1. 小明用软件绘制抛物线$y=3x^2$时，将系数“3”误输入为“$\frac{1}{3}$”，得到的新抛物线与原抛物线相比，发生改变的是 （）

A.开口大小；
B.开口方向；
C.对称轴；
D.顶点坐标.

1. A.

【分析】
解题时首先明确两个抛物线的解析式分别为原抛物线$y=3x^2$、错输后得到的抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$，二者均为$y=ax^2(a≠0)$的形式。我们只需结合二次函数$y=ax^2$的性质，逐一判断各选项对应的特征是否受二次项系数$a$变化的影响即可：首先明确开口方向由$a$的正负决定，开口大小由$|a|$的大小决定，$y=ax^2$的对称轴固定为$y$轴、顶点固定为原点，再对比两个解析式中$a$的特征就能得出结论。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2(a≠0)$：
1. 开口方向：由$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。本题中$3＞0$，$\frac{1}{3}＞0$，两个抛物线开口方向均向上，故B选项不符合要求；
2. 开口大小：由$|a|$的大小决定，$|a|$越大，抛物线开口越小。本题中$|3|≠|\frac{1}{3}|$，因此两个抛物线开口大小不同，故A选项符合要求；
3. 对称轴：$y=ax^2$的对称轴固定为直线$x=0$（即$y$轴），与$a$的取值无关，故C选项不符合要求；
4. 顶点坐标：$y=ax^2$的顶点固定为原点$(0,0)$，与$a$的取值无关，故D选项不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图像性质，二次项系数的作用
【点评】
本题考查二次项系数对抛物线$y=ax^2$的影响，属于基础题型，牢记$a$的符号决定开口方向、$|a|$的大小决定开口大小是解题的核心。
【难度系数】
0.9

2. 如果原点是抛物线$y=(m+1)x^2$的最高点，那么$m$的取值范围是 （）

A.$m≥ -1$；
B.$m＜-1$；
C.$m＞-1$；
D.$m≤ -1$

2. B.

【分析】
解题时可按以下思路推导：首先，抛物线对应二次函数，因此二次项系数不能为0；其次，回忆二次函数$y=ax^2$的性质：当$a＞0$时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点为最高点。题目中原点是最高点，说明抛物线开口向下，即二次项系数小于0，最后列不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵ $y=(m+1)x^2$的图像是抛物线，
∴ 该函数为二次函数，二次项系数$m+1≠0$，
又
∵ 原点是抛物线的最高点，
∴ 抛物线开口向下，即二次项系数小于0，
可得不等式：$m+1 ＜ 0$，
解得：$m ＜ -1$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 二次函数$y=ax^2$的图像性质
【点评】
本题考查二次函数开口方向与二次项系数的关系，解题关键是明确“最高点”对应抛物线开口向下，同时要注意二次函数的隐含条件：二次项系数不为0，避免误选D选项。
【难度系数】
0.8

3. 在下列函数中，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减少的是 （）

A.$y=-\dfrac{2}{x}$；
B.$y=\dfrac{x}{2}$；
C.$y=-2x^2$；
D.$y=2x^2$。

3. C.

【分析】
解题时先明确每个选项对应的函数类型，再分别回忆各类函数的增减性规律，结合题目给出的$x＞0$的取值范围逐一分析判断，最终选出符合“$y$随$x$的增大而减少”的选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A. 函数$y=-\dfrac{2}{x}$是反比例函数，$k=-2＜0$，图像位于第二、四象限，当$x＞0$时，对应第四象限内的图像分支，此时$y$随$x$的增大而增大，不符合要求；
B. 函数$y=\dfrac{x}{2}$是正比例函数，$k=\dfrac{1}{2}＞0$，在全体实数范围内$y$随$x$的增大而增大，不符合要求；
C. 函数$y=-2x^2$是二次函数，$a=-2＜0$，图像开口向下，对称轴为$y$轴（即$x=0$），在对称轴右侧$x＞0$的范围内，$y$随$x$的增大而减小，符合要求；
D. 函数$y=2x^2$是二次函数，$a=2＞0$，图像开口向上，对称轴为$y$轴，在对称轴右侧$x＞0$的范围内，$y$随$x$的增大而增大，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质；正比例函数的性质；二次函数$y=ax^2$的性质
【点评】
本题考查常见函数增减性的判断，解题的关键是熟练掌握不同函数的图像与性质，分析时要注意结合自变量的取值范围，二次函数还需要结合开口方向、对称轴判断增减区间。
【难度系数】
0.8

二、填空题
4. 二次函数$y=5x^2$图像的开口向，顶点是，对称轴是；当x时，y随x的增大而增大。

4. 上；(0,0)；y轴；＞0.

