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8 [2026杭州期中]对于任意有理数$a$,$b$,定义一种运算:$a\otimes b = a + b - 2ab$,例如,$3\otimes 4 = 3 + 4 - 2×3×4 = -17$;$(-1)\otimes 6 = -1 + 6 - 2×(-1)×6 = 17$.
(1)求$(-3)\otimes(-\dfrac{3}{2})$的值;
(2)若$(-2)\otimes x = 1$,求$x$的值.
(1)求$(-3)\otimes(-\dfrac{3}{2})$的值;
(2)若$(-2)\otimes x = 1$,求$x$的值.
答案
8. (1) 因为$a\otimes b = a + b - 2ab$,所以$(-3)\otimes(-\frac{3}{2})=-3+(-\frac{3}{2})-2×(-3)×(-\frac{3}{2})=-3-\frac{3}{2}-9=-13\frac{1}{2}$ (2) 因为$a\otimes b = a + b - 2ab$,所以$(-2)\otimes x = 1$,即$-2+x+4x=1$,解得$x=\frac{3}{5}$
解析
【分析】
(1) 第一小问是新定义运算求值问题，首先明确新定义的运算规则：$a\otimes b = a + b - 2ab$，解题时只需将对应位置的数代入公式，按照有理数混合运算的顺序计算即可，计算过程中要注意符号的处理。
(2) 第二小问是根据新定义列方程求解未知数，先把$a=-2$、$b=x$代入运算公式，得到关于$x$的一元一次方程，再按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程，即可求出$x$的值。
【解析】
(1) 根据题中给出的新定义$a\otimes b = a + b - 2ab$，将$a=-3$，$b=-\dfrac{3}{2}$代入式子计算：
$\begin{aligned}(-3)\otimes(-\dfrac{3}{2})&=-3+(-\dfrac{3}{2})-2×(-3)×(-\dfrac{3}{2})\\&=-3-\dfrac{3}{2}-9\\&=-13\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
(2) 结合新定义运算规则，将$a=-2$，$b=x$代入$(-2)\otimes x = 1$可得：
$\begin{aligned}-2 + x - 2×(-2)x &=1\\-2 + x +4x &=1\\5x&=3\\x&=\dfrac{3}{5}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-13\dfrac{1}{2}$；(2) $x=\dfrac{3}{5}$
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算，解一元一次方程
【点评】
本题核心是准确理解新定义的运算规则，代入数值或字母时注意符号不要出错，解方程时按照一元一次方程的标准步骤求解即可，考查内容偏基础，侧重对规则的应用能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
(1) 第一小问是新定义运算求值问题，首先明确新定义的运算规则：$a\otimes b = a + b - 2ab$，解题时只需将对应位置的数代入公式，按照有理数混合运算的顺序计算即可，计算过程中要注意符号的处理。
(2) 第二小问是根据新定义列方程求解未知数，先把$a=-2$、$b=x$代入运算公式，得到关于$x$的一元一次方程，再按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程，即可求出$x$的值。
【解析】
(1) 根据题中给出的新定义$a\otimes b = a + b - 2ab$，将$a=-3$，$b=-\dfrac{3}{2}$代入式子计算：
$\begin{aligned}(-3)\otimes(-\dfrac{3}{2})&=-3+(-\dfrac{3}{2})-2×(-3)×(-\dfrac{3}{2})\\&=-3-\dfrac{3}{2}-9\\&=-13\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
(2) 结合新定义运算规则，将$a=-2$，$b=x$代入$(-2)\otimes x = 1$可得：
$\begin{aligned}-2 + x - 2×(-2)x &=1\\-2 + x +4x &=1\\5x&=3\\x&=\dfrac{3}{5}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-13\dfrac{1}{2}$；(2) $x=\dfrac{3}{5}$
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算，解一元一次方程
