1. (2024·无锡中考)已知圆锥的底面圆半径为3,母线长为4,则圆锥的侧面积为 ()

A.$6π$
B.$12π$
C.$15π$
D.$24π$

1. B 解析:$S_{侧}=πrl=π×3×4=12π$.故选 B.

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆圆锥侧面积的计算公式。圆锥的侧面展开图是扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，由此推导可得圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$（其中$r$为圆锥底面圆半径，$l$为圆锥母线长）。解题时只需找到对应参数代入公式计算即可，注意不要混淆底面半径和母线长的数值。
【解析】
圆锥的侧面积计算公式为$S_{侧}=π rl$，其中$r$是底面圆半径，$l$是母线长。
由题可知，$r=3$，$l=4$，代入公式得：
$S_{侧}=π×3×4=12π$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于基础题，直接考查圆锥侧面积公式的应用，只要牢记公式并明确公式中各参数的含义，代入数值即可快速得出答案，是圆锥相关考点中的常见题型。
【难度系数】
0.9

2. 如图,从一块直径为24 cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为$90°$的扇形$BAC$,使点$A,B,C$在圆周上.将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的半径是（）


A.$2\sqrt{3}$ cm
B.12 cm
C.6 cm
D.$3\sqrt{2}$ cm

2. D 解析:连接 $BC.\because ∠BAC = 90°, BC = 24$ cm, $AB = AC$,
$\therefore AB^2+AC^2 = 24^2, \therefore AB = AC = 12\sqrt{2}$ cm, $\therefore \overgroup{BC}$ 的长度 =
$\frac{90π×12\sqrt{2}}{180}= 6\sqrt{2}π(cm), \therefore 2πr = 6\sqrt{2}π, \therefore r = 3\sqrt{2}$ cm. 故选 D.

【分析】
要计算圆锥底面圆的半径，首先需明确圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于底面圆的周长。解题可按三步推进：1. 利用圆周角定理的推论，确定90°圆周角所对的弦BC是圆的直径，得到BC的长度；2. 结合AB=AC的条件，通过勾股定理求出扇形的半径AB的长度；3. 用弧长公式计算弧BC的长度，再根据弧长等于底面周长列方程，求解得到底面半径r。
【解析】
解：连接BC。
∵ ∠BAC=90°，根据圆周角定理推论，90°的圆周角所对的弦是直径，
∴ BC为⊙O的直径，即BC=24 cm，
又
∵ AB=AC，
∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：$AB^2 + AC^2 = BC^2$，即$2AB^2=24^2$，
解得$AB=AC=12\sqrt{2}$ cm，即扇形BAC的半径为$12\sqrt{2}$ cm。
接下来计算弧$\overgroup{BC}$的长度，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（其中n为圆心角度数，R为扇形半径）：
$\overgroup{BC}$的长度$l=\frac{90π × 12\sqrt{2}}{180}=6\sqrt{2}π$ cm。
∵ 圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，设底面圆半径为r，
∴ $2π r = 6\sqrt{2}π$，
两边同时除以$2π$，解得$r=3\sqrt{2}$ cm。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆周角定理推论
2. 弧长公式
3. 圆锥侧展性质
【点评】
本题是圆与圆锥计算的综合题型，解题的核心是抓住“圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长”这一关系，易错点是容易误将圆形纸片的半径当作扇形的半径进行计算，做题时需注意区分两个不同的半径。
【难度系数】
0.6

3. (杭州中考)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°,AB=2,BC=1$.把$△ ABC$分别绕直线AB和BC旋转一周,所得几何体的底面圆的周长分别记作$l_1,l_2$,侧面积分别记作$S_1,S_2$,则 ()


A.$l_1:l_2=1:2,S_1:S_2=1:2$
B.$l_1:l_2=1:4,S_1:S_2=1:2$
C.$l_1:l_2=1:2,S_1:S_2=1:4$
D.$l_1:l_2=1:4,S_1:S_2=1:4$

3. A 解析:$\because l_1 = 2π×BC = 2π, l_2 = 2π×AB = 4π, \therefore l_1: l_2 = 1: 2. \because S_1 = \frac{1}{2}×2π×\sqrt{5} = \sqrt{5}π, S_2 = \frac{1}{2}×4π×\sqrt{5} = 2\sqrt{5}π, \therefore S_1: S_2 = 1: 2$.故选 A.

