：若补充角的条件，只需再有一组角相等即可判定相似；若补充边的条件，需是∠BAC和∠DAE的两组夹边对应成比例才能判定相似，否则不能判定。
【解析】
解：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。
A、若∠B=∠ADE，结合∠BAC=∠DAE，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
B、若∠C=∠E，结合∠BAC=∠DAE，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
C、若$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，且两边的夹角∠BAC=∠DAE，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
D、若$\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$，相等的角∠BAC不是成比例的两组边的夹角，不满足相似三角形的判定条件，不能判定△ABC∽△ADE，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；角的和差计算；夹角识别
【点评】
本题核心是对相似三角形判定定理的灵活运用，解题的关键是先推出一组相等的对应角，再对照判定定理逐一验证选项，需要特别注意“两边成比例且夹角相等”的判定条件中，角必须是两组对应边的夹角，避免误判。
【难度系数】
0.7
要判断哪个条件不能判定△ABC∽△ADE，首先从已知条件推导公共相等角：已知∠1=∠2，根据角的和差关系，∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，可得∠BAC=∠DAE，即两个三角形已经有一组对应角相等。结合相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，只需判断各选项是否满足上述判定要求即可：若补充角的条件，只需再有一组角相等即可判定相似；若补充边的条件，需是∠BAC和∠DAE的两组夹边对应成比例才能判定相似，否则不能判定。
【解析】
解：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。
A、若∠B=∠ADE，结合∠BAC=∠DAE，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
B、若∠C=∠E，结合∠BAC=∠DAE，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
C、若$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，且两边的夹角∠BAC=∠DAE，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
D、若$\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$，相等的角∠BAC不是成比例的两组边的夹角，不满足相似三角形的判定条件，不能判定△ABC∽△ADE，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；角的和差计算；夹角识别
【点评】
本题核心是对相似三角形判定定理的灵活运用，解题的关键是先推出一组相等的对应角，再对照判定定理逐一验证选项，需要特别注意“两边成比例且夹角相等”的判定条件中，角必须是两组对应边的夹角，避免误判。
【难度系数】
0.7
2. 如图，已知在$△ ABC$与$△ ADE$中，$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，$BC$与$AD$交于点$F$，连接$BD$、$CE$，那么当点$B$、$C$、$E$在同一直线上时，下列选项中的两个三角形不相似的是（
A.$△ ABC$与$△ ADE$；
B.$△ ABD$与$△ ACE$；
C.$△ ABF$与$△ EDF$；
D.$△ BFD$与$△ BDE$.
D
）A.$△ ABC$与$△ ADE$；
B.$△ ABD$与$△ ACE$；
C.$△ ABF$与$△ EDF$；
D.$△ BFD$与$△ BDE$.
答案
2. D.
解析
【分析】
解题时先从题干给出的三组边对应成比例的条件入手，首先利用相似三角形的判定定理判断选项A中的两个三角形是否相似；再结合相似三角形对应角相等的性质，推导得到角的等量关系，结合边的比例判断选项B；接着利用相似的角的结论和对顶角相等的性质判断选项C；最后排查选项D中两个三角形是否满足相似的判定条件，即可得出答案。
【解析】
解：① 判断选项A：
已知$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”，可得$△ ABC ∽ △ ADE$，故A选项两个三角形相似，不符合题意。
② 判断选项B：
由$△ ABC ∽ △ ADE$得$∠ BAC=∠ DAE$，
等式两边同时减去$∠ DAC$，得$∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$，即$∠ BAD=∠ CAE$。