【点评】
本题核心是准确理解新定义的运算规则，代入数值或字母时注意符号不要出错，解方程时按照一元一次方程的标准步骤求解即可，考查内容偏基础，侧重对规则的应用能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
9 当$x=4$时，代数式$5(x+b)-10$与$bx+4$的值相等，则$b$的值为（
A.$-6$
B.$-7$
C.$6$
D.$7$
A
）A.$-6$
B.$-7$
C.$6$
D.$7$
答案
9. A
解析
【分析】
首先抓住题目中“当x=4时两个代数式的值相等”这一核心条件，解题思路为：第一步，根据值相等的关系列出两个代数式相等的等式；第二步，将x=4代入等式，得到只含未知数b的一元一次方程；第三步，按照去括号、移项、合并同类项的步骤解方程，即可求出b的取值。
【解析】
根据题意，当x=4时，$5(x+b)-10 = bx+4$
将x=4代入上式可得：
$\begin{aligned}5(4 + b) - 10 &= 4b + 4\\20 + 5b - 10 &= 4b + 4\\10 + 5b &= 4b + 4\\5b - 4b &= 4 - 10\\b &= -6\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
1. 代数式求值
2. 解一元一次方程
3. 列一元一次方程
【点评】
本题是基础运算类题型，主要考查根据等量关系列方程的逻辑，以及解一元一次方程的基本运算能力，熟练掌握去括号、移项的运算规则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
首先抓住题目中“当x=4时两个代数式的值相等”这一核心条件，解题思路为：第一步，根据值相等的关系列出两个代数式相等的等式；第二步，将x=4代入等式，得到只含未知数b的一元一次方程；第三步，按照去括号、移项、合并同类项的步骤解方程，即可求出b的取值。
【解析】
根据题意，当x=4时，$5(x+b)-10 = bx+4$
将x=4代入上式可得：
$\begin{aligned}5(4 + b) - 10 &= 4b + 4\\20 + 5b - 10 &= 4b + 4\\10 + 5b &= 4b + 4\\5b - 4b &= 4 - 10\\b &= -6\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
1. 代数式求值
2. 解一元一次方程
3. 列一元一次方程
【点评】
本题是基础运算类题型，主要考查根据等量关系列方程的逻辑，以及解一元一次方程的基本运算能力，熟练掌握去括号、移项的运算规则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
10 设$ p=2x-1 $，$ q=4-3x $，则当$ 5p-6q=7 $时，$ x $的值为（
A.$-\dfrac{7}{9}$
B.$\dfrac{7}{9}$
C.$-\dfrac{9}{7}$
D.$\dfrac{9}{7}$
D
）A.$-\dfrac{7}{9}$
B.$\dfrac{7}{9}$
C.$-\dfrac{9}{7}$
D.$\dfrac{9}{7}$
答案
10. D
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，已知p、q均为含x的代数式，且给出了关于p、q的等式，因此核心思路是将p、q的表达式代入等式5p-6q=7中，把等式转化为只含x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤（去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求解即可得到x的值。
【解析】
将$p=2x-1$，$q=4-3x$代入$5p-6q=7$，可得：
$5(2x-1)-6(4-3x)=7$
去括号，得：
$10x - 5 - 24 + 18x = 7$
合并同类项，得：
$28x - 29 = 7$
移项，得：
$28x = 7 + 29$
计算右侧，得：
$28x = 36$
系数化为1，得：
$x = \frac{36}{28} = \frac{9}{7}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
代数式代入、解一元一次方程、去括号运算
【点评】
本题属于基础常规题型，重点考查将含参数的代数式代入方程转化为一元一次方程求解的能力，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件，已知p、q均为含x的代数式，且给出了关于p、q的等式，因此核心思路是将p、q的表达式代入等式5p-6q=7中，把等式转化为只含x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤（去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求解即可得到x的值。
