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6 已知方程$(2 - m)x^2 - x^{3n + 4} + 7 = 0$是关于$x$的一元一次方程，则$2m + n$的值为（
A.$-1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
C
）A.$-1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，同时一次项系数不为0的整式方程。结合给出的方程，我们需要满足两个条件：一是方程中不存在x的二次项，也就是二次项系数为0；二是剩余含x的项的次数为1，据此求出m和n的值，最后代入2m+n计算即可。
【解析】
根据一元一次方程的定义可得：
1. 消去二次项：二次项系数为0，即$2 - m = 0$，解得$m = 2$；
2. 保证x的最高次数为1：即$3n + 4 = 1$，移项得$3n = 1 - 4 = -3$，解得$n = -1$；
将$m=2$、$n=-1$代入$2m + n$计算：
$2m + n = 2×2 + (-1) = 4 - 1 = 3$。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的定义；代数式求值
【点评】
本题核心考查对一元一次方程定义的掌握，解题的关键是准确把握一元一次方程的核心特征：未知数最高次数为1，且高于一次的项的系数必须为0，避免因忽略高次项系数为0的条件导致错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，同时一次项系数不为0的整式方程。结合给出的方程，我们需要满足两个条件：一是方程中不存在x的二次项，也就是二次项系数为0；二是剩余含x的项的次数为1，据此求出m和n的值，最后代入2m+n计算即可。
【解析】
根据一元一次方程的定义可得：
1. 消去二次项：二次项系数为0，即$2 - m = 0$，解得$m = 2$；
2. 保证x的最高次数为1：即$3n + 4 = 1$，移项得$3n = 1 - 4 = -3$，解得$n = -1$；
将$m=2$、$n=-1$代入$2m + n$计算：
$2m + n = 2×2 + (-1) = 4 - 1 = 3$。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的定义；代数式求值
【点评】
本题核心考查对一元一次方程定义的掌握，解题的关键是准确把握一元一次方程的核心特征：未知数最高次数为1，且高于一次的项的系数必须为0，避免因忽略高次项系数为0的条件导致错误。
【难度系数】
0.8
7 已知$(|m|-1)x^2-(m-1)x+8=0$是关于x的一元一次方程，求m的值。
答案
根据题意,得$|m|-1=0$且$m-1≠0$,解得$m=-1$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确一元一次方程的核心定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，同时一次项的系数不能为0（否则方程不含未知数，不满足一元一次方程的要求）。结合题目给出的方程，首先要消去二次项，因此二次项的系数必须为0；同时要保证剩下的一次项系数不为0，根据这两个限制条件列关系式求解即可得到m的取值。
【解析】
根据一元一次方程的定义可得：
1. 二次项系数为0：$|m|-1=0$，解得$|m|=1$，即$m=1$或$m=-1$；
2. 一次项系数不为0：$-(m-1)≠0$，即$m-1≠0$，解得$m≠1$。
结合上述两个条件，排除$m=1$，最终得$m=-1$。
【答案】
$m=-1$
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 绝对值的运算
【点评】
本题是一元一次方程定义的典型应用，易错点是容易遗漏一次项系数不为0的限制条件，从而错误得出$m=1$的结果。解题时需全面梳理一元一次方程的所有构成条件，避免漏解、错解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确一元一次方程的核心定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，同时一次项的系数不能为0（否则方程不含未知数，不满足一元一次方程的要求）。结合题目给出的方程，首先要消去二次项，因此二次项的系数必须为0；同时要保证剩下的一次项系数不为0，根据这两个限制条件列关系式求解即可得到m的取值。
【解析】
根据一元一次方程的定义可得：
1. 二次项系数为0：$|m|-1=0$，解得$|m|=1$，即$m=1$或$m=-1$；