又$\because \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，交叉变形得$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，
根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得$△ ABD ∽ △ ACE$，故B选项两个三角形相似，不符合题意。
③ 判断选项C：
由$△ ABC ∽ △ ADE$得$∠ ABC=∠ ADE$，即$∠ ABF=∠ EDF$，
又$\because ∠ AFB$和$∠ EFD$是对顶角，$\therefore ∠ AFB=∠ EFD$，
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$△ ABF ∽ △ EDF$，故C选项两个三角形相似，不符合题意。
④ 判断选项D：
$△ BFD$和$△ BDE$仅有公共角$∠ FBD=∠ DBE$，无法证明存在另一组角相等，也无法证明夹公共角的两组边对应成比例，因此两个三角形不相似，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础综合题，解题的关键是从已知的边比例关系出发，结合相似的性质推导角的等量关系，逐一验证每个选项即可，注意公共角、对顶角等隐含条件的运用。
【难度系数】
0.7
解题时先从题干给出的三组边对应成比例的条件入手，首先利用相似三角形的判定定理判断选项A中的两个三角形是否相似；再结合相似三角形对应角相等的性质，推导得到角的等量关系，结合边的比例判断选项B；接着利用相似的角的结论和对顶角相等的性质判断选项C；最后排查选项D中两个三角形是否满足相似的判定条件，即可得出答案。
【解析】
解：① 判断选项A：
已知$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”，可得$△ ABC ∽ △ ADE$，故A选项两个三角形相似，不符合题意。
② 判断选项B：
由$△ ABC ∽ △ ADE$得$∠ BAC=∠ DAE$，
等式两边同时减去$∠ DAC$，得$∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$，即$∠ BAD=∠ CAE$。
又$\because \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，交叉变形得$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，
根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得$△ ABD ∽ △ ACE$，故B选项两个三角形相似，不符合题意。
③ 判断选项C：
由$△ ABC ∽ △ ADE$得$∠ ABC=∠ ADE$，即$∠ ABF=∠ EDF$，
又$\because ∠ AFB$和$∠ EFD$是对顶角，$\therefore ∠ AFB=∠ EFD$，
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$△ ABF ∽ △ EDF$，故C选项两个三角形相似，不符合题意。
④ 判断选项D：
$△ BFD$和$△ BDE$仅有公共角$∠ FBD=∠ DBE$，无法证明存在另一组角相等，也无法证明夹公共角的两组边对应成比例，因此两个三角形不相似，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础综合题，解题的关键是从已知的边比例关系出发，结合相似的性质推导角的等量关系，逐一验证每个选项即可，注意公共角、对顶角等隐含条件的运用。
【难度系数】
0.7
3. 已知BD是四边形ABCD的对角线，$∠ BDC = ∠ A$. 下列补充的条件中，不能判定$△ ABD$与$△ DBC$相似的是 （
A.$∠ ABD = ∠ CBD$；
B.$∠ ADB = ∠ C$；
C.$AB · DC = AD · DB$；
D.$BD^2 = AD · CD$.
A
D
）A.$∠ ABD = ∠ CBD$；
B.$∠ ADB = ∠ C$；
C.$AB · DC = AD · DB$；
D.$BD^2 = AD · CD$.
A
答案
3. D.
解析
【分析】
要判断△ABD与△DBC是否相似，已知已有一组对应角相等：∠BDC=∠A。根据相似三角形的判定规则，已有一组等角时，要么补充另一组对应角相等（用AA判定），要么补充这组等角的两组夹边对应成比例（用SAS判定），我们只需逐个验证选项是否满足上述两种情况即可。
【解析】
已知∠BDC=∠A，逐一分析选项：
A. 若∠ABD=∠CBD，此时在△ABD和△DBC中，∠A=∠BDC，∠ABD=∠CBD，根据两角分别相等的两个三角形相似（AA判定），可证△ABD∽△DBC，不符合题意；
B. 若∠ADB=∠C，此时在△ABD和△DBC中，∠A=∠BDC，∠ADB=∠C，根据AA判定，可证△ABD∽△DBC，不符合题意；