【分析】
首先明确直角三角形绕直角边旋转一周得到的几何体是圆锥：绕AB旋转时，圆锥的底面半径为BC的长度，母线长为斜边AC的长度；绕BC旋转时，圆锥的底面半径为AB的长度，母线长仍为AC。解题步骤为：①先用勾股定理求出斜边AC的长度；②根据圆的周长公式分别计算$l_1$和$l_2$，求出周长比；③根据圆锥侧面积公式分别计算$S_1$和$S_2$，求出侧面积比，最后对比选项得到答案。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠ABC=90°$，$AB=2$，$BC=1$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
1. 计算底面周长比：
绕AB旋转时，底面圆半径$r_1=BC=1$，因此$l_1=2πr_1=2π×1=2π$
绕BC旋转时，底面圆半径$r_2=AB=2$，因此$l_2=2πr_2=2π×2=4π$
可得$l_1:l_2=2π:4π=1:2$
2. 计算侧面积比：
圆锥侧面积公式为$S_侧=πrl$（$r$为底面半径，$l$为母线长），两个圆锥的母线长均为$AC=\sqrt{5}$
$S_1=πr_1·AC=π×1×\sqrt{5}=\sqrt{5}π$
$S_2=πr_2·AC=π×2×\sqrt{5}=2\sqrt{5}π$
可得$S_1:S_2=\sqrt{5}π:2\sqrt{5}π=1:2$
综上，$l_1:l_2=1:2$，$S_1:S_2=1:2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；圆的周长计算；圆锥侧面积计算
【点评】
本题考查面动成体的圆锥相关计算，解题关键是准确判断旋转后圆锥的底面半径和母线长对应原直角三角形的边长，熟练运用相关公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

4. ★★★ (1)(呼和浩特中考)圆锥的高为$2\sqrt{2}$，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图(扇形)的圆心角是度，该圆锥的侧面积是(结果用含π的式子表示).
(2)(2024·通辽中考)如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为5 cm，母线长为12 cm的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的面积是$\mathrm{cm}^2$(结果用含π的式子表示).

4. (1)120 3π 解析:根据勾股定理可得,圆锥底面半径 = $\sqrt{3^2-(2\sqrt{2})^2}=1$,$\therefore$ 该圆锥底面周长 = $2π$.$\because$ 圆锥母线长为3,$\therefore$ 该圆锥的侧面展开图的半径为3,$\therefore \frac{nπ×3}{180}=2π$,解得 $n=120$,即展开图(扇形)的圆心角是 120 度,圆锥的侧面积 = $\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}×2π×3=3π$.故答案为 120;3π.
(2)60π 解析:$\because$ 圆锥底面半径为 5 cm,$\therefore$ 圆锥底面圆的周长为 $2π×5=10π$(cm),即扇形纸片的弧长为 $10π$ cm.$\because$ 母线长为 12 cm,$\therefore$ 圆锥的侧面积为 $\frac{1}{2}×12×10π=60π(cm^2)$.故答案为 60π.

【分析】
解决圆锥侧面展开图相关问题的核心是牢记两个等量关系：①圆锥的母线长等于侧面展开扇形的半径；②圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长。
(1)题首先根据圆锥的高、母线、底面半径构成直角三角形，用勾股定理求出底面半径，再计算底面周长即扇形弧长，代入弧长公式即可求出展开图的圆心角，最后用扇形面积公式计算侧面积。
(2)题已知底面半径可先求出底面周长即扇形弧长，结合母线长即扇形半径，直接代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 第一步，求圆锥底面半径：圆锥的高、母线、底面半径构成直角三角形，由勾股定理得，底面半径$r=\sqrt{l^2-h^2}=\sqrt{3^2-(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{9-8}=1$。
第二步，求底面周长：底面周长$C=2π r=2π×1=2π$，即侧面展开扇形的弧长为$2π$，扇形半径等于母线长3。
第三步，求圆心角：设圆心角为$n°$，根据弧长公式$\frac{nπ R}{180}=l_{\mathrm{弧}}$，代入得$\frac{nπ×3}{180}=2π$，解得$n=120$。
第四步，求侧面积：根据扇形面积公式$S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}l_{\mathrm{弧}}R$，代入得$S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}×2π×3=3π$。
(2) 第一步，求底面周长：已知底面半径为5cm，所以底面周长$C=2π r=2π×5=10π\ \mathrm{cm}$，即扇形弧长为$10π\ \mathrm{cm}$，扇形半径等于母线长12cm。
第二步，求扇形面积：根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}l_{\mathrm{弧}}R$，代入得$S=\frac{1}{2}×10π×12=60π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $\boxed{120}$；$\boxed{3π}$
(2) $\boxed{60π}$
【知识点】
圆锥的性质，弧长公式，扇形面积公式
【点评】
本题是圆锥侧面展开图的基础常考题，解题的关键是掌握圆锥和展开扇形之间的对应等量关系，牢记相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7

