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1. (2026·杭州期中)如图,两灯塔A,B之间的距离恰好为暗礁区所在的圆的半径的$\sqrt{2}$倍,要使船S不驶入暗礁区,则航行中应保持$∠ASB$ (
A.大于$45°$
B.大于$30°$
C.小于$45°$
D.小于$30°$
C
)A.大于$45°$
B.大于$30°$
C.小于$45°$
D.小于$30°$
答案
1. C 解析:设暗礁区所在的圆的圆心为 O.连接 OA,OB,AB,BC,如图所示.
∵ AB = $\sqrt{2}$ OA = $\sqrt{2}$ OB ,
∴ AB² = OA² + OB² ,
∴ ∠AOB=90°.
∵ ∠ACB = $\frac{1}{2}$ ∠AOB = 45° ,
∴ ∠ASB ＜ ∠ACB ,即∠ASB＜45°.故答案为 C.
解析
【分析】
要解决该问题，需先找到船刚好不驶入暗礁区的临界角度。首先设暗礁区所在圆的圆心为O，连接OA、OB，结合AB是半径的√2倍的条件，可通过勾股定理逆定理求出圆心角∠AOB的度数，再利用圆周角定理得到同弧AB所对圆周角的度数，最后根据圆外角小于同弧所对圆周角的性质，即可判断出船在圆外时∠ASB的取值范围。
【解析】
设暗礁区所在圆的圆心为O，连接OA、OB、AB、BC，如图所示。
∵ AB = $\sqrt{2}$ OA = $\sqrt{2}$ OB，
∴ AB² = 2OA² = OA² + OB²，
根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠ACB = $\frac{1}{2}$ ∠AOB = 45°。
当船S在暗礁区所在圆外时不会驶入暗礁区，此时∠ASB为圆外角，圆外角小于同弧所对的圆周角，即∠ASB ＜ ∠ACB = 45°，因此航行中应保持∠ASB小于45°。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理逆定理，圆周角定理，圆外角性质
【点评】
本题结合航行避障的实际场景，考查了圆相关角度性质的应用，解题的关键是构造辅助线求出临界角，再结合圆外角和圆周角的大小关系得到角度范围，可锻炼学生将实际问题转化为几何问题的能力。
【难度系数】
0.6
要解决该问题，需先找到船刚好不驶入暗礁区的临界角度。首先设暗礁区所在圆的圆心为O，连接OA、OB，结合AB是半径的√2倍的条件，可通过勾股定理逆定理求出圆心角∠AOB的度数，再利用圆周角定理得到同弧AB所对圆周角的度数，最后根据圆外角小于同弧所对圆周角的性质，即可判断出船在圆外时∠ASB的取值范围。
【解析】
设暗礁区所在圆的圆心为O，连接OA、OB、AB、BC，如图所示。
∵ AB = $\sqrt{2}$ OA = $\sqrt{2}$ OB，
∴ AB² = 2OA² = OA² + OB²，
根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠ACB = $\frac{1}{2}$ ∠AOB = 45°。
当船S在暗礁区所在圆外时不会驶入暗礁区，此时∠ASB为圆外角，圆外角小于同弧所对的圆周角，即∠ASB ＜ ∠ACB = 45°，因此航行中应保持∠ASB小于45°。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理逆定理，圆周角定理，圆外角性质
【点评】
本题结合航行避障的实际场景，考查了圆相关角度性质的应用，解题的关键是构造辅助线求出临界角，再结合圆外角和圆周角的大小关系得到角度范围，可锻炼学生将实际问题转化为几何问题的能力。
【难度系数】
0.6
2. 如图，足球比赛中，甲、乙、丙分别在球门前的三个不同射门位置，根据角的大小，把球传给
乙
射门最好.答案
2. 乙 解析:由题图可知乙处的射门视角(对球门两端点的夹角)＞甲、丙两处的视角;射门视角越大,射门进球的可能性就越大,因此传给乙射门最好.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确射门效果和射门视角的关系：球员所在位置对球门两个端点的夹角就是射门视角，视角越大，射门时可选择的进球范围越大，进球的可能性就越高。接下来只需要观察比较甲、乙、丙三个位置对应的射门视角大小，选择视角最大的位置即可。
【解析】
我们将球门看作一条线段，球员位置与该线段两个端点的夹角为射门视角，射门视角越大，射门进球的概率越高。观察题图可得，乙位置对球门两端点的夹角大于甲、丙位置的夹角，因此传给乙射门最好。
【答案】
乙
【知识点】
角的实际应用、角的大小比较
【点评】
本题结合足球射门的实际场景考查角的相关知识，贴近学生生活，能让学生体会到数学和实际生活的紧密关联，解题的关键是理解射门视角大小对进球概率的影响。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确射门效果和射门视角的关系：球员所在位置对球门两个端点的夹角就是射门视角，视角越大，射门时可选择的进球范围越大，进球的可能性就越高。接下来只需要观察比较甲、乙、丙三个位置对应的射门视角大小，选择视角最大的位置即可。
【解析】
我们将球门看作一条线段，球员位置与该线段两个端点的夹角为射门视角，射门视角越大，射门进球的概率越高。观察题图可得，乙位置对球门两端点的夹角大于甲、丙位置的夹角，因此传给乙射门最好。
【答案】
乙
【知识点】
角的实际应用、角的大小比较
【点评】
本题结合足球射门的实际场景考查角的相关知识，贴近学生生活，能让学生体会到数学和实际生活的紧密关联，解题的关键是理解射门视角大小对进球概率的影响。
【难度系数】
0.9
3. 如图,在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门 MN 进攻,当甲带球冲到A点时,乙已跟随冲到B点,请问:
(1)此时,甲是自己射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好?
