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1. ★★★（安徽中考）已知$\odot O$的半径为7，AB是$\odot O$的弦，点P在弦AB上.若$PA=4$，$PB=6$，则$OP=$（
A.$\sqrt{14}$
B.4
C.$\sqrt{23}$
D.5
D
）A.$\sqrt{14}$
B.4
C.$\sqrt{23}$
D.5
答案
1. D 解析:如图
,过点O作$OC ⊥ AB$于点 C,连接 OB,则 $OB=7.\because PA=4,PB=6,\therefore AB=PA+PB=10.\because OC ⊥ AB,\therefore AC=BC=5$,$\therefore PC=PB-BC=1$.在 $Rt△OBC$ 中,根据勾股定理得,$OC^2=OB^2-BC^2=7^2-5^2=24$,在 $Rt△OPC$ 中,根据勾股定理得,$OP=\sqrt{OC^2+PC^2}=\sqrt{24+1}=5$.故选 D.解析
【分析】
遇到圆中与弦长相关的计算问题，首先考虑作过圆心且垂直于弦的辅助线，利用垂径定理得到弦被平分的结论，再结合直角三角形的勾股定理逐步计算未知线段长度。本题先求出弦AB的总长度，利用垂径定理得到BC的长度，再求出PC的长度，先后在两个直角三角形中用勾股定理即可求出OP的长度。
【解析】
如图，过点O作$OC ⊥ AB$于点 C，连接 OB，则OB为$\odot O$的半径，$OB=7$。
$\because PA=4,PB=6,\therefore AB=PA+PB=10$。
$\because OC ⊥ AB$，由垂径定理可得$AC=BC=\frac{1}{2}AB=5$，
$\therefore PC=PB-BC=6-5=1$。
在 $Rt△OBC$ 中，根据勾股定理得：
$OC^2=OB^2-BC^2=7^2-5^2=49-25=24$。
在 $Rt△OPC$ 中，根据勾股定理得：
$OP=\sqrt{OC^2+PC^2}=\sqrt{24+1^2}=\sqrt{25}=5$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理，弦长计算
【点评】
本题是圆中线段计算的常规题型，核心考查垂径定理与勾股定理的结合应用，过圆心作弦的垂线是解决这类弦长相关问题的常用辅助线，熟练掌握该辅助线做法可快速建立线段关系求解。
【难度系数】
0.7
遇到圆中与弦长相关的计算问题，首先考虑作过圆心且垂直于弦的辅助线，利用垂径定理得到弦被平分的结论，再结合直角三角形的勾股定理逐步计算未知线段长度。本题先求出弦AB的总长度，利用垂径定理得到BC的长度，再求出PC的长度，先后在两个直角三角形中用勾股定理即可求出OP的长度。
【解析】
如图
，过点O作$OC ⊥ AB$于点 C，连接 OB，则OB为$\odot O$的半径，$OB=7$。$\because PA=4,PB=6,\therefore AB=PA+PB=10$。
$\because OC ⊥ AB$，由垂径定理可得$AC=BC=\frac{1}{2}AB=5$，
$\therefore PC=PB-BC=6-5=1$。
在 $Rt△OBC$ 中，根据勾股定理得：
$OC^2=OB^2-BC^2=7^2-5^2=49-25=24$。
在 $Rt△OPC$ 中，根据勾股定理得：
$OP=\sqrt{OC^2+PC^2}=\sqrt{24+1^2}=\sqrt{25}=5$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理，弦长计算
【点评】
本题是圆中线段计算的常规题型，核心考查垂径定理与勾股定理的结合应用，过圆心作弦的垂线是解决这类弦长相关问题的常用辅助线，熟练掌握该辅助线做法可快速建立线段关系求解。
【难度系数】
0.7
2. ★★ | 几何直观·运算能力 如图①是一张圆形纸片;如图②,将圆形纸片作两次对折,且折痕$AB⊥CD$,垂足为$M$;如图③,把纸片展开后,再将圆形纸片沿弦折叠,使两点$B,M$重合,折痕$EF$与$AB$相交于点$N$,连接$AE,AF,BE,BF$.下列四个结论中错误的是 (
A.四边形$MEBF$是菱形
B.$△ AEF$为等边三角形
C.$EN· FN=AM^2 - BN^2$
D.$S_{四边形AEBF}: S_{扇形EBF}=3\sqrt{6}: 2π$
D
)A.四边形$MEBF$是菱形
B.$△ AEF$为等边三角形
C.$EN· FN=AM^2 - BN^2$
D.$S_{四边形AEBF}: S_{扇形EBF}=3\sqrt{6}: 2π$
