13 如图，在平面直角坐标系中，四条直线$x=1$，$x=2$，$y=1$，$y=2$围成正方形ABCD.
（1）已知抛物线$y=ax^2$与正方形ABCD有交点，求$a$的取值范围.
（2）若抛物线$y=ax^2$与正方形ABCD没有交点，则$a$的取值范围是.

13. (1) $\frac{1}{4} ≤ a ≤ 2$. 提示：因为$|a|$越大，抛物线开口越小，所以抛物线经过点A时，$a$的值最大；抛物线经过点C时，$a$的值最小.
(2) $a＜0$或$0＜a＜\frac{1}{4}$或$a＞2$.

【分析】
首先确定正方形ABCD的四个顶点坐标：由x=1、x=2、y=1、y=2四条直线围成正方形，可得A(1,2)、B(1,1)、C(2,1)、D(2,2)。再结合二次函数$y=ax^2$的性质：a的符号决定开口方向，a＞0开口向上，a＜0开口向下（图像在x轴及下方，不可能和第一象限的正方形相交）；a的绝对值决定开口大小，|a|越大开口越小，|a|越小开口越大。要找抛物线和正方形有交点的a的范围，只需找到抛物线刚好经过正方形的两个临界顶点（最左上方的A和最右下方的C）对应的a值，即可得到临界取值，再推导范围；无交点的情况则是有交点范围之外的部分，注意补充a＜0的情况。
【解析】
首先计算正方形四个顶点坐标：
由直线x=1、x=2、y=1、y=2围成正方形，得四个顶点为$A(1,2)$、$B(1,1)$、$C(2,1)$、$D(2,2)$。
（1）求抛物线与正方形有交点时a的取值范围：
① 当$a＜0$时，抛物线$y=ax^2$开口向下，顶点在原点，所有点的纵坐标$y≤0$，而正方形的纵坐标$y≥1$，此时无交点，排除；
② 当$a＞0$时，抛物线开口向上：
若抛物线经过点$A(1,2)$，代入$y=ax^2$得：$2 = a×1^2$，解得$a=2$，此时a为有交点时的最大值（a越大开口越小，$a＞2$时开口过小，$x=1$处$y＞2$，无法和正方形相交）；
若抛物线经过点$C(2,1)$，代入$y=ax^2$得：$1 = a×2^2$，解得$a=\frac{1}{4}$，此时a为有交点时的最小值（a越小开口越大，$0＜a＜\frac{1}{4}$时开口过大，$x=2$处$y＜1$，无法和正方形相交）。
综上，抛物线和正方形有交点时，a的取值范围是$\frac{1}{4} ≤ a ≤ 2$。
（2）求抛物线与正方形没有交点时a的取值范围：
结合（1）的结论，没有交点的情况为：
① $a＜0$，开口向下，无交点；
② $0＜a＜\frac{1}{4}$，开口过大，抛物线在正方形下方，无交点；
③ $a＞2$，开口过小，抛物线在正方形左上方，无交点。
综上，无交点时a的取值范围是$a＜0$或$0＜a＜\frac{1}{4}$或$a＞2$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4} ≤ a ≤ 2$；(2) $a＜0$或$0＜a＜\frac{1}{4}$或$a＞2$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质，函数交点问题，不等式取值范围
【点评】
本题结合二次函数图像性质与正方形的特征，考查数形结合思想的应用，解题的关键是找到抛物线与正方形相交的两个临界顶点，计算出临界a值，同时要注意a的符号对开口方向的影响，避免漏解。
【难度系数】
0.6