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7. “赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径AB = 8 cm，圆柱部分的高BC = 6 cm，圆锥部分的高CD=3 cm，则这个陀螺的表面积是（
A.$68π \ \mathrm{cm}^2$
B.$74π \ \mathrm{cm}^2$
C.$84π \ \mathrm{cm}^2$
D.$100π \ \mathrm{cm}^2$
C
）A.$68π \ \mathrm{cm}^2$
B.$74π \ \mathrm{cm}^2$
C.$84π \ \mathrm{cm}^2$
D.$100π \ \mathrm{cm}^2$
答案
7. C 解析:$\because$ 底面圆的直径为 8 cm,圆锥部分的高为 3 cm,$\therefore$ 半径长为 4 cm,母线长为 5 cm,$\therefore$ 其表面积 = $π×4×5+π×4^2+8π×6=84π(cm^2)$.故选 C.
解析
【分析】
该陀螺是圆柱与圆锥的组合体，计算其表面积时需注意：圆柱和圆锥拼接处的面为内部接触面，不计入外露表面积，因此需要计算的部分为圆柱的侧面积、圆柱的上底面积、圆锥的侧面积三部分。解题步骤如下：首先根据底面直径求出半径，再结合圆锥的高用勾股定理求出圆锥的母线长，最后分别计算三部分面积求和即可。
【解析】
解：已知底面圆直径AB=8cm，因此底面半径$r=8÷2=4\ \mathrm{cm}$。
圆锥部分高CD=3cm，由勾股定理可得圆锥的母线长$l=\sqrt{r^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\ \mathrm{cm}$。
分别计算各部分面积：
1. 圆锥侧面积：$S_{\mathrm{锥侧}}=π rl=π×4×5=20π\ \mathrm{cm}^2$
2. 圆柱侧面积：$S_{\mathrm{柱侧}}=2π r· BC=2π×4×6=48π\ \mathrm{cm}^2$
3. 圆柱上底面积：$S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×4^2=16π\ \mathrm{cm}^2$
总表面积$S_{\mathrm{总}}=20π+48π+16π=84π\ \mathrm{cm}^2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆锥侧面积计算，圆柱侧面积计算，组合体表面积计算
【点评】
本题考查组合体的表面积计算，解题的关键是准确判断外露面的组成，避免多算拼接处的重合面或者漏算外露面，同时要熟练掌握圆锥母线的求解方法和圆柱、圆锥的侧面积公式。
【难度系数】
0.7
该陀螺是圆柱与圆锥的组合体，计算其表面积时需注意：圆柱和圆锥拼接处的面为内部接触面，不计入外露表面积，因此需要计算的部分为圆柱的侧面积、圆柱的上底面积、圆锥的侧面积三部分。解题步骤如下：首先根据底面直径求出半径，再结合圆锥的高用勾股定理求出圆锥的母线长，最后分别计算三部分面积求和即可。
【解析】
解：已知底面圆直径AB=8cm，因此底面半径$r=8÷2=4\ \mathrm{cm}$。
圆锥部分高CD=3cm，由勾股定理可得圆锥的母线长$l=\sqrt{r^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\ \mathrm{cm}$。
分别计算各部分面积：
1. 圆锥侧面积：$S_{\mathrm{锥侧}}=π rl=π×4×5=20π\ \mathrm{cm}^2$
2. 圆柱侧面积：$S_{\mathrm{柱侧}}=2π r· BC=2π×4×6=48π\ \mathrm{cm}^2$
3. 圆柱上底面积：$S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×4^2=16π\ \mathrm{cm}^2$
总表面积$S_{\mathrm{总}}=20π+48π+16π=84π\ \mathrm{cm}^2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆锥侧面积计算，圆柱侧面积计算，组合体表面积计算
【点评】
本题考查组合体的表面积计算，解题的关键是准确判断外露面的组成，避免多算拼接处的重合面或者漏算外露面，同时要熟练掌握圆锥母线的求解方法和圆柱、圆锥的侧面积公式。
【难度系数】
0.7
8. ★★★（聊城中考）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分.若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分$OO_1$为$\sqrt{2}$，则其侧面展开图的面积为（