答案
2. D 解析:由折叠的性质可知 $∠BMD = ∠BNF = 90°$,$BN=MN,\therefore CD // EF$.由垂径定理知 $BM$ 垂直平分 $EF$,$\therefore BM,EF$ 互相垂直平分,$\therefore$ 四边形 $MEBF$ 是菱形,故选项 A 正确,不符合题意.$\because ME = MB = 2MN,\therefore ∠MEN = 30°$,$\therefore ∠EMN=90°-30°=60°.\because AM=ME,\therefore ∠AEM=∠EAM$,$\therefore ∠AEM=\frac{1}{2}∠EMN=\frac{1}{2}×60°=30°$,$\therefore ∠AEF=∠AEM+∠MEN=30°+30°=60°$.同理可得 $∠AFE=60°$,$\therefore ∠EAF=60°$,$\therefore △AEF$ 是等边三角形,故选项 B 正确,不符合题意.$\because MN ⊥ EF$,$\therefore ∠BNE=90°$,$EN=FN$,$\therefore EN^2 + BN^2 = BE^2$.$\because EM=BM,∠EMN=60°$,$\therefore △BEM$ 是等边三角形,$\therefore BE=EM=AM$,$\therefore EN^2=AM^2-BN^2$,$\therefore EN · FN=AM^2-BN^2$,故选项 C 正确,不符合题意.设圆的半径为 $r$,则 $EN=\frac{\sqrt{3}}{2}r$,$\therefore EF=2EN=\sqrt{3}r$,$\therefore S_{四边形AEBF}: S_{扇形EBF}=(\frac{1}{2}×\sqrt{3}r×2r):(\frac{120}{360}π r^2)=3\sqrt{3}:π$,故选项 D 错误,符合题意.故选 D.
解析
【分析】
本题是圆与折叠变换结合的几何判断题，解题时先利用折叠的性质、垂径定理分析线段和角的关系，再逐个验证四个选项：①先根据折叠得到BN=MN，结合AB⊥CD推出BM与EF互相垂直平分，判定四边形MEBF的形状验证选项A；②通过边长关系推导角度，判断△AEF的内角是否都为60°验证选项B；③利用勾股定理结合相等线段转化验证选项C；④分别计算四边形AEBF和扇形EBF的面积，求比值验证选项D即可。
【解析】
设圆的半径为$r$，即$AM=BM=EM=r$。
1. 验证选项A：由折叠性质可知，点$B$、$M$关于$EF$对称，故$EF$垂直平分$BM$，即$BN=MN$，$∠ BNF=90°$。已知$AB⊥ CD$，故$CD// EF$，根据垂径定理，$BM$垂直平分$EF$，因此$BM$、$EF$互相垂直平分，所以四边形$MEBF$是菱形，A结论正确，不符合题意。
2. 验证选项B：由$ME=MB=2MN$，在$Rt△ MEN$中，直角边$MN$是斜边$ME$的一半，故$∠ MEN=30°$，$∠ EMN=90°-30°=60°$。又$AM=ME$，故$∠ AEM=∠ EAM$，而$∠ EMN$是$△ AEM$的外角，故$∠ AEM=\frac{1}{2}∠ EMN=30°$，因此$∠ AEF=∠ AEM+∠ MEN=60°$，同理可得$∠ AFE=60°$，则$∠ EAF=180°-60°-60°=60°$，故$△ AEF$是等边三角形，B结论正确，不符合题意。
3. 验证选项C：因为$MN⊥ EF$，由垂径定理得$EN=FN$，在$Rt△ BEN$中，$EN^2+BN^2=BE^2$。由$∠ EMN=60°$，$EM=BM$，可知$△ BEM$是等边三角形，故$BE=EM=AM$，因此$EN^2=AM^2-BN^2$，即$EN· FN=AM^2-BN^2$，C结论正确，不符合题意。
4. 验证选项D：在$Rt△ MEN$中，$ME=r$，$MN=\frac{r}{2}$，故$EN=\sqrt{r^2-(\frac{r}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}r}{2}$，$EF=2EN=\sqrt{3}r$。四边形$AEBF$的面积为$\frac{1}{2}× EF× AB=\frac{1}{2}×\sqrt{3}r×2r=\sqrt{3}r^2$；菱形$MEBF$中$∠ EBF=∠ EMF=2∠ EMN=120°$，即扇形$EBF$的圆心角为$120°$，扇形面积为$\frac{120}{360}×π r^2=\frac{π r^2}{3}$。因此面积比为$\sqrt{3}r^2:\frac{π r^2}{3}=3\sqrt{3}:π$，与选项中$3\sqrt{6}:2π$不符，故D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，折叠的性质，扇形面积计算