2. 一次项系数不为0：$-(m-1)≠0$，即$m-1≠0$，解得$m≠1$。
结合上述两个条件，排除$m=1$，最终得$m=-1$。
【答案】
$m=-1$
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 绝对值的运算
【点评】
本题是一元一次方程定义的典型应用，易错点是容易遗漏一次项系数不为0的限制条件，从而错误得出$m=1$的结果。解题时需全面梳理一元一次方程的所有构成条件，避免漏解、错解。
【难度系数】
0.7
8 若$x=2$是关于$x$的一元一次方程$ax+3=b$的解，则$6a-3b+2$的值是 （
A.$-7$
B.$-1$
C.$7$
D.$11$
A
）A.$-7$
B.$-1$
C.$7$
D.$11$
答案
A
解析
【分析】
首先根据一元一次方程解的定义，方程的解代入方程可使等式左右两边相等，所以先将x=2代入已知方程，得到a与b的数量关系；再观察所求代数式的结构，对代数式变形使其包含a、b的关系式，最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
1. 把$x=2$代入方程$ax+3=b$，可得：
$2a + 3 = b$
移项整理得：$2a - b = -3$
2. 对所求代数式$6a - 3b + 2$变形，提取公因式3得：
$6a - 3b + 2 = 3(2a - b) + 2$
3. 将$2a - b = -3$整体代入上式计算：
$3×(-3) + 2 = -9 + 2 = -7$
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次方程的解的定义
2. 代数式求值
3. 整体代入法
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先利用方程的解得到参数间的数量关系，再通过整体代入的方法计算代数式的值，无需单独求出参数a、b的具体值，可简化计算过程。
【难度系数】
0.7
首先根据一元一次方程解的定义，方程的解代入方程可使等式左右两边相等，所以先将x=2代入已知方程，得到a与b的数量关系；再观察所求代数式的结构，对代数式变形使其包含a、b的关系式，最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
1. 把$x=2$代入方程$ax+3=b$，可得：
$2a + 3 = b$
移项整理得：$2a - b = -3$
2. 对所求代数式$6a - 3b + 2$变形，提取公因式3得：
$6a - 3b + 2 = 3(2a - b) + 2$
3. 将$2a - b = -3$整体代入上式计算：
$3×(-3) + 2 = -9 + 2 = -7$
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次方程的解的定义
2. 代数式求值
3. 整体代入法
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先利用方程的解得到参数间的数量关系，再通过整体代入的方法计算代数式的值，无需单独求出参数a、b的具体值，可简化计算过程。
【难度系数】
0.7
9 已知$x=4$是关于$x$的方程$ax-5=9x-a$的解，则关于$y$的方程$a(y-1)-5=9(y-1)-a$的解是$y=$
5
。答案
5
解析
【分析】
首先根据方程解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，我们可以先将x=4代入第一个含参数a的方程，求出a的取值；再将a代入第二个关于y的一元一次方程，解出y的值即可。此外观察两个方程的结构可以发现，第二个方程是将第一个方程中的x替换为(y-1)，因此可利用整体思想，直接得到y-1=4，快速求出y的值，计算更简便。
【解析】
方法一：常规解法
∵ x=4是方程$ax-5=9x-a$的解
∴ 将x=4代入方程得：
$4a - 5 = 9×4 - a$
$4a - 5 = 36 - a$
移项得：$4a + a = 36 + 5$
合并同类项得：$5a = 41$
解得：$a = \frac{41}{5}$
将$a = \frac{41}{5}$代入方程$a(y-1)-5=9(y-1)-a$得：
$\frac{41}{5}(y-1) - 5 = 9(y-1) - \frac{41}{5}$
两边同时乘5消去分母得：
$41(y-1) - 25 = 45(y-1) - 41$
移项得：$41 - 25 = 45(y-1) - 41(y-1)$
合并同类项得：$16 = 4(y-1)$
系数化为1得：$y-1 = 4$
