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10 如图，正方形ABCD的顶点B、D在开口向上的二次函数$y=ax^2$的图像上，点B在点D的左侧，点A在y轴正半轴上。设点B、D的横坐标分别为m、n。若$n-m=2$，则$a=$
$\frac{1}{2}$
。答案
10. $\frac{1}{2}$. 提示：过点B作BF垂直y轴于点F，过点D作DE垂直y轴于点E，得$BF=m$，$OF=am^2$，$DE=n$，$OE=an^2$. 可以证明$△ ABF ≌ △ DAE$，得$EF=EA+AF=m+n$，且$EF=OE-OF=an^2-am^2$. 因此$m+n=an^2-am^2$. $a=\frac{m+n}{n^2-m^2}=\frac{1}{n-m}=\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
遇到坐标系内结合正方形和二次函数的题型，首先考虑通过作坐标轴的垂线构造直角三角形，利用正方形内角为90°、邻边相等的性质证明三角形全等，得到线段的等量关系；再结合二次函数图像上的点满足函数解析式，将点的坐标转化为线段长度，代入等量关系化简，最后结合已知条件$n-m=2$即可求出$a$的值。
【解析】
解：过点B作$BF⊥ y$轴于点F，过点D作$DE⊥ y$轴于点E。
∵点B、D在二次函数$y=ax^2$的图像上，横坐标分别为$m$、$n$，
∴$B(m, am^2)$，$D(n, an^2)$，即$BF=m$，$OF=am^2$，$DE=n$，$OE=an^2$。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AB=AD$，$∠ BAD=90°$，
∴$∠ BAF + ∠ DAE = 90°$。
又
∵$∠ BAF + ∠ ABF = 90°$，
∴$∠ ABF = ∠ DAE$。
在$△ ABF$和$△ DAE$中：
$\begin{cases}∠ AFB = ∠ DEA = 90° \\∠ ABF = ∠ DAE \\AB = DA\end{cases}$
∴$△ ABF ≌ △ DAE$（AAS），
∴$AF=DE=n$，$AE=BF=m$，
∴$EF = AF + AE = m + n$。
同时，$EF = OE - OF = an^2 - am^2$，
∴$m + n = an^2 - am^2$。
对右边因式分解得：$m + n = a(n - m)(n + m)$，
由题意可知$m + n ≠ 0$，两边同时除以$m + n$得：$1 = a(n - m)$。
已知$n - m = 2$，代入得$a = \frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
二次函数的图像与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，解题的核心是通过构造全等三角形建立线段的等量关系，再结合代数因式分解化简求解，考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
遇到坐标系内结合正方形和二次函数的题型，首先考虑通过作坐标轴的垂线构造直角三角形，利用正方形内角为90°、邻边相等的性质证明三角形全等，得到线段的等量关系；再结合二次函数图像上的点满足函数解析式，将点的坐标转化为线段长度，代入等量关系化简，最后结合已知条件$n-m=2$即可求出$a$的值。
【解析】
解：过点B作$BF⊥ y$轴于点F，过点D作$DE⊥ y$轴于点E。
∵点B、D在二次函数$y=ax^2$的图像上，横坐标分别为$m$、$n$，
∴$B(m, am^2)$，$D(n, an^2)$，即$BF=m$，$OF=am^2$，$DE=n$，$OE=an^2$。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AB=AD$，$∠ BAD=90°$，
∴$∠ BAF + ∠ DAE = 90°$。
又
∵$∠ BAF + ∠ ABF = 90°$，
∴$∠ ABF = ∠ DAE$。
在$△ ABF$和$△ DAE$中：
$\begin{cases}∠ AFB = ∠ DEA = 90° \\∠ ABF = ∠ DAE \\AB = DA\end{cases}$
∴$△ ABF ≌ △ DAE$（AAS），
∴$AF=DE=n$，$AE=BF=m$，
∴$EF = AF + AE = m + n$。
同时，$EF = OE - OF = an^2 - am^2$，
∴$m + n = an^2 - am^2$。
对右边因式分解得：$m + n = a(n - m)(n + m)$，
由题意可知$m + n ≠ 0$，两边同时除以$m + n$得：$1 = a(n - m)$。
已知$n - m = 2$，代入得$a = \frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
二次函数的图像与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，解题的核心是通过构造全等三角形建立线段的等量关系，再结合代数因式分解化简求解，考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
三、解答题
11. 在所给网格内建立恰当的直角坐标系，并画出二次函数 $ y=2x^2 $ 和 $ y=-\frac{1}{2}x^2 $ 的图像. 根据图像回答问题.（设小方格的边长为1）
（1）写出这两个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.