C. 若$AB·DC = AD·DB$，变形可得$\frac{AB}{DB}=\frac{AD}{DC}$，这是∠A的两边（AB、AD）与∠BDC的两边（DB、DC）对应成比例，且夹角∠A=∠BDC，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS判定），可证△ABD∽△DBC，不符合题意；
D. 若$BD^2 = AD·CD$，变形可得$\frac{BD}{AD}=\frac{CD}{BD}$，该比例的两组边不是∠A和∠BDC的夹边，不满足SAS判定，也没有新增等角，因此不能判定两个三角形相似，符合题意。
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定，比例的基本性质
【点评】本题是相似三角形判定的基础应用题，易错点是验证两边成比例时容易弄错对应边，需牢记相等角的两组夹边对应成比例才能用SAS判定相似。
【难度系数】0.7
要判断△ABD与△DBC是否相似，已知已有一组对应角相等：∠BDC=∠A。根据相似三角形的判定规则，已有一组等角时，要么补充另一组对应角相等（用AA判定），要么补充这组等角的两组夹边对应成比例（用SAS判定），我们只需逐个验证选项是否满足上述两种情况即可。
【解析】
已知∠BDC=∠A，逐一分析选项：
A. 若∠ABD=∠CBD，此时在△ABD和△DBC中，∠A=∠BDC，∠ABD=∠CBD，根据两角分别相等的两个三角形相似（AA判定），可证△ABD∽△DBC，不符合题意；
B. 若∠ADB=∠C，此时在△ABD和△DBC中，∠A=∠BDC，∠ADB=∠C，根据AA判定，可证△ABD∽△DBC，不符合题意；
C. 若$AB·DC = AD·DB$，变形可得$\frac{AB}{DB}=\frac{AD}{DC}$，这是∠A的两边（AB、AD）与∠BDC的两边（DB、DC）对应成比例，且夹角∠A=∠BDC，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS判定），可证△ABD∽△DBC，不符合题意；
D. 若$BD^2 = AD·CD$，变形可得$\frac{BD}{AD}=\frac{CD}{BD}$，该比例的两组边不是∠A和∠BDC的夹边，不满足SAS判定，也没有新增等角，因此不能判定两个三角形相似，符合题意。
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定，比例的基本性质
【点评】本题是相似三角形判定的基础应用题，易错点是验证两边成比例时容易弄错对应边，需牢记相等角的两组夹边对应成比例才能用SAS判定相似。
【难度系数】0.7
二、填空题
4. 如图，已知在$△ ABC$中，$AB=8$，$D$、$E$分别是边$AC$、$AB$上的点，$∠ ADE=∠ B$，$DE=4$，$AD=5$，那么$BC$的长为
4. 如图，已知在$△ ABC$中，$AB=8$，$D$、$E$分别是边$AC$、$AB$上的点，$∠ ADE=∠ B$，$DE=4$，$AD=5$，那么$BC$的长为
$\frac{32}{5}$
。答案
4. $\frac{32}{5}$.
解析
【分析】
首先观察图形，△ADE和△ABC有公共角∠A，结合题目给出的∠ADE=∠B，可根据两角分别相等判定两个三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知线段长度即可求出BC的长。
【解析】
在$△ ADE$和$△ ABC$中：
$\because ∠ A = ∠ A$（公共角），$∠ ADE = ∠ B$（已知）
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$
将$AB=8$，$DE=4$，$AD=5$代入上式：
$\frac{5}{8} = \frac{4}{BC}$
交叉相乘得：$5BC = 32$
解得：$BC = \frac{32}{5}$
【答案】
$\frac{32}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，解题核心是先通过两组对应角相等证明三角形相似，再借助相似三角形对应边成比例建立等式求解未知线段，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，△ADE和△ABC有公共角∠A，结合题目给出的∠ADE=∠B，可根据两角分别相等判定两个三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知线段长度即可求出BC的长。
【解析】
在$△ ADE$和$△ ABC$中：
$\because ∠ A = ∠ A$（公共角），$∠ ADE = ∠ B$（已知）
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$
将$AB=8$，$DE=4$，$AD=5$代入上式：
$\frac{5}{8} = \frac{4}{BC}$
交叉相乘得：$5BC = 32$
解得：$BC = \frac{32}{5}$
【答案】
$\frac{32}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，解题核心是先通过两组对应角相等证明三角形相似，再借助相似三角形对应边成比例建立等式求解未知线段，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