解得：$y = 5$
方法二：整体思想解法
观察两个方程的结构：
第一个方程为$ax -5 =9x -a$，解为x=4
第二个方程为$a(y-1) -5 =9(y-1) -a$
可将第二个方程中的$(y-1)$看作整体，对应第一个方程中的x
因此可得：$y-1 = 4$
解得：$y=5$
【答案】
5
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程；整体思想
【点评】
本题考查一元一次方程的相关应用，既可通过先求参数a再代入解方程的常规思路求解，也可通过观察方程结构利用整体思想快速得出答案，有助于培养灵活运用解题方法的能力。
【难度系数】
0.7
首先根据方程解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，我们可以先将x=4代入第一个含参数a的方程，求出a的取值；再将a代入第二个关于y的一元一次方程，解出y的值即可。此外观察两个方程的结构可以发现，第二个方程是将第一个方程中的x替换为(y-1)，因此可利用整体思想，直接得到y-1=4，快速求出y的值，计算更简便。
【解析】
方法一：常规解法
∵ x=4是方程$ax-5=9x-a$的解
∴ 将x=4代入方程得：
$4a - 5 = 9×4 - a$
$4a - 5 = 36 - a$
移项得：$4a + a = 36 + 5$
合并同类项得：$5a = 41$
解得：$a = \frac{41}{5}$
将$a = \frac{41}{5}$代入方程$a(y-1)-5=9(y-1)-a$得：
$\frac{41}{5}(y-1) - 5 = 9(y-1) - \frac{41}{5}$
两边同时乘5消去分母得：
$41(y-1) - 25 = 45(y-1) - 41$
移项得：$41 - 25 = 45(y-1) - 41(y-1)$
合并同类项得：$16 = 4(y-1)$
系数化为1得：$y-1 = 4$
解得：$y = 5$
方法二：整体思想解法
观察两个方程的结构：
第一个方程为$ax -5 =9x -a$，解为x=4
第二个方程为$a(y-1) -5 =9(y-1) -a$
可将第二个方程中的$(y-1)$看作整体，对应第一个方程中的x
因此可得：$y-1 = 4$
解得：$y=5$
【答案】
5
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程；整体思想
【点评】
本题考查一元一次方程的相关应用，既可通过先求参数a再代入解方程的常规思路求解，也可通过观察方程结构利用整体思想快速得出答案，有助于培养灵活运用解题方法的能力。
【难度系数】
0.7
10 若关于 x 的方程$\frac{x - m}{4} + m = \frac{2m + 3x}{2}$的解为$x=1$，求$3m + 1$的值。
答案
把$x=1$代入$\frac{x - m}{4} + m = \frac{2m + 3x}{2}$,得$\frac{1 - m}{4} + m = \frac{2m + 3}{2}$.去分母,得$1 - m + 4m = 2(2m + 3)$.去括号,得$1 - m + 4m = 4m + 6$.移项、合并同类项,得$-m=5$.两边同除以$-1$,得$m=-5$.所以$3m+1=3×(-5)+1=-14$
解析
【分析】
解题的核心是利用方程解的定义：方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值。已知x=1是原方程的解，第一步将x=1代入原方程，即可得到只含未知数m的一元一次方程；接下来按照一元一次方程的标准求解步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）算出m的值；最后把m的值代入代数式3m+1计算，就能得到最终结果。
【解析】
把$x=1$代入方程$\frac{x - m}{4} + m = \frac{2m + 3x}{2}$，得：
$\frac{1 - m}{4} + m = \frac{2m + 3}{2}$
去分母（两边同时乘4），得：
$1 - m + 4m = 2(2m + 3)$
去括号，得：
$1 - m + 4m = 4m + 6$
移项、合并同类项，得：
$-m=5$
两边同除以$-1$，得：
$m=-5$
将$m=-5$代入$3m+1$计算：
$3m+1=3×(-5)+1=-15+1=-14$
【答案】
$-14$
【知识点】