A.$\sqrt{3}π$
B.$2\sqrt{3}π$
C.$3\sqrt{3}π$
D.$4\sqrt{3}π$
C
）A.$\sqrt{3}π$
B.$2\sqrt{3}π$
C.$3\sqrt{3}π$
D.$4\sqrt{3}π$
答案
8. C 解析:根据题意,补题图如图所示.
$\because OC// BO_1,OC=2,BO_1=1,\therefore △ BO_1A ∽ △ COA,\therefore \frac{AO_1}{AO}=\frac{BO_1}{OC}=\frac{1}{2},\therefore AO_1=O_1O=\sqrt{2},\therefore AB=BC=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{3},\therefore AC=2\sqrt{3},\therefore$ 侧面展开图的面积为 $π×2×2\sqrt{3}-π×1×\sqrt{3}=3\sqrt{3}π$.故选 C.
解析
【分析】
要求该圆台的侧面展开图面积，可采用补形法，将其补为完整的大圆锥，用大圆锥侧面积减去截去的小圆锥侧面积即可。首先利用上下底面平行可得小圆锥与大圆锥相似，由半径比得到相似比，进而求出小圆锥的高；再用勾股定理分别求出两个圆锥的母线长，最后代入圆锥侧面积公式计算差值即可。
【解析】
补全几何体为完整大圆锥，如图所示。
∵ $OC// BO_1$，$∠ OAC$为公共角，
∴ $△ BO_1A ∽ △ COA$，相似比为$\frac{BO_1}{OC}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AO_1}{AO}=\frac{1}{2}$。
由此可得$AO_1=O_1O=\sqrt{2}$，即大圆锥的高$AO=AO_1+O_1O=2\sqrt{2}$。
根据勾股定理，小圆锥的母线长$AB=\sqrt{AO_1^2 + BO_1^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{3}$，
大圆锥的母线长$AC=\sqrt{AO^2 + OC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+2^2}=2\sqrt{3}$。
圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$（$r$为底面半径，$l$为母线长），
因此该几何体侧面积 = 大圆锥侧面积 - 小圆锥侧面积 = $π×2×2\sqrt{3} - π×1×\sqrt{3}=3\sqrt{3}π$。
【答案】C
【知识点】
圆锥侧面积计算，相似三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题采用转化思想，将陌生的圆台侧面积问题转化为熟悉的圆锥侧面积问题求解，解题的关键是利用相似三角形的性质求出两个圆锥的高，进而得到母线长，对学生的转化能力和几何运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要求该圆台的侧面展开图面积，可采用补形法，将其补为完整的大圆锥，用大圆锥侧面积减去截去的小圆锥侧面积即可。首先利用上下底面平行可得小圆锥与大圆锥相似，由半径比得到相似比，进而求出小圆锥的高；再用勾股定理分别求出两个圆锥的母线长，最后代入圆锥侧面积公式计算差值即可。
【解析】
补全几何体为完整大圆锥，如图所示
。∵ $OC// BO_1$，$∠ OAC$为公共角，
∴ $△ BO_1A ∽ △ COA$，相似比为$\frac{BO_1}{OC}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AO_1}{AO}=\frac{1}{2}$。
由此可得$AO_1=O_1O=\sqrt{2}$，即大圆锥的高$AO=AO_1+O_1O=2\sqrt{2}$。
根据勾股定理，小圆锥的母线长$AB=\sqrt{AO_1^2 + BO_1^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{3}$，
大圆锥的母线长$AC=\sqrt{AO^2 + OC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+2^2}=2\sqrt{3}$。
圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$（$r$为底面半径，$l$为母线长），
因此该几何体侧面积 = 大圆锥侧面积 - 小圆锥侧面积 = $π×2×2\sqrt{3} - π×1×\sqrt{3}=3\sqrt{3}π$。
【答案】C
【知识点】
圆锥侧面积计算，相似三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题采用转化思想，将陌生的圆台侧面积问题转化为熟悉的圆锥侧面积问题求解，解题的关键是利用相似三角形的性质求出两个圆锥的高，进而得到母线长，对学生的转化能力和几何运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
9. 如图,小珍同学用半径为10 cm,圆心角为$100°$的扇形纸片,制作一个底面圆半径为2.5 cm的圆锥侧面,则圆锥上粘贴部分的面积是
$\frac{25}{9}π$
$\mathrm{cm}^2$.答案
9. $\frac{25}{9}π$ 解析:$\because$ 扇形纸片的半径为 10 cm,圆心角为 $100°$,$\therefore$ 扇形弧长为 $\frac{100π×10}{180}=\frac{50}{9}π$(cm). $\because$ 底面圆半径为 2.5 cm,$\therefore$ 圆锥的底面周长为 $5π$ cm,$\therefore$ 圆锥上粘贴部分的弧长为 $\frac{50}{9}π-5π=\frac{5}{9}π$(cm),$\therefore$ 圆锥上粘贴部分的面积为 $\frac{1}{2}×\frac{5}{9}π×10=\frac{25}{9}π(cm^2)$.故答案为 $\frac{25}{9}π$.