（2）关于抛物线 $ y=2x^2 $，当 $ x $
（3）关于二次函数 $ y=-\frac{1}{2}x^2 $，对于一切 $ x $ 的值，总有 $ y $
11. 在所给网格内建立恰当的直角坐标系，并画出二次函数 $ y=2x^2 $ 和 $ y=-\frac{1}{2}x^2 $ 的图像. 根据图像回答问题.（设小方格的边长为1）
（1）写出这两个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.
（2）关于抛物线 $ y=2x^2 $，当 $ x $
≠0
时，抛物线上的点都在 $ x $ 轴的上方，它的顶点是图像的最 低
点.（3）关于二次函数 $ y=-\frac{1}{2}x^2 $，对于一切 $ x $ 的值，总有 $ y $
≤
0；当 $ x $ =0
时，$ y $ 有最 大
值，该值是 0
.答案
11. (1)
二次函数$y=2x^2$的图像开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0)；二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图像开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0). (2) ≠0；低. (3) ≤；=0；大；0.解析
【分析】
解题思路如下：首先我们需要先建立合适的平面直角坐标系，通常选网格的合适位置为原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴，设定小方格边长为1单位长度。随后通过列表、描点、连线的步骤画出两个二次函数的图像，再结合二次函数$y=ax^2(a≠0)$的性质回答问题：①a的符号决定开口方向，a＞0开口向上，a＜0开口向下；②$y=ax^2$的对称轴都是y轴（直线x=0），顶点都是原点(0,0)；③开口向上的抛物线顶点是最低点，除顶点外所有点在x轴上方；开口向下的抛物线顶点是最高点，除顶点外所有点在x轴下方，顶点处取到最值。
【解析】
1. 建立坐标系与画图：在网格中以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，两轴交点为原点O，每个小方格边长为1建立平面直角坐标系。
画$y=2x^2$：取x=-2、-1、0、1、2，对应计算得y值为8、2、0、2、8，描出对应点后用平滑曲线连接，得到开口向上的抛物线。
画$y=-\frac{1}{2}x^2$：取x=-2、-1、0、1、2，对应计算得y值为-2、-0.5、0、-0.5、-2，描出对应点后用平滑曲线连接，得到开口向下的抛物线。
2. 回答问题：
(1) 观察图像可得：$y=2x^2$中a=2＞0，因此开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0)；$y=-\frac{1}{2}x^2$中a=-\frac{1}{2}＜0，因此开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0)。
(2) 对于$y=2x^2$，当x=0时y=0，x≠0时$2x^2＞0$，因此x≠0时抛物线上的点都在x轴上方；该抛物线开口向上，顶点是图像的最低点。
(3) 对于$y=-\frac{1}{2}x^2$，由于$x^2≥0$，因此$y=-\frac{1}{2}x^2≤0$恒成立；当x=0时，y取得最大值，最大值为0。
【答案】
(1) 二次函数$y=2x^2$的图像开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0)；二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图像开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0)。
(2) ≠0；低
(3) ≤；=0；大；0
【知识点】
二次函数y=ax²的图像，二次函数y=ax²的性质，二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数基础题，主要考查形如$y=ax^2$的二次函数的图像绘制方法和性质，需要熟练掌握a的取值对抛物线开口方向、最值的影响，牢记该类抛物线的对称轴和顶点特征。