1. 方程的解的定义 2. 一元一次方程的解法 3. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是理解方程解的含义，通过代入已知解将含参数的方程转化为关于参数的一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用方程解的定义：方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值。已知x=1是原方程的解，第一步将x=1代入原方程，即可得到只含未知数m的一元一次方程；接下来按照一元一次方程的标准求解步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）算出m的值；最后把m的值代入代数式3m+1计算，就能得到最终结果。
【解析】
把$x=1$代入方程$\frac{x - m}{4} + m = \frac{2m + 3x}{2}$，得：
$\frac{1 - m}{4} + m = \frac{2m + 3}{2}$
去分母（两边同时乘4），得：
$1 - m + 4m = 2(2m + 3)$
去括号，得：
$1 - m + 4m = 4m + 6$
移项、合并同类项，得：
$-m=5$
两边同除以$-1$，得：
$m=-5$
将$m=-5$代入$3m+1$计算：
$3m+1=3×(-5)+1=-15+1=-14$
【答案】
$-14$
【知识点】
1. 方程的解的定义 2. 一元一次方程的解法 3. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是理解方程解的含义，通过代入已知解将含参数的方程转化为关于参数的一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
11 若关于$x$的方程$5m+3x=1+x$的解比关于$x$的方程$2x+m=3m$的解大2，则$m$的值为（
A.$\dfrac{3}{7}$
B.$-\dfrac{3}{7}$
C.$\dfrac{5}{7}$
D.$-\dfrac{5}{7}$
B
）A.$\dfrac{3}{7}$
B.$-\dfrac{3}{7}$
C.$\dfrac{5}{7}$
D.$-\dfrac{5}{7}$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步，分别求解两个含参数m的一元一次方程，用含有m的代数式表示出两个方程的解；第二步，根据“第一个方程的解比第二个方程的解大2”这一条件，建立关于m的一元一次方程；第三步，解新得到的一元一次方程，即可求出m的值。
【解析】
先求解第一个方程$5m+3x=1+x$：
移项，得$3x - x = 1 - 5m$
合并同类项，得$2x = 1 - 5m$
系数化为1，得$x = \frac{1 - 5m}{2}$
再求解第二个方程$2x+m=3m$：
移项，得$2x = 3m - m$
合并同类项，得$2x = 2m$
系数化为1，得$x = m$
根据题意，第一个方程的解比第二个方程的解大2，因此可列等式：
$\frac{1 - 5m}{2} - m = 2$
两边同乘2去分母，得$1 - 5m - 2m = 4$
合并同类项，得$1 - 7m = 4$
移项，得$-7m = 4 - 1$
计算得$-7m = 3$
系数化为1，得$m = -\frac{3}{7}$
【答案】
B
【知识点】
解一元一次方程；方程的解的定义；含参方程求解
【点评】
本题是一元一次方程的典型应用题型，核心是先将两个方程的解用参数表示，再根据解的大小关系建立新方程求解，解题过程中要注意移项时的符号变化，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步，分别求解两个含参数m的一元一次方程，用含有m的代数式表示出两个方程的解；第二步，根据“第一个方程的解比第二个方程的解大2”这一条件，建立关于m的一元一次方程；第三步，解新得到的一元一次方程，即可求出m的值。
【解析】
先求解第一个方程$5m+3x=1+x$：
移项，得$3x - x = 1 - 5m$
合并同类项，得$2x = 1 - 5m$
系数化为1，得$x = \frac{1 - 5m}{2}$
再求解第二个方程$2x+m=3m$：
移项，得$2x = 3m - m$
合并同类项，得$2x = 2m$
系数化为1，得$x = m$
根据题意，第一个方程的解比第二个方程的解大2，因此可列等式：
$\frac{1 - 5m}{2} - m = 2$
两边同乘2去分母，得$1 - 5m - 2m = 4$
合并同类项，得$1 - 7m = 4$
移项，得$-7m = 4 - 1$
计算得$-7m = 3$
系数化为1，得$m = -\frac{3}{7}$
【答案】
B
【知识点】
解一元一次方程；方程的解的定义；含参方程求解
【点评】