【解析】
将$p=2x-1$，$q=4-3x$代入$5p-6q=7$，可得：
$5(2x-1)-6(4-3x)=7$
去括号，得：
$10x - 5 - 24 + 18x = 7$
合并同类项，得：
$28x - 29 = 7$
移项，得：
$28x = 7 + 29$
计算右侧，得：
$28x = 36$
系数化为1，得：
$x = \frac{36}{28} = \frac{9}{7}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
代数式代入、解一元一次方程、去括号运算
【点评】
本题属于基础常规题型，重点考查将含参数的代数式代入方程转化为一元一次方程求解的能力，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.8
11 小王在解关于x的方程7a+x=18时，误将“+x”看成了“−x”，得到方程的解为x=−4，那么原方程的解为
x=4
。答案
11. x=4
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，小王看错符号后得到的解是满足看错后的方程的，因此先将错解代入看错的方程，求出参数a的值；第二步，把求得的a值代入原方程，按照移项等解一元一次方程的步骤，算出原方程的正确解。
【解析】
小王误将“+x”看成“-x”，因此他求解的方程为$7a - x = 18$，已知该方程的解为$x=-4$。
1. 求参数a的值：
把$x=-4$代入$7a - x = 18$，可得：
$7a - (-4) = 18$
化简得：$7a + 4 = 18$
移项计算：$7a = 18 - 4 = 14$
解得：$a = 2$
2. 求原方程的解：
把$a=2$代入原方程$7a + x = 18$，可得：
$7×2 + x = 18$
化简得：$14 + x = 18$
移项计算：$x = 18 - 14 = 4$
【答案】
$x=4$
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是方程错解类基础题，核心是理解错解对应看错后的方程，先通过错解求出未知参数，再代入原方程求解，考查对一元一次方程解的含义的理解和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步，小王看错符号后得到的解是满足看错后的方程的，因此先将错解代入看错的方程，求出参数a的值；第二步，把求得的a值代入原方程，按照移项等解一元一次方程的步骤，算出原方程的正确解。
【解析】
小王误将“+x”看成“-x”，因此他求解的方程为$7a - x = 18$，已知该方程的解为$x=-4$。
1. 求参数a的值：
把$x=-4$代入$7a - x = 18$，可得：
$7a - (-4) = 18$
化简得：$7a + 4 = 18$
移项计算：$7a = 18 - 4 = 14$
解得：$a = 2$
2. 求原方程的解：
把$a=2$代入原方程$7a + x = 18$，可得：
$7×2 + x = 18$
化简得：$14 + x = 18$
移项计算：$x = 18 - 14 = 4$
【答案】
$x=4$
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是方程错解类基础题，核心是理解错解对应看错后的方程，先通过错解求出未知参数，再代入原方程求解，考查对一元一次方程解的含义的理解和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
12 [2026宁波期中]根据如图所示的计算程序，若输出y的值为0，则输入x的值为
（第12题）
2或-3
。（第12题）答案
12. 2或-3
解析
【分析】
该计算程序需根据输入x的正负性选择对应代数式计算y值，已知输出y=0，需分两类讨论求解：①当x为正数时，代入正数对应的代数式列方程求解，再验证解是否满足x为正数的条件；②当x为负数时，代入负数对应的代数式列方程求解，再验证解是否满足x为负数的条件，最终汇总所有符合要求的x值即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 若x是正数，此时计算式为$y=|x|-2$，x为正数时$|x|=x$，结合y=0列方程：
$x-2=0$，解得$x=2$，2是正数，符合条件；
2. 若x是负数，此时计算式为$y=x+3$，结合y=0列方程：
$x+3=0$，解得$x=-3$，-3是负数，符合条件。
0既不是正数也不是负数，无需代入计算，综上符合要求的x为2或-3。
【答案】
2或-3
【知识点】
分段计算，解一元一次方程，绝对值的性质
【点评】
解题时需根据程序规则做好分类讨论，求出解后要验证解是否符合对应x的取值范围，避免出现漏解或不符合要求的错解。
【难度系数】
0.7