【难度系数】
0.85
解题思路如下：首先我们需要先建立合适的平面直角坐标系，通常选网格的合适位置为原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴，设定小方格边长为1单位长度。随后通过列表、描点、连线的步骤画出两个二次函数的图像，再结合二次函数$y=ax^2(a≠0)$的性质回答问题：①a的符号决定开口方向，a＞0开口向上，a＜0开口向下；②$y=ax^2$的对称轴都是y轴（直线x=0），顶点都是原点(0,0)；③开口向上的抛物线顶点是最低点，除顶点外所有点在x轴上方；开口向下的抛物线顶点是最高点，除顶点外所有点在x轴下方，顶点处取到最值。
【解析】
1. 建立坐标系与画图：在网格中以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，两轴交点为原点O，每个小方格边长为1建立平面直角坐标系。
画$y=2x^2$：取x=-2、-1、0、1、2，对应计算得y值为8、2、0、2、8，描出对应点后用平滑曲线连接，得到开口向上的抛物线。
画$y=-\frac{1}{2}x^2$：取x=-2、-1、0、1、2，对应计算得y值为-2、-0.5、0、-0.5、-2，描出对应点后用平滑曲线连接，得到开口向下的抛物线。
2. 回答问题：
(1) 观察图像可得：$y=2x^2$中a=2＞0，因此开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0)；$y=-\frac{1}{2}x^2$中a=-\frac{1}{2}＜0，因此开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0)。
(2) 对于$y=2x^2$，当x=0时y=0，x≠0时$2x^2＞0$，因此x≠0时抛物线上的点都在x轴上方；该抛物线开口向上，顶点是图像的最低点。
(3) 对于$y=-\frac{1}{2}x^2$，由于$x^2≥0$，因此$y=-\frac{1}{2}x^2≤0$恒成立；当x=0时，y取得最大值，最大值为0。
【答案】
(1)
二次函数$y=2x^2$的图像开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0)；二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图像开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0)。(2) ≠0；低
(3) ≤；=0；大；0
【知识点】
二次函数y=ax²的图像，二次函数y=ax²的性质，二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数基础题，主要考查形如$y=ax^2$的二次函数的图像绘制方法和性质，需要熟练掌握a的取值对抛物线开口方向、最值的影响，牢记该类抛物线的对称轴和顶点特征。
【难度系数】
0.85
12. 根据条件，分别求 $ m $ 的值或取值范围.
(1) 二次函数 $ y=(2m-1)x^2 $ 有最小值.
(2) 当 $ x＜0 $ 时，二次函数 $ y=(m-2)x^2 $ 的函数值 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大.
(3) 二次函数 $ y=(m+1)x^2 $ 与 $ y=2x^2 $ 的函数图像形状相同.
(4) 函数 $ y=mx^{m^2+m} $ 的图像是开口向下的抛物线.
(1) 二次函数 $ y=(2m-1)x^2 $ 有最小值.
(2) 当 $ x＜0 $ 时，二次函数 $ y=(m-2)x^2 $ 的函数值 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大.
(3) 二次函数 $ y=(m+1)x^2 $ 与 $ y=2x^2 $ 的函数图像形状相同.
(4) 函数 $ y=mx^{m^2+m} $ 的图像是开口向下的抛物线.
答案
12. (1) $m＞\frac{1}{2}$. (2) $m＜2$. (3) $m=1$或$-3$. (4) $m=-2$.