【分析】
解决这道题需围绕二次函数$y=ax^2(a≠0)$的基本性质逐步推导：第一步先通过二次项系数$a$的正负判断开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；第二步回忆无一次项、常数项的二次函数的固定顶点和对称轴；第三步结合开口方向判断增减性规律，开口向上时对称轴右侧y随x增大而增大，开口向下时则相反，按这个思路就能逐一填出所有空。
【解析】
对于二次函数$y=5x^2$：
1. 二次项系数$a=5＞0$，因此图像开口向上；
2. 该函数属于$y=ax^2$的最简形式，无一次项和常数项，因此顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为y轴；
3. 因为图像开口向上，在对称轴右侧即$x＞0$的区间内，y随x的增大而增大。
【答案】
上；$(0,0)$；y轴；$＞0$
【知识点】
二次函数开口判断，二次函数顶点与对称轴，二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，只要熟练记忆$y=ax^2$类二次函数的相关规律，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9

5. 如果抛物线 $ y=(a - 1)x^2 $（a 为常数）开口向下，那么 a 的取值范围是。

5. $a＜1$.

【分析】
要解决本题，需结合二次函数$y=ax^2$的图像性质思考：首先，抛物线的开口方向由二次项系数的符号决定，当二次项系数大于0时，抛物线开口向上；当二次项系数小于0时，抛物线开口向下。本题中抛物线的二次项系数为$(a-1)$，结合开口向下的条件，列出不等式求解即可得到a的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=Ax^2(A≠0)$，其开口方向与二次项系数$A$的符号相关：
若抛物线开口向下，则$A＜0$。
本题中抛物线为$y=(a - 1)x^2$，对应的二次项系数$A=a-1$，
因为抛物线开口向下，所以可得不等式：
$a-1＜0$
解得：$a＜1$
【答案】
$a＜1$
【知识点】
二次函数图像性质，一元一次不等式求解
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数开口方向和二次项系数符号的对应关系，解题时只需牢记相关性质即可快速求解，需注意抛物线隐含二次项系数不为0的条件，本题解得的结果$a＜1$已自动满足该条件，无需额外限制。
【难度系数】
0.9

6. 已知二次函数$y=mx^2$，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，则$m$的取值范围是。

6. $m＞0$.

【分析】
要解决这道题，首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：该类函数的对称轴为y轴（直线$x=0$），开口方向由二次项系数$a$的符号决定，不同开口方向对应不同的增减性规律。我们需要结合题目给出的“$x＜0$时$y$随$x$的增大而减小”的条件，判断$m$的符号，同时注意二次项系数不能为0的隐含要求。
【解析】
∵ 函数$y=mx^2$是二次函数，
∴ $m≠0$，
二次函数$y=mx^2$的对称轴为直线$x=0$（y轴）：
① 当$m＞0$时，抛物线开口向上，此时在对称轴左侧（$x＜0$的区域），$y$随$x$的增大而减小，符合题设条件；
② 当$m＜0$时，抛物线开口向下，此时在对称轴左侧（$x＜0$的区域），$y$随$x$的增大而增大，不符合题设条件。
综上，$m$的取值范围是$m＞0$。
【答案】
$m＞0$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 函数增减性判断
3. 抛物线开口与系数的关系
【点评】
本题考查二次函数基础性质，属于基础题型，解题关键是牢记二次项系数的符号对抛物线开口方向、增减性的影响，做题时注意不要遗漏二次项系数不为0的隐含要求即可。
【难度系数】
0.9

7. 若点A(2,−3)在二次函数$y=ax^2$的图像上，则点A关于这个函数的对称轴对称的点B的坐标为。

7. $(-2,-3)$.