解析
【分析】
要求圆锥上粘贴部分的面积，首先明确粘贴部分是半径与原扇形半径相等的小扇形，因此只需先求出粘贴部分对应的弧长，再代入扇形面积公式即可求解。解题思路为：第一步计算原扇形的弧长，第二步计算圆锥底面周长（即围成圆锥实际使用的弧长），第三步用原扇形弧长减去底面周长得到粘贴部分的弧长，最后用扇形面积公式计算粘贴部分面积。
【解析】
1. 计算原扇形的弧长：
根据扇形弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，其中圆心角$n=100°$，扇形半径$R=10\mathrm{cm}$，代入得：
$l_{\mathrm{原}}=\frac{100π×10}{180}=\frac{50}{9}π\ \mathrm{cm}$
2. 计算圆锥底面周长：
根据圆的周长公式$C=2π r$，其中底面圆半径$r=2.5\mathrm{cm}$，代入得：
$C_{\mathrm{底}}=2π×2.5=5π\ \mathrm{cm}$
3. 计算粘贴部分的弧长：
粘贴部分的弧长为原扇形弧长减去围成圆锥使用的弧长（即底面周长）：
$l_{\mathrm{粘}}=\frac{50}{9}π -5π=\frac{5}{9}π\ \mathrm{cm}$
4. 计算粘贴部分的面积：
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lR$，代入粘贴部分弧长和半径，得：
$S_{\mathrm{粘}}=\frac{1}{2}×\frac{5}{9}π×10=\frac{25}{9}π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$\frac{25}{9}π$
【知识点】
扇形弧长计算，圆锥侧面展开图性质，扇形面积计算
【点评】
本题重点考查扇形与圆锥的对应关系，解题的关键是明确粘贴部分的弧长为原扇形弧长与圆锥底面周长的差值，熟记相关公式即可顺利解答，计算时要注意分数通分，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
要求圆锥上粘贴部分的面积，首先明确粘贴部分是半径与原扇形半径相等的小扇形，因此只需先求出粘贴部分对应的弧长，再代入扇形面积公式即可求解。解题思路为：第一步计算原扇形的弧长，第二步计算圆锥底面周长（即围成圆锥实际使用的弧长），第三步用原扇形弧长减去底面周长得到粘贴部分的弧长，最后用扇形面积公式计算粘贴部分面积。
【解析】
1. 计算原扇形的弧长：
根据扇形弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，其中圆心角$n=100°$，扇形半径$R=10\mathrm{cm}$，代入得：
$l_{\mathrm{原}}=\frac{100π×10}{180}=\frac{50}{9}π\ \mathrm{cm}$
2. 计算圆锥底面周长：
根据圆的周长公式$C=2π r$，其中底面圆半径$r=2.5\mathrm{cm}$，代入得：
$C_{\mathrm{底}}=2π×2.5=5π\ \mathrm{cm}$
3. 计算粘贴部分的弧长：
粘贴部分的弧长为原扇形弧长减去围成圆锥使用的弧长（即底面周长）：
$l_{\mathrm{粘}}=\frac{50}{9}π -5π=\frac{5}{9}π\ \mathrm{cm}$
4. 计算粘贴部分的面积：
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lR$，代入粘贴部分弧长和半径，得：
$S_{\mathrm{粘}}=\frac{1}{2}×\frac{5}{9}π×10=\frac{25}{9}π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$\frac{25}{9}π$
【知识点】
扇形弧长计算，圆锥侧面展开图性质，扇形面积计算
【点评】