该计算程序需根据输入x的正负性选择对应代数式计算y值，已知输出y=0，需分两类讨论求解：①当x为正数时，代入正数对应的代数式列方程求解，再验证解是否满足x为正数的条件；②当x为负数时，代入负数对应的代数式列方程求解，再验证解是否满足x为负数的条件，最终汇总所有符合要求的x值即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 若x是正数，此时计算式为$y=|x|-2$，x为正数时$|x|=x$，结合y=0列方程：
$x-2=0$，解得$x=2$，2是正数，符合条件；
2. 若x是负数，此时计算式为$y=x+3$，结合y=0列方程：
$x+3=0$，解得$x=-3$，-3是负数，符合条件。
0既不是正数也不是负数，无需代入计算，综上符合要求的x为2或-3。
【答案】
2或-3
【知识点】
分段计算，解一元一次方程，绝对值的性质
【点评】
解题时需根据程序规则做好分类讨论，求出解后要验证解是否符合对应x的取值范围，避免出现漏解或不符合要求的错解。
【难度系数】
0.7
13 新情境生活实际 [2024台州仙居期末]为了大力弘扬亚运精神，某校举行了“扬帆起航，逐梦浙江”的知识竞赛，此次竞赛共20道选择题，且每道题必答。评分标准如下：答对1道题得5分，答错1道题扣1分。已知小明的总分为82分，则他答对了
17
道题。答案
13. 17
解析
【分析】
本题是一元一次方程的实际应用问题，解题思路如下：首先明确已知条件：竞赛共20道题，答对1题得5分，答错1题扣1分，小明总分82分，求答对题数。我们可以采用设未知数列方程的方法求解：第一步，设答对的题数为未知数x，那么答错的题数就等于总题数减去答对的题数，即(20-x)道；第二步，找等量关系：总得分=答对题目总得分 - 答错题目总扣分，根据这个等量关系列出方程；第三步，按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程，即可得到答案，最后可以代入检验结果是否正确。
【解析】
解：设小明答对了x道题，则他答错了(20 - x)道题。
根据题意可列方程：
$5x - 1×(20 - x) = 82$
去括号得：$5x - 20 + x = 82$
合并同类项得：$6x - 20 = 82$
移项得：$6x = 82 + 20$
计算得：$6x = 102$
系数化为1得：$x = 17$
检验：答对17道得分为$17×5=85$分，答错3道扣$3×1=3$分，总分为$85-3=82$分，符合题意。
【答案】
17
【知识点】
一元一次方程的应用；去括号解一元一次方程；移项解一元一次方程
【点评】
本题结合亚运知识竞赛的生活情境，考查一元一次方程在计分类实际问题中的应用，解题的核心是找准“总得分=答对得分-答错扣分”的等量关系，计算过程难度较低，只要细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
本题是一元一次方程的实际应用问题，解题思路如下：首先明确已知条件：竞赛共20道题，答对1题得5分，答错1题扣1分，小明总分82分，求答对题数。我们可以采用设未知数列方程的方法求解：第一步，设答对的题数为未知数x，那么答错的题数就等于总题数减去答对的题数，即(20-x)道；第二步，找等量关系：总得分=答对题目总得分 - 答错题目总扣分，根据这个等量关系列出方程；第三步，按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程，即可得到答案，最后可以代入检验结果是否正确。
【解析】
解：设小明答对了x道题，则他答错了(20 - x)道题。
根据题意可列方程：
$5x - 1×(20 - x) = 82$
去括号得：$5x - 20 + x = 82$
合并同类项得：$6x - 20 = 82$
移项得：$6x = 82 + 20$
计算得：$6x = 102$
系数化为1得：$x = 17$
检验：答对17道得分为$17×5=85$分，答错3道扣$3×1=3$分，总分为$85-3=82$分，符合题意。
【答案】
17
【知识点】
一元一次方程的应用；去括号解一元一次方程；移项解一元一次方程
【点评】
本题结合亚运知识竞赛的生活情境，考查一元一次方程在计分类实际问题中的应用，解题的核心是找准“总得分=答对得分-答错扣分”的等量关系，计算过程难度较低，只要细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
14 [2026 杭州拱墅段测]定义:如果两个一元一次方程的解互为相反数,那么我们就称这两个方程为“致真方程”.如方程 $2x=4$ 和 $3x+6=0$ 为“致真方程”.
(1) 若关于 $x$ 的方程 $3x+m=0$ 与方程 $2x-3=3x+1$ 是“致真方程”,求 $m$ 的值;
(2) 若关于 $x$ 的方程 $x+m-2=0$ 和 $x-5m+4=0$ 是“致真方程”,求这两个方程的解.
(1) 若关于 $x$ 的方程 $3x+m=0$ 与方程 $2x-3=3x+1$ 是“致真方程”,求 $m$ 的值;
(2) 若关于 $x$ 的方程 $x+m-2=0$ 和 $x-5m+4=0$ 是“致真方程”,求这两个方程的解.