5. ★★ (聊城中考改编)若一个圆锥的底面积是其表面积的$\frac{1}{4}$，则其母线长与底面半径之比为。

5. 3: 1 解析:设圆锥的底面半径为 $r$,母线长为 $l$. 则 $\frac{1}{4}(πrl+πr^2)=πr^2$,解得 $l=3r$. 故其母线长与底面半径之比为 3: 1.

【分析】
解决这道题首先要明确圆锥表面积的构成：圆锥的表面积等于侧面积与底面积之和。我们可以先设底面半径和母线长为参数，分别表示出底面积和表面积，再结合题目给出的“底面积是表面积的$\frac{1}{4}$”这一等量关系列方程，最后化简方程就能求出母线长与底面半径的比值。
【解析】
设圆锥的底面半径为$r$，母线长为$l$。
圆锥的底面积为$S_{\mathrm{底}}=π r^2$，
圆锥的侧面积为$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，
因此圆锥的表面积为$S_{\mathrm{表}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=π rl+π r^2$。
根据题意“底面积是其表面积的$\frac{1}{4}$”，可得：
$π r^2=\frac{1}{4}(π rl+π r^2)$
由于$r≠0$，方程两边同时除以$π r^2$得：
$1=\frac{1}{4}(\frac{l}{r}+1)$
两边同乘4得：$4=\frac{l}{r}+1$
解得$\frac{l}{r}=3$，即$l:r=3:1$。
【答案】
$3:1$
【知识点】
圆锥侧面积公式、圆锥表面积计算、比例化简
【点评】
本题属于圆锥面积相关的基础应用题，解题核心是准确记忆圆锥侧面积、表面积的计算公式，通过设参数建立方程的方法求解比值，是圆锥章节的常考题型。
【难度系数】
0.7

6. 如图,设圆锥的侧面展开图是一个半径为18 cm,圆心角为240°的扇形,求圆锥的底面积和高.(结果保留π)

6. 由题意可得圆锥的侧面展开图的弧长为 $\frac{240π×18}{180}=24π$(cm),$\therefore$ 圆锥的底面半径为 $24π÷2π=12$(cm),$\therefore$ 圆锥的底面积为 $π×12^2=144π(cm^2)$,$\therefore$ 圆锥的高为 $\sqrt{18^2-12^2}=6\sqrt{5}(cm)$.

【分析】
解题思路如下：1. 要求圆锥的底面积，首先需要求出底面半径，而圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面的周长，因此第一步先利用弧长公式计算扇形的弧长；2. 结合圆的周长公式，用弧长求出底面半径，再代入圆的面积公式得到底面积；3. 圆锥的母线长等于扇形的半径，且圆锥的母线、底面半径、高构成直角三角形，其中母线为斜边，最后利用勾股定理即可求出圆锥的高。
【解析】
首先计算侧面展开扇形的弧长，根据弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）：
$l=\frac{240π×18}{180}=24π\ \mathrm{cm}$
因为扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，设底面半径为$r$，则$2πr=24π$，解得：
$r=24π÷2π=12\ \mathrm{cm}$
因此圆锥的底面积为：
$S=πr^2=π×12^2=144π\ \mathrm{cm}^2$
已知圆锥的母线长等于扇形半径18cm，圆锥的高$h$、底面半径$r$、母线长$l$满足勾股定理：
$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{18^2-12^2}=\sqrt{324-144}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
【答案】
圆锥的底面积为$\boldsymbol{144π\ \mathrm{cm}^2}$，高为$\boldsymbol{6\sqrt{5}\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
扇形弧长计算，圆锥侧面展开图性质，勾股定理
【点评】
本题是圆锥相关的基础题型，解题核心是掌握圆锥侧面展开图和圆锥各量的对应关系：扇形的弧长对应圆锥底面周长，扇形半径对应圆锥母线长，再结合基础几何公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7