本题重点考查扇形与圆锥的对应关系，解题的关键是明确粘贴部分的弧长为原扇形弧长与圆锥底面周长的差值，熟记相关公式即可顺利解答，计算时要注意分数通分，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=4$,以点$B$为圆心,$BA$长为半径画弧交$BC$于点$E$,以点$O$为圆心的$\odot O$与弧$AE$、边$AD$,$DC$都相切.把扇形$ABE$作为一个圆锥的侧面,该圆锥的底面圆恰好是$\odot O$,则$AD$的长为
5
.答案
10. 5 解析:$\because AB=4, ∠B=90°$,
$\therefore \overgroup{AE}$的长为 $\frac{90π×4}{180}=2π$,$\therefore \odot O$的半径为 1.如图,设$\odot O$与$AD,CD$分别相切于点$F,G$,连接$OG,OB,FO$,并延长$FO$交$BC$于点$H$,则$FH$垂直于$AD$,$OG$垂直于$CD$,可得矩形$ABHF$、矩形$CDFH$、矩形$CGOH$和正方形$DFOG$,$\therefore OH=3,OB=5$,由勾股定理,得$BH=BE=4$,$\therefore$ 点$E$与点$H$重合.又$CH=OG=1$,$\therefore AD=BC=BE+CH=5$.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分两个阶段思考：第一阶段先结合圆锥侧面展开图的性质求⊙O的半径，扇形ABE是圆锥的侧面，它的弧长等于圆锥底面圆（即⊙O）的周长，用弧长公式算出弧AE的长度后就能求出⊙O的半径；第二阶段结合圆的切线性质作辅助线，利用矩形性质和勾股定理求BC的长度，矩形中AD和BC长度相等，即可得到AD的长。解题时要注意相切的两圆圆心连线过切点这一隐含条件。
【解析】
1. 计算$\odot O$的半径
已知$AB=4$，$∠ B=90°$，弧$AE$是圆心角为$90°$、半径为4的圆弧，根据弧长公式可得：
$\overgroup{AE}$的长$=\frac{90π×4}{180}=2π$。
因为扇形$ABE$是圆锥的侧面，所以弧$AE$的长等于$\odot O$的周长，设$\odot O$的半径为$r$，则$2π r=2π$，解得$r=1$。
2. 作辅助线分析线段长度
设$\odot O$与$AD$、$CD$分别相切于点$F$、$G$，连接$OG$、$OB$、$FO$，并延长$FO$交$BC$于点$H$。
由切线性质可知$OF⊥ AD$，$OG⊥ CD$，又因为四边形$ABCD$是矩形，$AD// BC$，所以$FH⊥ BC$，由此可得四边形$ABHF$、$CDFH$、$CGOH$均为矩形，四边形$DFOG$为正方形，因此$FH=AB=4$，$CH=OG=r=1$，$OH=FH-OF=4-1=3$。
3. 结合相切性质和勾股定理求$AD$
因为$\odot O$与弧$AE$相切，弧$AE$是以$B$为圆心、半径为4的圆弧，所以两圆的圆心距$OB=4+r=4+1=5$。
在$\mathrm{Rt}△ BOH$中，由勾股定理得：$BH=\sqrt{OB^2-OH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
又因为$BE=BA=4$，所以点$E$与点$H$重合，因此$BC=BE+CH=4+1=5$。
矩形$ABCD$中$AD=BC$，故$AD=5$。
【答案】
5
【知识点】
圆锥的侧面展开图；切线的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，融合了圆锥侧面展开图的弧长关系、圆的切线性质、矩形性质以及勾股定理的应用，解题的关键是先通过弧长关系求出小圆半径，再结合相切的性质得到圆心距，借助勾股定理求出对应线段长，对知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以分两个阶段思考：第一阶段先结合圆锥侧面展开图的性质求⊙O的半径，扇形ABE是圆锥的侧面，它的弧长等于圆锥底面圆（即⊙O）的周长，用弧长公式算出弧AE的长度后就能求出⊙O的半径；第二阶段结合圆的切线性质作辅助线，利用矩形性质和勾股定理求BC的长度，矩形中AD和BC长度相等，即可得到AD的长。解题时要注意相切的两圆圆心连线过切点这一隐含条件。