答案
14. (1) 解方程$2x-3=3x+1$,得$x=-4$. 因为关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$2x-3=3x+1$是“致真方程”,所以方程$3x+m=0$的解是$x=4$. 所以$3×4+m=0$. 所以$m=-12$
(2) 解关于$x$的方程$x+m-2=0$,得$x=2-m$. 解关于$x$的方程$x-5m+4=0$,得$x=5m-4$. 因为关于$x$的方程$x+m-2=0$和$x-5m+4=0$是“致真方程”,所以$2-m=-(5m-4)$,解得$m=\frac{1}{2}$. 所以$2-m=\frac{3}{2}$,$5m-4=-\frac{3}{2}$. 所以关于$x$的方程$x+m-2=0$的解是$x=\frac{3}{2}$,方程$x-5m+4=0$的解是$x=-\frac{3}{2}$
(2) 解关于$x$的方程$x+m-2=0$,得$x=2-m$. 解关于$x$的方程$x-5m+4=0$,得$x=5m-4$. 因为关于$x$的方程$x+m-2=0$和$x-5m+4=0$是“致真方程”,所以$2-m=-(5m-4)$,解得$m=\frac{1}{2}$. 所以$2-m=\frac{3}{2}$,$5m-4=-\frac{3}{2}$. 所以关于$x$的方程$x+m-2=0$的解是$x=\frac{3}{2}$,方程$x-5m+4=0$的解是$x=-\frac{3}{2}$
解析
【分析】
本题属于新定义类题型，解题核心是先准确理解“致真方程”的定义：两个一元一次方程的解互为相反数。
(1) 解题思路：先求出已知方程$2x-3=3x+1$的解，根据“致真方程”的定义得到方程$3x+m=0$的解（即已知解的相反数），再将该解代入$3x+m=0$即可求出m的值。
(2) 解题思路：先分别用含m的代数式表示出两个方程的解，再根据两个解互为相反数的关系列方程求解m的值，最后将m代回两个解的表达式即可得到两个方程的解。
【解析】
(1) 解方程$2x-3=3x+1$：
移项得$2x-3x=1+3$，
合并同类项得$-x=4$，
系数化为1得$x=-4$。
根据“致真方程”的定义，方程$3x+m=0$的解是$-4$的相反数，即$x=4$。
将$x=4$代入$3x+m=0$得：
$3×4+m=0$，
解得$m=-12$。
(2) 解方程$x+m-2=0$，移项得$x=2-m$；
解方程$x-5m+4=0$，移项得$x=5m-4$。
因为两个方程是“致真方程”，所以它们的解互为相反数，即：
$2-m=-(5m-4)$
去括号得$2-m=-5m+4$，
移项得$-m+5m=4-2$，
合并同类项得$4m=2$，
系数化为1得$m=\frac{1}{2}$。
将$m=\frac{1}{2}$代入$x=2-m$得$x=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$；
代入$x=5m-4$得$x=5×\frac{1}{2}-4=-\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $m=-12$；
(2) 方程$x+m-2=0$的解为$x=\frac{3}{2}$，方程$x-5m+4=0$的解为$x=-\frac{3}{2}$。
【知识点】
一元一次方程的解法，相反数的性质，新定义运算
【点评】
本题以新定义为背景，考查学生对新概念的理解转化能力，以及一元一次方程的基础求解能力，解题的关键是将“致真方程”的定义转化为两个方程的解互为相反数的数量关系，再按照解方程的常规步骤计算即可。
【难度系数】
0.8
本题属于新定义类题型，解题核心是先准确理解“致真方程”的定义：两个一元一次方程的解互为相反数。
(1) 解题思路：先求出已知方程$2x-3=3x+1$的解，根据“致真方程”的定义得到方程$3x+m=0$的解（即已知解的相反数），再将该解代入$3x+m=0$即可求出m的值。
(2) 解题思路：先分别用含m的代数式表示出两个方程的解，再根据两个解互为相反数的关系列方程求解m的值，最后将m代回两个解的表达式即可得到两个方程的解。
【解析】
(1) 解方程$2x-3=3x+1$：
移项得$2x-3x=1+3$，
合并同类项得$-x=4$，
系数化为1得$x=-4$。
根据“致真方程”的定义，方程$3x+m=0$的解是$-4$的相反数，即$x=4$。
将$x=4$代入$3x+m=0$得：
$3×4+m=0$，
解得$m=-12$。
(2) 解方程$x+m-2=0$，移项得$x=2-m$；
解方程$x-5m+4=0$，移项得$x=5m-4$。
因为两个方程是“致真方程”，所以它们的解互为相反数，即：
$2-m=-(5m-4)$
去括号得$2-m=-5m+4$，
移项得$-m+5m=4-2$，
合并同类项得$4m=2$，
系数化为1得$m=\frac{1}{2}$。
将$m=\frac{1}{2}$代入$x=2-m$得$x=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$；
代入$x=5m-4$得$x=5×\frac{1}{2}-4=-\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $m=-12$；
(2) 方程$x+m-2=0$的解为$x=\frac{3}{2}$，方程$x-5m+4=0$的解为$x=-\frac{3}{2}$。
【知识点】
一元一次方程的解法，相反数的性质，新定义运算
【点评】
本题以新定义为背景，考查学生对新概念的理解转化能力，以及一元一次方程的基础求解能力，解题的关键是将“致真方程”的定义转化为两个方程的解互为相反数的数量关系，再按照解方程的常规步骤计算即可。
【难度系数】
0.8
15 [2025杭州拱墅期末]【问题背景】
解方程:① $3x + 2 = 5x$；② $3(y + 2) + 2 = 5(y + 2)$.
