1 解方程：
(1) $[2026杭州期中]5x - 1 = 2x + 5$；
(2) $3 - 2(2x + 1) = 2(x - 3)$。

(1) $x=2$ (2) $x=\frac{7}{6}$

【分析】
本题考查一元一次方程的求解，遵循解一元一次方程的常规步骤即可：对于无括号的方程，先移项（移项要变号），将含未知数的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，再合并同类项，最后将未知数的系数化为1得到解；对于带括号的方程，先去括号（注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号，且系数要乘遍括号内所有项），再按移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解。
【解析】
(1) 解方程 $5x - 1 = 2x + 5$
第一步：移项，得 $5x - 2x = 5 + 1$
第二步：合并同类项，得 $3x = 6$
第三步：系数化为1，两边同时除以3，得 $x = 2$
(2) 解方程 $3 - 2(2x + 1) = 2(x - 3)$
第一步：去括号，得 $3 - 4x - 2 = 2x - 6$
第二步：合并左侧常数项，得 $1 - 4x = 2x - 6$
第三步：移项，得 $-4x - 2x = -6 - 1$
第四步：合并同类项，得 $-6x = -7$
第五步：系数化为1，两边同时除以$-6$，得 $x = \frac{7}{6}$
【答案】
(1) $x=2$；(2) $x=\frac{7}{6}$
【知识点】
解一元一次方程，移项法则，去括号法则
【点评】
这两道是一元一次方程解法的基础训练题，核心考查移项时的变号规则、去括号时的符号处理和乘法分配律的正确运用，熟练掌握这些基础操作是后续解决复杂一元一次方程及方程应用类问题的前提。
【难度系数】
0.85

2 教材 P142 作业题 T2 变式 解方程：
(1) $\frac{3x + 1}{3} = \frac{7 + x}{6}$；
(2) $[2026$ 杭州期中$]\frac{x - 1}{2} = 1 + \frac{5x + 2}{6}$。

(1) $x=1$ (2) $x=-\frac{11}{2}$

【分析】
解带分母的一元一次方程遵循固定解题步骤即可：①先找所有分母的最小公倍数，方程两边同时乘这个公倍数去掉分母，注意常数项也要乘，不能漏乘；②去括号，若括号前是负号，括号内所有项都要变号；③移项，将含未知数的项移到等号左侧，常数项移到右侧，移项要变号；④合并同类项；⑤系数化为1得到方程的解。这两道题分母均为整数，按上述步骤依次计算即可。
【解析】
(1) 解方程 $\frac{3x + 1}{3} = \frac{7 + x}{6}$
去分母（两边同乘6，3和6的最小公倍数），得：
$2(3x+1)=7+x$
去括号，得：
$6x + 2 = 7 + x$
移项，得：
$6x - x = 7 - 2$
合并同类项，得：
$5x = 5$
系数化为1，得：
$x=1$
(2) 解方程 $\frac{x - 1}{2} = 1 + \frac{5x + 2}{6}$
去分母（两边同乘6，2和6的最小公倍数），得：
$3(x-1)=6 + 5x + 2$
去括号，得：
$3x - 3 = 5x + 8$
移项，得：
$3x - 5x = 8 + 3$
合并同类项，得：
$-2x = 11$
系数化为1，得：
$x=-\frac{11}{2}$
【答案】
(1) $x=1$；(2) $x=-\frac{11}{2}$
【知识点】
一元一次方程的解法、等式的基本性质、去括号法则
【点评】
这两道题是一元一次方程解法的基础题型，核心考察去分母操作的规范性，解题时需注意去分母时常数项不能漏乘公分母，去括号、移项时注意符号变化，熟练掌握解题步骤即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8

3 解方程：
(1) $\frac{3}{4}[\frac{4}{3}(\frac{1}{4}x -1)+8]=\frac{7}{3}+\frac{2}{3}x$；
(2) $\frac{0.3x +0.8}{0.5}-\frac{0.02x +0.3}{0.3}-1=\frac{0.8x -0.4}{3}$。