【解析】
1. 计算$\odot O$的半径
已知$AB=4$，$∠ B=90°$，弧$AE$是圆心角为$90°$、半径为4的圆弧，根据弧长公式可得：
$\overgroup{AE}$的长$=\frac{90π×4}{180}=2π$。
因为扇形$ABE$是圆锥的侧面，所以弧$AE$的长等于$\odot O$的周长，设$\odot O$的半径为$r$，则$2π r=2π$，解得$r=1$。
2. 作辅助线分析线段长度
设$\odot O$与$AD$、$CD$分别相切于点$F$、$G$，连接$OG$、$OB$、$FO$，并延长$FO$交$BC$于点$H$。
由切线性质可知$OF⊥ AD$，$OG⊥ CD$，又因为四边形$ABCD$是矩形，$AD// BC$，所以$FH⊥ BC$，由此可得四边形$ABHF$、$CDFH$、$CGOH$均为矩形，四边形$DFOG$为正方形，因此$FH=AB=4$，$CH=OG=r=1$，$OH=FH-OF=4-1=3$。
3. 结合相切性质和勾股定理求$AD$
因为$\odot O$与弧$AE$相切，弧$AE$是以$B$为圆心、半径为4的圆弧，所以两圆的圆心距$OB=4+r=4+1=5$。
在$\mathrm{Rt}△ BOH$中，由勾股定理得：$BH=\sqrt{OB^2-OH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
又因为$BE=BA=4$，所以点$E$与点$H$重合，因此$BC=BE+CH=4+1=5$。
矩形$ABCD$中$AD=BC$，故$AD=5$。
【答案】
5
【知识点】
圆锥的侧面展开图；切线的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，融合了圆锥侧面展开图的弧长关系、圆的切线性质、矩形性质以及勾股定理的应用，解题的关键是先通过弧长关系求出小圆半径，再结合相切的性质得到圆心距，借助勾股定理求出对应线段长，对知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
11. 新考法 阅读下列材料，解决问题：
【材料1】滤纸的折叠方法：如图①，小明将一直径为10 cm的圆形滤纸，对折两次，形成$\frac{1}{4}$圆，然后一边一层另外一边三层从中间拉开围成圆锥形，之后可利用三层的滤纸过滤液体.
【材料2】如图②，在等腰$△ ABC$中，$AB=AC$，若底边$BC$与腰$AB$（或$AC$）的比值确定，则该等腰三角形的顶角$∠ A$的大小也是确定的.如：当$\frac{BC}{AB}=\sqrt{2}$时，$∠ A=90°$.
(1) 如图③，取一漏斗（忽略漏斗管口处），上部的圆锥形内壁的母线$OB$长为6 cm，开口圆的直径为6 cm，则将小明所折的滤纸放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗上部圆锥形的内壁？请利用上述材料说明理由.
(2) 折好的滤纸可以进行调整，使其重叠部分发生变化.假设有一特殊规格的漏斗，其上部圆锥形内壁的母线长为6 cm，开口圆的直径为7.2 cm，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁，则重叠部分每层的面积为
【材料1】滤纸的折叠方法：如图①，小明将一直径为10 cm的圆形滤纸，对折两次，形成$\frac{1}{4}$圆，然后一边一层另外一边三层从中间拉开围成圆锥形，之后可利用三层的滤纸过滤液体.
【材料2】如图②，在等腰$△ ABC$中，$AB=AC$，若底边$BC$与腰$AB$（或$AC$）的比值确定，则该等腰三角形的顶角$∠ A$的大小也是确定的.如：当$\frac{BC}{AB}=\sqrt{2}$时，$∠ A=90°$.
(1) 如图③，取一漏斗（忽略漏斗管口处），上部的圆锥形内壁的母线$OB$长为6 cm，开口圆的直径为6 cm，则将小明所折的滤纸放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗上部圆锥形的内壁？请利用上述材料说明理由.