(2)请探索:在什么情况下,甲、乙二人射门一样好?(说明:本题不考虑运动场上的其他因素)
(1)此时,甲是自己射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好?
(2)请探索:在什么情况下,甲、乙二人射门一样好?(说明:本题不考虑运动场上的其他因素)
答案
3. (1)
∵ ∠MCN=∠B＞∠A,
∴ 传给乙,让乙射门好.
(2)当甲与乙都在优弧$\overgroup{MBN}$上时,甲、乙二人射门一样好.
∵ ∠MCN=∠B＞∠A,
∴ 传给乙,让乙射门好.
(2)当甲与乙都在优弧$\overgroup{MBN}$上时,甲、乙二人射门一样好.
解析
【分析】
解决本题首先要把实际射门问题转化为几何问题：射门效果好坏由球员对球门MN的张角大小决定，张角越大，射门进球概率越高。第一问需比较A、B两点对MN的张角∠A、∠B的大小，可借助圆周角定理和三角形外角性质完成比较；第二问要让两人射门效果相同，即两人对MN的张角相等，结合同弧所对圆周角相等的性质探索对应条件即可。
【解析】
(1) 射门命中率和球员位置对球门MN的张角正相关，张角越大命中率越高。
∵ ∠B与∠MCN都是优弧$\overgroup{MN}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，因此$∠ B=∠ MCN$。
又
∵ ∠MCN是$△ MCA$的外角，根据三角形外角性质，三角形的外角大于任意一个不相邻的内角，因此$∠ MCN＞∠ A$。
综上可得$∠ B＞∠ A$，B点对球门的张角更大，所以传给乙射门更好。
(2) 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等。当甲所在的A点也在优弧$\overgroup{MBN}$上时，A、B两点对$\overgroup{MN}$的张角相等，即两人对球门MN的张角相同，此时二人射门一样好。
【答案】
(1) 传给乙，让乙射门好；
(2) 当甲与乙都在优弧$\overgroup{MBN}$上时，甲、乙二人射门一样好。
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质
【点评】
本题结合足球射门的生活场景考查几何知识的实际应用，解题核心是将实际问题转化为圆周角大小比较的几何问题，很好地体现了数学与生活的关联性。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要把实际射门问题转化为几何问题：射门效果好坏由球员对球门MN的张角大小决定，张角越大，射门进球概率越高。第一问需比较A、B两点对MN的张角∠A、∠B的大小，可借助圆周角定理和三角形外角性质完成比较；第二问要让两人射门效果相同，即两人对MN的张角相等，结合同弧所对圆周角相等的性质探索对应条件即可。
【解析】
(1) 射门命中率和球员位置对球门MN的张角正相关，张角越大命中率越高。
∵ ∠B与∠MCN都是优弧$\overgroup{MN}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，因此$∠ B=∠ MCN$。
又
∵ ∠MCN是$△ MCA$的外角，根据三角形外角性质，三角形的外角大于任意一个不相邻的内角，因此$∠ MCN＞∠ A$。
综上可得$∠ B＞∠ A$，B点对球门的张角更大，所以传给乙射门更好。
(2) 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等。当甲所在的A点也在优弧$\overgroup{MBN}$上时，A、B两点对$\overgroup{MN}$的张角相等，即两人对球门MN的张角相同，此时二人射门一样好。
【答案】
(1) 传给乙，让乙射门好；
(2) 当甲与乙都在优弧$\overgroup{MBN}$上时，甲、乙二人射门一样好。
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质
【点评】
本题结合足球射门的生活场景考查几何知识的实际应用，解题核心是将实际问题转化为圆周角大小比较的几何问题，很好地体现了数学与生活的关联性。
【难度系数】
0.7
4. | 新题型·新定义 船在航行过程中，船长通常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如图，A,B表示灯塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，$∠ ACB$就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角$α$大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁.
(1) 当船与两个灯塔的夹角$α$大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？
(2) 当船与两个灯塔的夹角$α$小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？
(1) 当船与两个灯塔的夹角$α$大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？
(2) 当船与两个灯塔的夹角$α$小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？
答案
4. (1) 当船与两个灯塔的夹角$α$大于“危险角”时,船位于$\odot O$内.理由:如题图①,延长 AP 交$\odot O$于点 F,连接 BF.