(1) $x=\frac{32}{5}$ (2) $x=1$

【分析】
这是两道一元一次方程求解的题目：
(1) 方程含多层括号，观察到外层的$\frac{3}{4}$和中括号内的$\frac{4}{3}$互为倒数，可先利用乘法分配律去中括号，直接消去分数系数，简化计算，后续按移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可。
(2) 方程的分母含小数，首先利用分数的基本性质，将各分数的分子分母同乘合适的数，把小数分母转化为整数，再按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤求解。
【解析】
(1) 解方程$\frac{3}{4}[\frac{4}{3}(\frac{1}{4}x -1)+8]=\frac{7}{3}+\frac{2}{3}x$
利用乘法分配律去中括号：
$\frac{3}{4}×\frac{4}{3}(\frac{1}{4}x -1) + \frac{3}{4}×8 = \frac{7}{3}+\frac{2}{3}x$
化简得：$\frac{1}{4}x -1 + 6 = \frac{7}{3}+\frac{2}{3}x$
合并左侧常数项：$\frac{1}{4}x + 5 = \frac{7}{3}+\frac{2}{3}x$
两边同乘12去分母：$3x + 60 = 28 + 8x$
移项：$3x - 8x = 28 - 60$
合并同类项：$-5x = -32$
系数化为1：$x = \frac{32}{5}$
(2) 解方程$\frac{0.3x +0.8}{0.5}-\frac{0.02x +0.3}{0.3}-1=\frac{0.8x -0.4}{3}$
利用分数基本性质化小数分母为整数：
$\frac{(0.3x+0.8)×10}{0.5×10} - \frac{(0.02x+0.3)×100}{0.3×100} -1 = \frac{(0.8x-0.4)×10}{3×10}$
化简并约分：$\frac{3x+8}{5} - \frac{x+15}{15} -1 = \frac{4x-2}{15}$
两边同乘15去分母：$3(3x+8) - (x+15) -15 = 4x -2$
去括号：$9x +24 -x -15 -15 = 4x -2$
合并同类项：$8x -6 = 4x -2$
移项：$8x -4x = -2 +6$
合并同类项：$4x = 4$
系数化为1：$x = 1$
【答案】
(1) $x=\frac{32}{5}$；(2) $x=1$
【知识点】
一元一次方程解法，分数的基本性质，去括号法则
【点评】
这两道题是一元一次方程的典型计算题，(1)题可利用括号内外系数互为倒数的特点先去外层括号，减少通分计算量；(2)题需注意化小数分母是对单个分数的分子分母同乘非零数，不要和去分母时方程两边同乘公分母混淆，熟练掌握解方程的步骤即可准确求解。
【难度系数】
0.7

4 解方程: $61(2x - 5) = 300 + 39(5 - 2x)$.

$x=4$

【分析】观察方程可发现等号两侧的因式$2x-5$和$5-2x$互为相反数，利用该特征将方程变形，把含相同因式的项移到等号同侧合并后求解，比直接去括号计算更简便。解题思路为：先变形含$5-2x$的项，再移项、合并同类项，最后系数化为1得到方程的解。
【解析】
解：原方程可变形为：
$61(2x - 5) = 300 - 39(2x - 5)$
移项，得：
$61(2x - 5) + 39(2x - 5) = 300$
将$2x-5$看作整体合并同类项，得：
$(61 + 39)(2x - 5) = 300$
即 $100(2x - 5) = 300$
两边同时除以100，得：
$2x - 5 = 3$
移项、合并同类项，得：
$2x = 8$
系数化为1，得：
$x = 4$
【答案】
$x=4$
【知识点】
一元一次方程的解法、移项、合并同类项
【点评】
本题考查一元一次方程的求解，解题时可先观察方程结构特征，巧用整体思想简化运算，降低计算出错概率，也可通过去括号、移项的常规步骤求解。
【难度系数】
0.7

5 新考向 新定义题 定义:如果两个一元一次方程的解的和为1,我们就称这两个方程为“美好方程”.例如:方程$4x=8$和方程$x+1=0$为“美好方程”.
(1) 若关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是“美好方程”,求$m$的值;
(2) 若“美好方程”的两个解的差为8,其中一个解为$n$,求$n$的值;
(3) 若关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2026}x + 3 = 2x + k$和$\frac{1}{2026}x + 1 = 0$是“美好方程”,求关于$y$的一元一次方程$\frac{1}{2026}y = 2y + k - \frac{2027}{2026}$的解.