【点评】
本题综合考查了圆的相关性质、折叠变换的特征、特殊三角形与四边形的判定及面积计算，需要结合已知条件逐步推导线段、角的等量关系，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题是圆与折叠变换结合的几何判断题，解题时先利用折叠的性质、垂径定理分析线段和角的关系，再逐个验证四个选项：①先根据折叠得到BN=MN，结合AB⊥CD推出BM与EF互相垂直平分，判定四边形MEBF的形状验证选项A；②通过边长关系推导角度，判断△AEF的内角是否都为60°验证选项B；③利用勾股定理结合相等线段转化验证选项C；④分别计算四边形AEBF和扇形EBF的面积，求比值验证选项D即可。
【解析】
设圆的半径为$r$，即$AM=BM=EM=r$。
1. 验证选项A：由折叠性质可知，点$B$、$M$关于$EF$对称，故$EF$垂直平分$BM$，即$BN=MN$，$∠ BNF=90°$。已知$AB⊥ CD$，故$CD// EF$，根据垂径定理，$BM$垂直平分$EF$，因此$BM$、$EF$互相垂直平分，所以四边形$MEBF$是菱形，A结论正确，不符合题意。
2. 验证选项B：由$ME=MB=2MN$，在$Rt△ MEN$中，直角边$MN$是斜边$ME$的一半，故$∠ MEN=30°$，$∠ EMN=90°-30°=60°$。又$AM=ME$，故$∠ AEM=∠ EAM$，而$∠ EMN$是$△ AEM$的外角，故$∠ AEM=\frac{1}{2}∠ EMN=30°$，因此$∠ AEF=∠ AEM+∠ MEN=60°$，同理可得$∠ AFE=60°$，则$∠ EAF=180°-60°-60°=60°$，故$△ AEF$是等边三角形，B结论正确，不符合题意。
3. 验证选项C：因为$MN⊥ EF$，由垂径定理得$EN=FN$，在$Rt△ BEN$中，$EN^2+BN^2=BE^2$。由$∠ EMN=60°$，$EM=BM$，可知$△ BEM$是等边三角形，故$BE=EM=AM$，因此$EN^2=AM^2-BN^2$，即$EN· FN=AM^2-BN^2$，C结论正确，不符合题意。
4. 验证选项D：在$Rt△ MEN$中，$ME=r$，$MN=\frac{r}{2}$，故$EN=\sqrt{r^2-(\frac{r}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}r}{2}$，$EF=2EN=\sqrt{3}r$。四边形$AEBF$的面积为$\frac{1}{2}× EF× AB=\frac{1}{2}×\sqrt{3}r×2r=\sqrt{3}r^2$；菱形$MEBF$中$∠ EBF=∠ EMF=2∠ EMN=120°$，即扇形$EBF$的圆心角为$120°$，扇形面积为$\frac{120}{360}×π r^2=\frac{π r^2}{3}$。因此面积比为$\sqrt{3}r^2:\frac{π r^2}{3}=3\sqrt{3}:π$，与选项中$3\sqrt{6}:2π$不符，故D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，折叠的性质，扇形面积计算
【点评】
本题综合考查了圆的相关性质、折叠变换的特征、特殊三角形与四边形的判定及面积计算，需要结合已知条件逐步推导线段、角的等量关系，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
3. |新趋势·数学文化（东营中考）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$于点$E$，$EB = 1$寸，$CD = 10$寸，则直径AB长为
＞＞ 专题突破册 P28
26
寸.＞＞ 专题突破册 P28
答案
3. 26 解析:设 $OC=OB=r$ 寸,则 $OE=(r-1)$ 寸,$\because AB ⊥ CD$,$AB$ 是直径,$\therefore EC=ED=5$ 寸.在 $Rt△OCE$ 中,由勾股定理得 $OC^2=CE^2+OE^2$,$\therefore r^2=5^2+(r-1)^2$,$\therefore r=13$,$\therefore AB=2×13=26$(寸),故答案为 26.