本题是一元一次方程的典型应用题型，核心是先将两个方程的解用参数表示，再根据解的大小关系建立新方程求解，解题过程中要注意移项时的符号变化，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
12 若方程$2-3(x-1)=2x+10$的解和关于$x$的方程$\frac{x+3}{2}-\frac{2m-1}{3}=1$的解互为相反数，则$m$的值为（
A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$-2$
C
）A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$-2$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按三步思路推导：第一步先求解第一个一元一次方程，得到它的解；第二步根据“两个方程的解互为相反数”的条件，算出第二个方程的解；第三步把第二个方程的解代入该方程，得到仅含参数m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
1. 求解方程$2-3(x-1)=2x+10$：
去括号，得$2 - 3x + 3 = 2x + 10$
合并同类项，得$5 - 3x = 2x + 10$
移项，得$-3x - 2x = 10 - 5$
合并同类项，得$-5x = 5$
系数化为1，得$x = -1$
2. 由两个方程的解互为相反数，可得方程$\frac{x+3}{2}-\frac{2m-1}{3}=1$的解为$x=1$。
3. 将$x=1$代入$\frac{x+3}{2}-\frac{2m-1}{3}=1$求解m：
代入得$\frac{1+3}{2} - \frac{2m - 1}{3} = 1$
化简得$2 - \frac{2m - 1}{3} = 1$
移项得$-\frac{2m - 1}{3} = -1$
两边同时乘3，得$-(2m - 1) = -3$
去括号得$-2m + 1 = -3$
移项合并得$-2m = -4$
系数化为1，得$m=2$
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程解法，相反数的定义，方程的解的应用
【点评】
本题属于一元一次方程的基础综合题，核心考查方程解的含义，只要熟练掌握一元一次方程的解法，结合相反数的性质建立参数方程就能顺利求解，是一元一次方程模块的常规考法。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按三步思路推导：第一步先求解第一个一元一次方程，得到它的解；第二步根据“两个方程的解互为相反数”的条件，算出第二个方程的解；第三步把第二个方程的解代入该方程，得到仅含参数m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
1. 求解方程$2-3(x-1)=2x+10$：
去括号，得$2 - 3x + 3 = 2x + 10$
合并同类项，得$5 - 3x = 2x + 10$
移项，得$-3x - 2x = 10 - 5$
合并同类项，得$-5x = 5$
系数化为1，得$x = -1$
2. 由两个方程的解互为相反数，可得方程$\frac{x+3}{2}-\frac{2m-1}{3}=1$的解为$x=1$。
3. 将$x=1$代入$\frac{x+3}{2}-\frac{2m-1}{3}=1$求解m：
代入得$\frac{1+3}{2} - \frac{2m - 1}{3} = 1$
化简得$2 - \frac{2m - 1}{3} = 1$
移项得$-\frac{2m - 1}{3} = -1$
两边同时乘3，得$-(2m - 1) = -3$
去括号得$-2m + 1 = -3$
移项合并得$-2m = -4$
系数化为1，得$m=2$
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程解法，相反数的定义，方程的解的应用
【点评】
本题属于一元一次方程的基础综合题，核心考查方程解的含义，只要熟练掌握一元一次方程的解法，结合相反数的性质建立参数方程就能顺利求解，是一元一次方程模块的常规考法。
【难度系数】
0.7
13 若关于$x$的方程$x - 2 = m$的解与$2(x + 1) = m + 2$的解的和为5，则$m$的值是（
A.$-1$
B.$3$
C.$2$
D.$\frac{1}{2}$
C
）A.$-1$
B.$3$
C.$2$
D.$\frac{1}{2}$
答案
C 解析:解方程$x-2=m$,得$x=m+2$;解方程$2(x+1)=m+2$,得$x=\frac{1}{2}m$.由题意,得$m+2+\frac{1}{2}m=5$,解得$m=2$.