(2) 折好的滤纸可以进行调整，使其重叠部分发生变化.假设有一特殊规格的漏斗，其上部圆锥形内壁的母线长为6 cm，开口圆的直径为7.2 cm，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁，则重叠部分每层的面积为
5π
$\mathrm{cm}^2$.答案
11. (1)能,理由如下:$\because$ 将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为 $\frac{1}{4}$ 圆,$\therefore$ 围成的圆锥形的侧面积 = $(1-2×\frac{1}{4})S_{圆形滤纸}=\frac{1}{2}S_{圆形滤纸}$,母线长为 5 cm.$\because S_{侧}=πrl$,$\therefore$ 围成的圆锥形的底面半径为 2.5 cm,从正面看,漏斗上部的圆锥形是等边三角形,滤纸围成的圆锥也是一个等边三角形,故顶角度数相等,故能紧贴此漏斗上部圆锥形的内壁.
(2)$5π$ 解析:$\because$ 特殊规格的漏斗上部圆锥形内壁的母线长为 6 cm,开口圆的直径为 7.2 cm,$\therefore$ 从正面看,上部圆锥形是腰为 6 cm、底边为 7.2 cm 的等腰三角形,底边与腰的比值为 $\frac{7.2}{6}=1.2$. 设滤纸围成的圆锥形开口圆的直径为 $d$,则从正面看,圆锥形滤纸是腰为 5 cm、底边为 $d$ 的等腰三角形,要使得滤纸放入此漏斗中能紧贴漏斗内壁,则 $\frac{d}{5}=1.2$, $d=6$ cm,此时圆锥形滤纸侧面积 $S_{侧}=πrl=15π$ $cm^2$.$\because$ 滤纸总面积为 $25π$ $cm^2$,故重叠部分每层的面积为 $(25π-15π)÷2=5π(cm^2)$.
(2)$5π$ 解析:$\because$ 特殊规格的漏斗上部圆锥形内壁的母线长为 6 cm,开口圆的直径为 7.2 cm,$\therefore$ 从正面看,上部圆锥形是腰为 6 cm、底边为 7.2 cm 的等腰三角形,底边与腰的比值为 $\frac{7.2}{6}=1.2$. 设滤纸围成的圆锥形开口圆的直径为 $d$,则从正面看,圆锥形滤纸是腰为 5 cm、底边为 $d$ 的等腰三角形,要使得滤纸放入此漏斗中能紧贴漏斗内壁,则 $\frac{d}{5}=1.2$, $d=6$ cm,此时圆锥形滤纸侧面积 $S_{侧}=πrl=15π$ $cm^2$.$\because$ 滤纸总面积为 $25π$ $cm^2$,故重叠部分每层的面积为 $(25π-15π)÷2=5π(cm^2)$.
解析
【分析】
本题结合滤纸折叠的生活情境，考查圆锥的相关计算与等腰三角形的性质应用。解题思路如下：
第(1)问：判断滤纸能否紧贴漏斗内壁，本质是判断二者圆锥的轴截面（等腰三角形）顶角是否相等。先分别计算滤纸围成圆锥、漏斗圆锥的轴截面底边与腰的比值，结合材料2的结论判断顶角是否一致即可；
第(2)问：要紧贴漏斗内壁，需滤纸圆锥的轴截面底腰比和漏斗的相等，先据此求出滤纸圆锥的底面直径，再计算滤纸圆锥的侧面积，结合原滤纸的总面积算出重叠部分的总额外面积，由于重叠部分为三层，相比单层侧面积多了2层重叠，除以2即可得到每层重叠的面积。
【解析】
(1) 能紧贴，理由如下：
已知圆形滤纸直径为10 cm，半径为5 cm，对折两次后围成圆锥的母线长等于滤纸半径，即5 cm。
折成的圆锥侧面积为原圆形滤纸面积的$\frac{1}{2}$，根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=π r l$，代入$S_{侧}=\frac{1}{2}×π×5^2=\frac{25π}{2}$，$l=5$，可得：$\frac{25π}{2}=π r ×5$，解得底面半径$r=2.5$ cm，即底面直径为5 cm。
滤纸圆锥的轴截面是腰长5 cm、底边长5 cm的等边三角形，顶角为$60°$；
漏斗上部圆锥母线长为6 cm，开口直径为6 cm，其轴截面是腰长6 cm、底边长6 cm的等边三角形，顶角也为$60°$。