∵ ∠C=∠F,∠APB＞∠F,
∴ ∠APB＞∠C,即 α＞∠C,
∴ 当船与两个灯塔的夹角 α 大于“危险角”时,船位于$\odot O$内.
(2) 当船与两个灯塔的夹角 α 小于“危险角”时,船位于$\odot O$外.理由:如题图②,连接 BE.
∵ ∠AEB=∠C,∠AEB＞∠P,
∴ ∠C＞∠P,即 α＜∠C,
∴ 当船与两个灯塔的夹角 α 小于“危险角”时,船位于$\odot O$外.
∵ ∠C=∠F,∠APB＞∠F,
∴ ∠APB＞∠C,即 α＞∠C,
∴ 当船与两个灯塔的夹角 α 大于“危险角”时,船位于$\odot O$内.
(2) 当船与两个灯塔的夹角 α 小于“危险角”时,船位于$\odot O$外.理由:如题图②,连接 BE.
∵ ∠AEB=∠C,∠AEB＞∠P,
∴ ∠C＞∠P,即 α＜∠C,
∴ 当船与两个灯塔的夹角 α 小于“危险角”时,船位于$\odot O$外.
解析
【分析】
本题需结合圆周角性质和三角形外角性质判断船的位置：首先明确“危险角”$∠ ACB$是$\odot O$上同弧$AB$所对的圆周角，同弧所对的圆周角相等；再通过作辅助线构造三角形，利用三角形外角大于不相邻内角的性质，比较夹角$α$和危险角的大小，即可推导船与$\odot O$的位置关系。
【解析】
(1) 当船与两个灯塔的夹角$α$大于“危险角”时，船位于$\odot O$内。
理由：如题图①，延长$AP$交$\odot O$于点$F$，连接$BF$。
∵ 同弧$AB$所对的圆周角相等，
∴ $∠ C=∠ F$，
又
∵ $∠ APB$是$△ PBF$的外角，三角形外角大于任意一个不相邻的内角，
∴ $∠ APB＞∠ F$，
∴ $∠ APB＞∠ C$，即$α＞∠ C$，因此此时船位于$\odot O$内。
(2) 当船与两个灯塔的夹角$α$小于“危险角”时，船位于$\odot O$外。
理由：如题图②，设$PB$交$\odot O$于点$E$，连接$BE$。
∵ 同弧$AB$所对的圆周角相等，
∴ $∠ AEB=∠ C$，
又
∵ $∠ AEB$是$△ PEB$的外角，三角形外角大于任意一个不相邻的内角，
∴ $∠ AEB＞∠ P$，
∴ $∠ C＞∠ P$，即$α＜∠ C$，因此此时船位于$\odot O$外。
【答案】
(1) 船位于$\odot O$内；
(2) 船位于$\odot O$外。
【知识点】
圆周角定理、三角形外角性质、点与圆的位置判定
【点评】
本题结合航行避险的实际场景考查几何知识的应用，将抽象的数学知识和生活实际结合，既巩固了基础几何性质，也锻炼了学生用数学知识解决实际问题的能力，解题的关键是正确构造辅助线完成角度大小的比较。
【难度系数】
0.7
本题需结合圆周角性质和三角形外角性质判断船的位置：首先明确“危险角”$∠ ACB$是$\odot O$上同弧$AB$所对的圆周角，同弧所对的圆周角相等；再通过作辅助线构造三角形，利用三角形外角大于不相邻内角的性质，比较夹角$α$和危险角的大小，即可推导船与$\odot O$的位置关系。
【解析】
(1) 当船与两个灯塔的夹角$α$大于“危险角”时，船位于$\odot O$内。
理由：如题图①，延长$AP$交$\odot O$于点$F$，连接$BF$。
∵ 同弧$AB$所对的圆周角相等，
∴ $∠ C=∠ F$，
又
∵ $∠ APB$是$△ PBF$的外角，三角形外角大于任意一个不相邻的内角，
∴ $∠ APB＞∠ F$，
∴ $∠ APB＞∠ C$，即$α＞∠ C$，因此此时船位于$\odot O$内。
(2) 当船与两个灯塔的夹角$α$小于“危险角”时，船位于$\odot O$外。
理由：如题图②，设$PB$交$\odot O$于点$E$，连接$BE$。
∵ 同弧$AB$所对的圆周角相等，
∴ $∠ AEB=∠ C$，
又
∵ $∠ AEB$是$△ PEB$的外角，三角形外角大于任意一个不相邻的内角，
∴ $∠ AEB＞∠ P$，
∴ $∠ C＞∠ P$，即$α＜∠ C$，因此此时船位于$\odot O$外。
【答案】
(1) 船位于$\odot O$内；
(2) 船位于$\odot O$外。
【知识点】
圆周角定理、三角形外角性质、点与圆的位置判定
【点评】
本题结合航行避险的实际场景考查几何知识的应用，将抽象的数学知识和生活实际结合，既巩固了基础几何性质，也锻炼了学生用数学知识解决实际问题的能力，解题的关键是正确构造辅助线完成角度大小的比较。
【难度系数】
0.7