解析
【分析】
解题思路清晰可分为三步：首先，本题给出两个含参数m的一元一次方程，且两个方程的解的和为5，因此第一步先分别求解两个方程，用含m的代数式表示出两个方程的解；第二步根据“两个解的和为5”的等量关系，列出关于m的一元一次方程；第三步求解这个新方程即可得到m的值。
【解析】
1. 解方程$x-2=m$：
移项可得$x = m + 2$。
2. 解方程$2(x+1)=m+2$：
先去括号得$2x + 2 = m + 2$，
移项、合并同类项得$2x = m$，
系数化为1得$x = \frac{1}{2}m$。
3. 根据“两个解的和为5”列方程：
$m + 2 + \frac{1}{2}m = 5$
合并同类项得$\frac{3}{2}m + 2 = 5$，
移项得$\frac{3}{2}m = 3$，
系数化为1得$m = 2$。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的解法；方程的解的应用；列一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程的常规基础题型，重点考察一元一次方程的求解步骤，以及根据题目给出的数量关系构建方程求解参数的能力，严格遵循解一元一次方程的基本步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题思路清晰可分为三步：首先，本题给出两个含参数m的一元一次方程，且两个方程的解的和为5，因此第一步先分别求解两个方程，用含m的代数式表示出两个方程的解；第二步根据“两个解的和为5”的等量关系，列出关于m的一元一次方程；第三步求解这个新方程即可得到m的值。
【解析】
1. 解方程$x-2=m$：
移项可得$x = m + 2$。
2. 解方程$2(x+1)=m+2$：
先去括号得$2x + 2 = m + 2$，
移项、合并同类项得$2x = m$，
系数化为1得$x = \frac{1}{2}m$。
3. 根据“两个解的和为5”列方程：
$m + 2 + \frac{1}{2}m = 5$
合并同类项得$\frac{3}{2}m + 2 = 5$，
移项得$\frac{3}{2}m = 3$，
系数化为1得$m = 2$。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的解法；方程的解的应用；列一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程的常规基础题型，重点考察一元一次方程的求解步骤，以及根据题目给出的数量关系构建方程求解参数的能力，严格遵循解一元一次方程的基本步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
14 若关于$x$的方程$\frac{1}{2}(x+m)=1$的解与方程$\frac{x-1}{3}=x-m$的解相同，则$m=$
1
，这个相同的解为$x=1$
。答案
$1\ \ x=1$
解析
【分析】
本题是同解方程问题，解题思路如下：第一步，分别求解两个一元一次方程，将两个方程的解都用含参数m的代数式表示；第二步，根据“两个方程的解相同”这一条件，令两个表示解的代数式相等，得到关于m的一元一次方程；第三步，解出m的值，再将m代入任意一个解的表达式，即可求出相同的解。
【解析】
先解方程$\frac{1}{2}(x+m)=1$：
两边同时乘2，得$x+m=2$，
移项得$x=2-m$。
再解方程$\frac{x-1}{3}=x-m$：
两边同时乘3，得$x-1=3(x-m)$，
去括号得$x-1=3x-3m$，
移项、合并同类项得$-2x=1-3m$，
系数化为1得$x=\frac{3m-1}{2}$。
因为两个方程的解相同，所以$2-m=\frac{3m-1}{2}$，
两边同时乘2得$4-2m=3m-1$，
移项、合并同类项得$5m=5$，
解得$m=1$。
将$m=1$代入$x=2-m$，得$x=2-1=1$。
【答案】
$1$；$x=1$
【知识点】
同解方程的定义；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于同解方程的基础应用题型，核心是利用同解的性质搭建参数m与解x的关联，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题是同解方程问题，解题思路如下：第一步，分别求解两个一元一次方程，将两个方程的解都用含参数m的代数式表示；第二步，根据“两个方程的解相同”这一条件，令两个表示解的代数式相等，得到关于m的一元一次方程；第三步，解出m的值，再将m代入任意一个解的表达式，即可求出相同的解。
【解析】
先解方程$\frac{1}{2}(x+m)=1$：
两边同时乘2，得$x+m=2$，
移项得$x=2-m$。
再解方程$\frac{x-1}{3}=x-m$：
两边同时乘3，得$x-1=3(x-m)$，
去括号得$x-1=3x-3m$，
移项、合并同类项得$-2x=1-3m$，
系数化为1得$x=\frac{3m-1}{2}$。
因为两个方程的解相同，所以$2-m=\frac{3m-1}{2}$，
两边同时乘2得$4-2m=3m-1$，
移项、合并同类项得$5m=5$，
解得$m=1$。
将$m=1$代入$x=2-m$，得$x=2-1=1$。
【答案】
$1$；$x=1$
【知识点】
同解方程的定义；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于同解方程的基础应用题型，核心是利用同解的性质搭建参数m与解x的关联，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
15 已知关于$x$的一元一次方程$x - \frac{3 - ax}{6} = \frac{x + 3}{2} - 1$的解是偶数，则符合条件的所有整数$a$的和为（
A.$-12$
B.$-14$
C.$-20$
D.$-32$
A
）A.$-12$
B.$-14$
C.$-20$
D.$-32$
答案
A 解析:解方程$x-\frac{3-ax}{6}=\frac{x+3}{2}-1$,去分母,得$6x-(3-ax)=3(x+3)-6$.去括号,得$6x-3+ax=3x+9-6$.移项、合并同类项,得$(3+a)x=6$.若$3+a=0$,则方程无解,所以$3+a≠0$.所以$x=\frac{6}{3+a}$.因为$x$的值是偶数,$a$是整数,所以$3+a=1,3,-1,-3$.所以$a=-2,0,-4,-6$.所以符合条件的所有整数$a$的和为$-2+0-4-6=-12$.