解析
【分析】
解决本题首先观察图形特征，AB是圆的直径且垂直于弦CD，首先想到运用垂径定理得到CE的长度；要求直径AB的长度，只需要求出圆的半径即可，因此设半径OC=OB=r寸，用含r的式子表示出OE的长度；最后在Rt△OCE中，利用勾股定理列方程求解r，进而得到直径AB的长度。
【解析】
设 $OC=OB=r$ 寸，则 $OE=(r-1)$ 寸。
$\because AB ⊥ CD$，$AB$ 是$\odot O$的直径，
$\therefore$ 根据垂径定理可得 $EC=ED=\frac{1}{2}CD=5$ 寸。
在 $Rt△OCE$ 中，由勾股定理得 $OC^2=CE^2+OE^2$，
代入得：$r^2=5^2+(r-1)^2$，
展开计算：$r^2=25+r^2-2r+1$，
化简解得：$r=13$。
$\therefore AB=2r=2×13=26$(寸)。
【答案】
26
【知识点】
垂径定理、勾股定理、方程思想应用
【点评】
本题以中国传统数学著作《九章算术》中的经典问题为背景，考查圆中线段长度的计算，是垂径定理与勾股定理结合的典型题型，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.75
解决本题首先观察图形特征，AB是圆的直径且垂直于弦CD，首先想到运用垂径定理得到CE的长度；要求直径AB的长度，只需要求出圆的半径即可，因此设半径OC=OB=r寸，用含r的式子表示出OE的长度；最后在Rt△OCE中，利用勾股定理列方程求解r，进而得到直径AB的长度。
【解析】
设 $OC=OB=r$ 寸，则 $OE=(r-1)$ 寸。
$\because AB ⊥ CD$，$AB$ 是$\odot O$的直径，
$\therefore$ 根据垂径定理可得 $EC=ED=\frac{1}{2}CD=5$ 寸。
在 $Rt△OCE$ 中，由勾股定理得 $OC^2=CE^2+OE^2$，
代入得：$r^2=5^2+(r-1)^2$，
展开计算：$r^2=25+r^2-2r+1$，
化简解得：$r=13$。
$\therefore AB=2r=2×13=26$(寸)。
【答案】
26
【知识点】
垂径定理、勾股定理、方程思想应用
【点评】
本题以中国传统数学著作《九章算术》中的经典问题为背景，考查圆中线段长度的计算，是垂径定理与勾股定理结合的典型题型，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.75
4. ★★ | 几何直观·运算能力 如图,在直角三角形ABC中,∠A=90°,E,F分别是AB,AC上两点,以EF为直径作圆与BC相切于点D,且DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.若BD=4,BE=3,则AB的长度为 (
A.$\dfrac{16}{3}$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.5
D.$\dfrac{25}{3}$
A
)A.$\dfrac{16}{3}$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.5
D.$\dfrac{25}{3}$
答案
4. A 解析:如图
,连接 $AD$,$\because DE ⊥ AB$,$\therefore ∠AED = ∠DEB = 90°$,$\therefore AD$ 为 $\odot O$ 的直径.$\because BC$ 与 $\odot O$ 相切于点 $D$,$\therefore AD ⊥ BC$,$\therefore ∠ADB=∠DEB=90°.\because ∠B=∠B$,$\therefore △ADB ∽ △DEB$,$\therefore \frac{AD}{DE}=\frac{BD}{BE}.\because BD=4,BE=3$,$\therefore DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$,$\therefore \frac{AD}{\sqrt{7}}=\frac{4}{3}$,$\therefore AD=\frac{4\sqrt{7}}{3}$,$\therefore AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{(\frac{4\sqrt{7}}{3})^2 +4^2}=\frac{16}{3}$,故选 A.解析
【分析】
解题时先从已知的垂直条件入手：∠A=90°，DE⊥AB，可知点A、E都在以EF为直径的圆上，根据90°的圆周角所对的弦是直径，可推出AD是⊙O的直径；再结合圆的切线性质，切线垂直于过切点的直径，得到AD⊥BC；此时△ADB和△DEB有公共角∠B，且均为直角三角形，可判定二者相似，利用相似三角形的对应边成比例，先通过勾股定理求出DE的长度，再求出AD的长度，最后在Rt△ADB中用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
如图，连接 $AD$，
$\because DE ⊥ AB$，$\therefore ∠AED = ∠DEB = 90°$，