小张同学通过观察这两个方程的结构,发现这两个方程的解存在关联.请你观察后解这两个方程.
【实践应用】
小李同学发现当 $a≠c$ 时,关于 $x$ 的方程 $ax + b = cx$①和关于 $y$ 的方程 $4a(y - 2) + b = 4c(y - 2)$②的结构也有一定的关联.已知方程①的解是 $x = 3$,求方程②的解.
【拓展延伸】
若关于 $x$ 的方程 $5(x - 2a) - 2a = b$ 的解是 $x = 13$,求关于 $y$ 的方程 $\frac{5}{3}(2y - \frac{1}{5}b) = 4a$ 的解.
解方程:① $3x + 2 = 5x$；② $3(y + 2) + 2 = 5(y + 2)$.
小张同学通过观察这两个方程的结构,发现这两个方程的解存在关联.请你观察后解这两个方程.
【实践应用】
小李同学发现当 $a≠c$ 时,关于 $x$ 的方程 $ax + b = cx$①和关于 $y$ 的方程 $4a(y - 2) + b = 4c(y - 2)$②的结构也有一定的关联.已知方程①的解是 $x = 3$,求方程②的解.
【拓展延伸】
若关于 $x$ 的方程 $5(x - 2a) - 2a = b$ 的解是 $x = 13$,求关于 $y$ 的方程 $\frac{5}{3}(2y - \frac{1}{5}b) = 4a$ 的解.
答案
15. 【问题背景】① $x=1$ ② $y=-1$ 【实践应用】因为$a≠c$,方程$ax+b=cx$的解是$x=3$,所以由【问题背景】,得关于$y$的方程$4a(y-2)+b=4c(y-2)$的解满足$4(y-2)=3$. 所以$4y-8=3$. 所以$4y=11$. 所以$y=\frac{11}{4}$. 所以方程②的解为$y=\frac{11}{4}$ 【拓展延伸】方程$5(x-2a)-2a=b$,$\frac{5}{3}(2y-\frac{1}{5}b)=4a$可分别变形为$5x-12a=b$,$5×2y-12a=b$. 因为$5x-12a=b$的解为$x=13$,方程$5×2y-12a=b$与$5x-12a=b$的结构存在关联,所以$2y=13$. 所以$y=\frac{13}{2}$. 所以关于$y$的方程$\frac{5}{3}(2y-\frac{1}{5}b)=4a$的解为$y=\frac{13}{2}$
解析
【分析】
解题思路分三部分展开：1.问题背景部分：按照解一元一次方程的常规步骤，即移项、合并同类项、系数化为1，直接求解两个方程即可；2.实践应用部分：观察两个方程的结构特征，将方程②中的$4(y-2)$看作整体，对应方程①中的未知数$x$，利用方程①的已知解直接建立关于$y$的等式，简化计算步骤；3.拓展延伸部分：先对两个方程分别去括号、移项整理为结构完全一致的形式，找到两个方程中等式除未知项外其余部分完全相同的规律，因此未知项相等，代入已知解即可求出$y$的值。
【解析】
问题背景
① 解方程$3x + 2 = 5x$
移项，得$3x - 5x = -2$
合并同类项，得$-2x = -2$
系数化为1，得$x = 1$
② 解方程$3(y + 2) + 2 = 5(y + 2)$
移项，得$3(y + 2) - 5(y + 2) = -2$
合并同类项，得$-2(y + 2) = -2$
两边同时除以$-2$，得$y + 2 = 1$
解得$y = -1$
实践应用
已知$a≠c$，方程$ax + b = cx$的解是$x = 3$，
观察方程$4a(y - 2) + b = 4c(y - 2)$，可将$4(y - 2)$看作整体，对应方程$ax + b = cx$中的$x$，
因此可得$4(y - 2) = 3$
去括号，得$4y - 8 = 3$
移项合并，得$4y = 11$