解析
【分析】
这是一道含参数的一元一次方程求整数参数的题目，解题思路如下：首先把参数a当作常数，按照一元一次方程的常规解法求出用a表示的x的表达式；再根据一元一次方程有解的前提，保证一次项系数不为0；之后结合“解x是偶数、a是整数”的条件，找出所有满足要求的整数a；最后把符合条件的a相加得到最终结果。
【解析】
解关于x的一元一次方程$x - \frac{3 - ax}{6} = \frac{x + 3}{2} - 1$：
1. 去分母，两边同时乘6，得：$6x-(3-ax)=3(x+3)-6$
2. 去括号，得：$6x-3+ax=3x+9-6$
3. 移项、合并同类项，得：$(3+a)x=6$
若$3+a=0$，即$a=-3$时，方程左边为0，右边为6，方程无解，因此$3+a≠0$，此时方程的解为$x=\frac{6}{3+a}$。
已知方程的解x是偶数，且a为整数，因此$3+a$是6的约数，且$\frac{6}{3+a}$为偶数，可得$3+a$的取值为1、3、-1、-3，对应a的取值为-2、0、-4、-6。
将符合条件的整数a相加：$-2+0+(-4)+(-6)=-12$。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程解法、含参方程整数解
【点评】
本题解题核心是先将参数视为常数求解方程，再结合解的限制条件筛选参数，需要注意一次项系数不为0的前提，避免计入方程无解的情况，同时要考虑约数的正负两种情况，不要漏解。
【难度系数】
0.6
这是一道含参数的一元一次方程求整数参数的题目，解题思路如下：首先把参数a当作常数，按照一元一次方程的常规解法求出用a表示的x的表达式；再根据一元一次方程有解的前提，保证一次项系数不为0；之后结合“解x是偶数、a是整数”的条件，找出所有满足要求的整数a；最后把符合条件的a相加得到最终结果。
【解析】
解关于x的一元一次方程$x - \frac{3 - ax}{6} = \frac{x + 3}{2} - 1$：
1. 去分母，两边同时乘6，得：$6x-(3-ax)=3(x+3)-6$
2. 去括号，得：$6x-3+ax=3x+9-6$
3. 移项、合并同类项，得：$(3+a)x=6$
若$3+a=0$，即$a=-3$时，方程左边为0，右边为6，方程无解，因此$3+a≠0$，此时方程的解为$x=\frac{6}{3+a}$。
已知方程的解x是偶数，且a为整数，因此$3+a$是6的约数，且$\frac{6}{3+a}$为偶数，可得$3+a$的取值为1、3、-1、-3，对应a的取值为-2、0、-4、-6。
将符合条件的整数a相加：$-2+0+(-4)+(-6)=-12$。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程解法、含参方程整数解
【点评】
本题解题核心是先将参数视为常数求解方程，再结合解的限制条件筛选参数，需要注意一次项系数不为0的前提，避免计入方程无解的情况，同时要考虑约数的正负两种情况，不要漏解。
【难度系数】
0.6
16（易错题）当k取什么正整数时，关于x的方程$\frac{kx - 3}{3} - \frac{x + 1}{2} = 1$的解是整数？
答案
解方程$\frac{kx - 3}{3} - \frac{x + 1}{2} = 1$,去分母,得$2kx-6-3x-3=6$.移项、合并同类项,得$(2k-3)x=15$.因为当$2k-3=0$时,原方程无解,所以$2k-3≠0$.所以$x=\frac{15}{2k-3}$.因为方程$\frac{kx - 3}{3} - \frac{x + 1}{2} = 1$的解是整数,所以$\frac{15}{2k-3}$是整数.所以$2k-3=±1,±3,±5,±15$.所以$k=2,1,3,0,4,-1,9,-6$.因为$k$为正整数,所以$k=2,1,3,4,9$
【易错分析】受方程的解为整数的影响,若误认为$k$的值也为整数,就会出现多解的错误.若由$k$为正整数,误认为方程的解也为正整数,就会出现少解的错误.