【分析】
解题思路分三步：第一步，先将点A的坐标代入二次函数解析式，求出参数a的值，确定函数的具体表达式；第二步，回忆二次函数$y=ax^2$的图像性质，明确其对称轴为y轴（直线$x=0$）；第三步，利用关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可求出对称点B的坐标。
【解析】
解：
∵点$A(2,-3)$在二次函数$y=ax^2$的图像上
∴将$x=2$，$y=-3$代入解析式得：
$-3 = a × 2^2$
解得$a = -\frac{3}{4}$
二次函数$y=ax^2$的对称轴为y轴（直线$x=0$）
根据关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标相等，横坐标互为相反数
∴点$A(2,-3)$关于y轴对称的点B的坐标为$(-2,-3)$
【答案】
$(-2,-3)$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数$y=ax^2$的性质；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题侧重考查基础性质的应用，只要熟练掌握二次函数$y=ax^2$的对称轴特点，以及轴对称点的坐标变换规律，就能快速求解。
【难度系数】
0.9

8. 如果四个二次函数的图像如图所示，那么$a_1$、$a_2$、$a_3$、$a_4$的大小关系是.(请用“＞”连接排序)

8. $a_1＞a_2＞a_3＞a_4$.

【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的图像性质：首先开口方向由$a$的符号决定，开口向上则$a＞0$，开口向下则$a＜0$，据此可先将四个$a$分为正、负两组，正数一定大于负数；其次抛物线的开口宽窄由$|a|$决定，$|a|$越大开口越窄，据此分别比较同组内$a$的大小：同是正数时，开口越窄$a$越大；同是负数时，开口越窄说明$|a|$越大，对应的负数反而越小，最后整合即可得到四个数的大小关系。
【解析】
1. 判断$a$的符号：根据二次函数$y=ax^2$的性质，开口向上时$a＞0$，开口向下时$a＜0$。观察图像可知，$y=a_1x^2$、$y=a_2x^2$开口向上，故$a_1＞0$，$a_2＞0$；$y=a_3x^2$、$y=a_4x^2$开口向下，故$a_3＜0$，$a_4＜0$，因此$a_1$、$a_2$均大于$a_3$、$a_4$。
2. 比较正数组$a_1$、$a_2$的大小：对于$y=ax^2$，$|a|$越大抛物线开口越窄。$y=a_1x^2$的开口比$y=a_2x^2$更窄，因此$|a_1|＞|a_2|$，即$a_1＞a_2＞0$。
3. 比较负数组$a_3$、$a_4$的大小：$y=a_3x^2$的开口比$y=a_4x^2$更宽，因此$|a_3|＜|a_4|$，两个负数比较大小，绝对值小的数更大，故$0＞a_3＞a_4$。
4. 整合得大小关系：$a_1＞a_2＞a_3＞a_4$。
【答案】
$a_1＞a_2＞a_3＞a_4$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 有理数大小比较
【点评】
本题是二次函数基础性质的应用，核心考查$y=ax^2$中$a$的符号、$|a|$的大小分别对开口方向、开口宽窄的影响，熟记相关性质即可快速求解，是二次函数图像部分的常规基础题。
【难度系数】
0.8

9. 已知点$A(-2,y_1)$、$B(1,y_2)$在函数$y=ax^2(a＜0)$的图像上，则$y_1$$y_2$.（填“＜”、“＞”或“=”）

9. ＜.

【分析】
解题思路可从两个方向入手：①代入求值法：将两点横坐标分别代入二次函数解析式，用含a的式子表示出y₁、y₂，再结合a＜0的条件比较两个代数式的大小；②性质分析法：先明确二次函数y=ax²（a＜0）的开口方向、对称轴，再根据“开口向下的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越小”的规律，比较两点到对称轴的距离即可判断y₁、y₂的大小。
【解析】
方法一（代入法）：
将点A(-2,y₁)、B(1,y₂)分别代入函数y=ax²得：
$y_1 = a·(-2)^2 = 4a$，
$y_2 = a·1^2 = a$。
已知a＜0，因为4＞1，不等式两边同时乘负数a，不等号方向改变，所以$4a ＜ a$，即$y_1 ＜ y_2$。
方法二（性质法）：
对于二次函数$y=ax^2(a＜0)$，其图像开口向下，对称轴为y轴（直线$x=0$），开口向下的抛物线上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小。
点A到y轴的距离为$|-2|=2$，点B到y轴的距离为$|1|=1$，
∵$2＞1$，
∴$y_1 ＜ y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图像与性质
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，两种解题方法都需要熟练掌握，利用函数性质判断可以更快速地得到结果，解题时要注意a的正负对开口方向和函数值变化的影响。
【难度系数】
0.8