系数化为1，得$y = \frac{11}{4}$
拓展延伸
先对两个方程变形：
方程$5(x - 2a) - 2a = b$去括号，得$5x - 10a - 2a = b$，整理得$5x - 12a = b$，已知其解为$x = 13$；
方程$\frac{5}{3}(2y - \frac{1}{5}b) = 4a$两边同时乘3，得$5(2y - \frac{1}{5}b) = 12a$，去括号得$10y - b = 12a$，移项整理得$5×2y - 12a = b$；
对比两个整理后的方程结构完全相同，因此未知项对应相等，即$2y = x = 13$
系数化为1，得$y = \frac{13}{2}$
【答案】
【问题背景】①$x=1$；②$y=-1$
【实践应用】$y=\frac{11}{4}$
【拓展延伸】$y=\frac{13}{2}$
【知识点】
1. 一元一次方程解法
2. 整体换元思想
3. 方程的解的应用
【点评】
本题从基础一元一次方程求解出发，引导学生发现同结构方程的解的关联，渗透整体代换的数学思想，既考查了一元一次方程的基础运算能力，也锻炼了学生的观察类比、知识迁移的能力。
【难度系数】
0.7
解题思路分三部分展开：1.问题背景部分：按照解一元一次方程的常规步骤，即移项、合并同类项、系数化为1，直接求解两个方程即可；2.实践应用部分：观察两个方程的结构特征，将方程②中的$4(y-2)$看作整体，对应方程①中的未知数$x$，利用方程①的已知解直接建立关于$y$的等式，简化计算步骤；3.拓展延伸部分：先对两个方程分别去括号、移项整理为结构完全一致的形式，找到两个方程中等式除未知项外其余部分完全相同的规律，因此未知项相等，代入已知解即可求出$y$的值。
【解析】
问题背景
① 解方程$3x + 2 = 5x$
移项，得$3x - 5x = -2$
合并同类项，得$-2x = -2$
系数化为1，得$x = 1$
② 解方程$3(y + 2) + 2 = 5(y + 2)$
移项，得$3(y + 2) - 5(y + 2) = -2$
合并同类项，得$-2(y + 2) = -2$
两边同时除以$-2$，得$y + 2 = 1$
解得$y = -1$
实践应用
已知$a≠c$，方程$ax + b = cx$的解是$x = 3$，
观察方程$4a(y - 2) + b = 4c(y - 2)$，可将$4(y - 2)$看作整体，对应方程$ax + b = cx$中的$x$，
因此可得$4(y - 2) = 3$
去括号，得$4y - 8 = 3$
移项合并，得$4y = 11$
系数化为1，得$y = \frac{11}{4}$
拓展延伸
先对两个方程变形：
方程$5(x - 2a) - 2a = b$去括号，得$5x - 10a - 2a = b$，整理得$5x - 12a = b$，已知其解为$x = 13$；
方程$\frac{5}{3}(2y - \frac{1}{5}b) = 4a$两边同时乘3，得$5(2y - \frac{1}{5}b) = 12a$，去括号得$10y - b = 12a$，移项整理得$5×2y - 12a = b$；
对比两个整理后的方程结构完全相同，因此未知项对应相等，即$2y = x = 13$
系数化为1，得$y = \frac{13}{2}$
【答案】
【问题背景】①$x=1$；②$y=-1$
【实践应用】$y=\frac{11}{4}$
【拓展延伸】$y=\frac{13}{2}$
【知识点】
1. 一元一次方程解法
2. 整体换元思想
3. 方程的解的应用
【点评】
本题从基础一元一次方程求解出发，引导学生发现同结构方程的解的关联，渗透整体代换的数学思想，既考查了一元一次方程的基础运算能力，也锻炼了学生的观察类比、知识迁移的能力。
【难度系数】
0.7