【易错分析】受方程的解为整数的影响,若误认为$k$的值也为整数,就会出现多解的错误.若由$k$为正整数,误认为方程的解也为正整数,就会出现少解的错误.
解析
【分析】
解题时首先将参数k视为常数，按照一元一次方程的常规求解步骤，用含k的代数式表示出方程的解x。由于题目要求解为整数，因此x表达式的分母必须是分子15的因数（包含正因数和负因数），再结合k是正整数的限制条件，筛选出符合要求的k值即可。注意要先判断一次项系数不为0，避免出现无解的情况。
【解析】
解方程$\frac{kx - 3}{3} - \frac{x + 1}{2} = 1$：
1. 去分母：两边同时乘6，得$2(kx-3)-3(x+1)=6$，去括号后为$2kx-6-3x-3=6$；
2. 移项、合并同类项：得$(2k-3)x=15$；
3. 系数讨论：若$2k-3=0$，原方程无解，因此$2k-3≠0$，得$x=\frac{15}{2k-3}$；
4. 整数解分析：因为方程的解是整数，所以$2k-3$是15的因数，即$2k-3=±1,±3,±5,±15$，分别计算对应k值：
$2k-3=1$时，$k=2$；$2k-3=-1$时，$k=1$
$2k-3=3$时，$k=3$；$2k-3=-3$时，$k=0$
$2k-3=5$时，$k=4$；$2k-3=-5$时，$k=-1$
$2k-3=15$时，$k=9$；$2k-3=-15$时，$k=-6$
5. 筛选正整数k：排除非正整数的k值，得到符合要求的k。
【答案】
$k=1,2,3,4,9$
【知识点】
一元一次方程解法，含参方程整数解，正整数筛选
【点评】
本题属于易错题，解题时容易出现两类错误：一是忽略因数可以为负，导致漏解；二是忘记k为正整数的限制条件，保留了不符合要求的k值导致多解。解题时需先正确求出含参方程的解，再结合所有限制条件逐一筛选结果。
【难度系数】
0.6
解题时首先将参数k视为常数，按照一元一次方程的常规求解步骤，用含k的代数式表示出方程的解x。由于题目要求解为整数，因此x表达式的分母必须是分子15的因数（包含正因数和负因数），再结合k是正整数的限制条件，筛选出符合要求的k值即可。注意要先判断一次项系数不为0，避免出现无解的情况。
【解析】
解方程$\frac{kx - 3}{3} - \frac{x + 1}{2} = 1$：
1. 去分母：两边同时乘6，得$2(kx-3)-3(x+1)=6$，去括号后为$2kx-6-3x-3=6$；
2. 移项、合并同类项：得$(2k-3)x=15$；
3. 系数讨论：若$2k-3=0$，原方程无解，因此$2k-3≠0$，得$x=\frac{15}{2k-3}$；
4. 整数解分析：因为方程的解是整数，所以$2k-3$是15的因数，即$2k-3=±1,±3,±5,±15$，分别计算对应k值：
$2k-3=1$时，$k=2$；$2k-3=-1$时，$k=1$
$2k-3=3$时，$k=3$；$2k-3=-3$时，$k=0$
$2k-3=5$时，$k=4$；$2k-3=-5$时，$k=-1$
$2k-3=15$时，$k=9$；$2k-3=-15$时，$k=-6$
5. 筛选正整数k：排除非正整数的k值，得到符合要求的k。
【答案】
$k=1,2,3,4,9$
【知识点】
一元一次方程解法，含参方程整数解，正整数筛选
【点评】
本题属于易错题，解题时容易出现两类错误：一是忽略因数可以为负，导致漏解；二是忘记k为正整数的限制条件，保留了不符合要求的k值导致多解。解题时需先正确求出含参方程的解，再结合所有限制条件逐一筛选结果。
【难度系数】
0.6