二者顶角度数相等，因此能紧贴漏斗上部的内壁。
(2) 特殊规格漏斗的圆锥母线长为6 cm，开口直径为7.2 cm，其轴截面的底边与腰的比值为$\frac{7.2}{6}=1.2$。
要使滤纸紧贴内壁，滤纸围成圆锥的轴截面底腰比也为1.2，已知滤纸圆锥母线长为5 cm，设其底面直径为$d$，则$\frac{d}{5}=1.2$，解得$d=6$ cm，即底面半径为3 cm。
此时滤纸圆锥的侧面积$S_{侧}=π r l=π×3×5=15π\ \mathrm{cm}^2$。
原圆形滤纸的总面积为$π×5^2=25π\ \mathrm{cm}^2$，重叠部分的总额外面积为$25π-15π=10π\ \mathrm{cm}^2$，由于重叠部分为三层，相比单层侧面积多了2层重叠，因此每层重叠面积为$10π÷2=5π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 能，理由见解析；(2) $5π$
【知识点】
圆锥侧面积计算，等腰三角形的性质，扇形面积计算
【点评】
本题以滤纸过滤的生活场景为载体，结合新定义材料考查圆锥相关的几何计算，要求学生能将实际问题转化为数学模型，同时需要准确理解重叠部分的面积关系，兼顾了知识应用和信息提取能力的考查。
【难度系数】
0.6
本题结合滤纸折叠的生活情境，考查圆锥的相关计算与等腰三角形的性质应用。解题思路如下：
第(1)问：判断滤纸能否紧贴漏斗内壁，本质是判断二者圆锥的轴截面（等腰三角形）顶角是否相等。先分别计算滤纸围成圆锥、漏斗圆锥的轴截面底边与腰的比值，结合材料2的结论判断顶角是否一致即可；
第(2)问：要紧贴漏斗内壁，需滤纸圆锥的轴截面底腰比和漏斗的相等，先据此求出滤纸圆锥的底面直径，再计算滤纸圆锥的侧面积，结合原滤纸的总面积算出重叠部分的总额外面积，由于重叠部分为三层，相比单层侧面积多了2层重叠，除以2即可得到每层重叠的面积。
【解析】
(1) 能紧贴，理由如下：
已知圆形滤纸直径为10 cm，半径为5 cm，对折两次后围成圆锥的母线长等于滤纸半径，即5 cm。
折成的圆锥侧面积为原圆形滤纸面积的$\frac{1}{2}$，根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=π r l$，代入$S_{侧}=\frac{1}{2}×π×5^2=\frac{25π}{2}$，$l=5$，可得：$\frac{25π}{2}=π r ×5$，解得底面半径$r=2.5$ cm，即底面直径为5 cm。
滤纸圆锥的轴截面是腰长5 cm、底边长5 cm的等边三角形，顶角为$60°$；
漏斗上部圆锥母线长为6 cm，开口直径为6 cm，其轴截面是腰长6 cm、底边长6 cm的等边三角形，顶角也为$60°$。
二者顶角度数相等，因此能紧贴漏斗上部的内壁。
(2) 特殊规格漏斗的圆锥母线长为6 cm，开口直径为7.2 cm，其轴截面的底边与腰的比值为$\frac{7.2}{6}=1.2$。
要使滤纸紧贴内壁，滤纸围成圆锥的轴截面底腰比也为1.2，已知滤纸圆锥母线长为5 cm，设其底面直径为$d$，则$\frac{d}{5}=1.2$，解得$d=6$ cm，即底面半径为3 cm。
此时滤纸圆锥的侧面积$S_{侧}=π r l=π×3×5=15π\ \mathrm{cm}^2$。
原圆形滤纸的总面积为$π×5^2=25π\ \mathrm{cm}^2$，重叠部分的总额外面积为$25π-15π=10π\ \mathrm{cm}^2$，由于重叠部分为三层，相比单层侧面积多了2层重叠，因此每层重叠面积为$10π÷2=5π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 能，理由见解析；(2) $5π$
【知识点】
圆锥侧面积计算，等腰三角形的性质，扇形面积计算
【点评】
本题以滤纸过滤的生活场景为载体，结合新定义材料考查圆锥相关的几何计算，要求学生能将实际问题转化为数学模型，同时需要准确理解重叠部分的面积关系，兼顾了知识应用和信息提取能力的考查。
【难度系数】
0.6