(1) 解方程$3x+m=0$,得$x=-\frac{m}{3}$.解方程$4x-2=x+10$,得$x=4$.因为关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是“美好方程”,所以$-\frac{m}{3}+4=1$,解得$m=9$
(2) 因为“美好方程”的两个解的和为1,其中一个解为$n$,所以另一个方程的解是$1-n$.因为两个解的差是8,所以$1-n-n=8$或$n-(1-n)=8$.所以$n=-\frac{7}{2}$或$n=\frac{9}{2}$
(3) 解方程$\frac{1}{2026}x+1=0$,得$x=-2026$.因为关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2026}x+3=2x+k$和$\frac{1}{2026}x+1=0$是“美好方程”,所以关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2026}x+3=2x+k$的解为$x=1-(-2026)=2027$.关于$y$的一元一次方程$\frac{1}{2026}y=2y+k-\frac{2027}{2026}$可化为$\frac{1}{2026}(y+1)+3=2(y+1)+k$.因为关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2026}x+3=2x+k$的解为$x=2027$,所以$y+1=2027$.所以$y=2026$

【分析】
本题是新定义类一元一次方程问题，解题核心是准确理解“美好方程”的定义：两个一元一次方程的解之和为1。
(1) 先分别求解两个方程，其中方程$4x-2=x+10$不含参数，可直接求出解；方程$3x+m=0$的解用含$m$的代数式表示，再根据两解之和为1列关于$m$的方程，求解即可得$m$的值。
(2) 根据“美好方程”定义，已知一个解为$n$，可得另一个解为$1-n$，再结合两解差为8，分两种情况列方程（需注意差的正负两种可能），即可求出$n$的值。
(3) 先求解方程$\frac{1}{2026}x+1=0$得到它的解，再根据“美好方程”定义求出方程$\frac{1}{2026}x + 3 = 2x + k$的解；然后将关于$y$的方程变形为和方程$\frac{1}{2026}x + 3 = 2x + k$结构完全相同的形式，利用整体代换的思想即可快速求出$y$的解，避免复杂的参数计算。
【解析】
(1) 解方程$3x+m=0$，移项得$3x=-m$，解得$x=-\frac{m}{3}$。
解方程$4x-2=x+10$，移项得$4x-x=10+2$，合并同类项得$3x=12$，解得$x=4$。
根据“美好方程”的定义，两个解的和为1，因此$-\frac{m}{3}+4=1$，
移项得$-\frac{m}{3}=-3$，两边同乘$-3$得$m=9$。
(2) 因为“美好方程”的两个解的和为1，其中一个解为$n$，所以另一个解为$1-n$。
已知两个解的差为8，分两种情况：
① 当$1-n -n=8$时，合并得$1-2n=8$，移项得$-2n=7$，解得$n=-\frac{7}{2}$；
② 当$n-(1-n)=8$时，去括号得$n-1+n=8$，合并得$2n=9$，解得$n=\frac{9}{2}$。
综上，$n$的值为$-\frac{7}{2}$或$\frac{9}{2}$。
(3) 解方程$\frac{1}{2026}x+1=0$，移项得$\frac{1}{2026}x=-1$，两边同乘2026得$x=-2026$。
根据“美好方程”的定义，方程$\frac{1}{2026}x + 3 = 2x + k$的解为$1-(-2026)=2027$。
将关于$y$的方程$\frac{1}{2026}y = 2y + k - \frac{2027}{2026}$变形：
两边同时加$\frac{1}{2026}+3$，整理得$\frac{1}{2026}(y+1)+3=2(y+1)+k$，
该方程与$\frac{1}{2026}x + 3 = 2x + k$结构完全一致，因此解满足$y+1=x$，
已知$x=2027$，所以$y+1=2027$，解得$y=2026$。
【答案】
(1) $m=9$；
(2) $n=-\frac{7}{2}$或$n=\frac{9}{2}$；
(3) $y=2026$
【知识点】
一元一次方程的解法，新定义问题，整体代换思想
【点评】
本题以新定义“美好方程”为背景，综合考查一元一次方程的求解与应用，解题的关键是准确理解新定义的含义，第三问通过观察方程结构进行整体代换，可有效简化计算，避免繁琐的参数运算，对观察能力和知识迁移能力有一定要求。
【难度系数】
0.6