解析
【分析】
本题围绕二次函数$y=ax^2(a≠0)$的定义与性质考查，解题核心是明确参数$a$的几何意义与性质关联：①二次函数要求二次项系数不为0，且自变量最高次数为2；②$a＞0$时抛物线开口向上，有最小值，在对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，右侧反之；③$a＜0$时抛物线开口向下，有最大值，在对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，右侧反之；④两个二次函数图像形状相同时，二次项系数的绝对值相等。解题时逐小问对应性质列不等式或方程求解即可。
【解析】
(1) 二次函数$y=(2m-1)x^2$有最小值，说明抛物线开口向上，二次项系数大于0：
列不等式$2m-1＞0$，解得$m＞\frac{1}{2}$。
(2) 二次函数$y=(m-2)x^2$的对称轴为$y$轴（$x=0$），当$x＜0$时$y$随$x$增大而增大，说明抛物线开口向下，二次项系数小于0：
列不等式$m-2＜0$，解得$m＜2$。
(3) 二次函数图像形状由二次项系数的绝对值决定，$y=(m+1)x^2$与$y=2x^2$形状相同，故：
$|m+1|=|2|$，即$m+1=2$或$m+1=-2$，
解得$m=1$或$m=-3$，代入验证二次项系数均不为0，符合要求。
(4) 函数$y=mx^{m^2+m}$的图像是开口向下的抛物线，说明该函数是开口向下的二次函数，需满足两个条件：
① 自变量最高次数为2：$m^2+m=2$；
② 二次项系数小于0：$m＜0$。
先解方程$m^2+m-2=0$，因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得$m=-2$或$m=1$，结合$m＜0$的要求，舍去$m=1$，故$m=-2$。
【答案】
(1) $m＞\frac{1}{2}$；(2) $m＜2$；(3) $m=1$或$-3$；(4) $m=-2$
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 二次函数$y=ax^2$的图像与性质
3. 二次函数图像形状判定
【点评】
本题是二次函数基础性质的典型考查题，需要熟练掌握参数$a$对二次函数开口方向、增减性、图像形状的影响，解题时要注意“二次函数二次项系数不为0”的隐含条件，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
本题围绕二次函数$y=ax^2(a≠0)$的定义与性质考查，解题核心是明确参数$a$的几何意义与性质关联：①二次函数要求二次项系数不为0，且自变量最高次数为2；②$a＞0$时抛物线开口向上，有最小值，在对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，右侧反之；③$a＜0$时抛物线开口向下，有最大值，在对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，右侧反之；④两个二次函数图像形状相同时，二次项系数的绝对值相等。解题时逐小问对应性质列不等式或方程求解即可。
【解析】
(1) 二次函数$y=(2m-1)x^2$有最小值，说明抛物线开口向上，二次项系数大于0：
列不等式$2m-1＞0$，解得$m＞\frac{1}{2}$。
(2) 二次函数$y=(m-2)x^2$的对称轴为$y$轴（$x=0$），当$x＜0$时$y$随$x$增大而增大，说明抛物线开口向下，二次项系数小于0：
列不等式$m-2＜0$，解得$m＜2$。
(3) 二次函数图像形状由二次项系数的绝对值决定，$y=(m+1)x^2$与$y=2x^2$形状相同，故：
$|m+1|=|2|$，即$m+1=2$或$m+1=-2$，
解得$m=1$或$m=-3$，代入验证二次项系数均不为0，符合要求。
(4) 函数$y=mx^{m^2+m}$的图像是开口向下的抛物线，说明该函数是开口向下的二次函数，需满足两个条件：
① 自变量最高次数为2：$m^2+m=2$；
② 二次项系数小于0：$m＜0$。
先解方程$m^2+m-2=0$，因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得$m=-2$或$m=1$，结合$m＜0$的要求，舍去$m=1$，故$m=-2$。
【答案】
(1) $m＞\frac{1}{2}$；(2) $m＜2$；(3) $m=1$或$-3$；(4) $m=-2$
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 二次函数$y=ax^2$的图像与性质
3. 二次函数图像形状判定
【点评】
本题是二次函数基础性质的典型考查题，需要熟练掌握参数$a$对二次函数开口方向、增减性、图像形状的影响，解题时要注意“二次函数二次项系数不为0”的隐含条件，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