又$\because ∠A=90°$，$\therefore AD$ 为 $\odot O$ 的直径。
$\because BC$ 与 $\odot O$ 相切于点 $D$，$\therefore AD ⊥ BC$，$\therefore ∠ADB=∠DEB=90°$。
$\because ∠B=∠B$，$\therefore △ADB ∽ △DEB$，$\therefore \frac{AD}{DE}=\frac{BD}{BE}$。
在$Rt△DEB$中，$BD=4$，$BE=3$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$，
代入比例式得：$\frac{AD}{\sqrt{7}}=\frac{4}{3}$，解得$AD=\frac{4\sqrt{7}}{3}$。
在$Rt△ADB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{(\frac{4\sqrt{7}}{3})^2 +4^2}=\sqrt{\frac{112}{9}+\frac{144}{9}}=\sqrt{\frac{256}{9}}=\frac{16}{3}$，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形的综合题，解题的突破口是合理添加辅助线AD，结合圆周角定理和切线性质得到垂直关系，再借助相似三角形和勾股定理逐步计算，能够有效考查几何直观和运算能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的垂直条件入手：∠A=90°，DE⊥AB，可知点A、E都在以EF为直径的圆上，根据90°的圆周角所对的弦是直径，可推出AD是⊙O的直径；再结合圆的切线性质，切线垂直于过切点的直径，得到AD⊥BC；此时△ADB和△DEB有公共角∠B，且均为直角三角形，可判定二者相似，利用相似三角形的对应边成比例，先通过勾股定理求出DE的长度，再求出AD的长度，最后在Rt△ADB中用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
如图
，连接 $AD$，$\because DE ⊥ AB$，$\therefore ∠AED = ∠DEB = 90°$，
又$\because ∠A=90°$，$\therefore AD$ 为 $\odot O$ 的直径。
$\because BC$ 与 $\odot O$ 相切于点 $D$，$\therefore AD ⊥ BC$，$\therefore ∠ADB=∠DEB=90°$。
$\because ∠B=∠B$，$\therefore △ADB ∽ △DEB$，$\therefore \frac{AD}{DE}=\frac{BD}{BE}$。
在$Rt△DEB$中，$BD=4$，$BE=3$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$，
代入比例式得：$\frac{AD}{\sqrt{7}}=\frac{4}{3}$，解得$AD=\frac{4\sqrt{7}}{3}$。
在$Rt△ADB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{(\frac{4\sqrt{7}}{3})^2 +4^2}=\sqrt{\frac{112}{9}+\frac{144}{9}}=\sqrt{\frac{256}{9}}=\frac{16}{3}$，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形的综合题，解题的突破口是合理添加辅助线AD，结合圆周角定理和切线性质得到垂直关系，再借助相似三角形和勾股定理逐步计算，能够有效考查几何直观和运算能力。
【难度系数】
0.6
5. |新考法（郴州中考）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是$55°$，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器
4
台。答案
5. 4 解析:$\because ∠P=55°$,$\therefore ∠P$ 所对弧所对的圆心角是 $110°$.$\because 360°÷110°=3\frac{3}{11}$,$\therefore$ 最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 4 台.
解析
【分析】
解题时首先明确点P处的监控角是圆周角，可结合圆周角定理求出该角所对弧对应的圆心角；要监控整个圆形展区，需要所有监视器的监控范围覆盖整个圆周，因此用周角360°除以单个监视器对应可监控的圆心角度数即可，注意结果需向上取整，避免出现监控盲区。
【解析】
根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
已知监控角即圆周角$∠ P=55°$，则该圆周角所对弧对应的圆心角为$2×55°=110°$。
要覆盖整个圆形展区即覆盖360°的圆周，计算所需监视器数量：$360°÷110°=3\frac{3}{11}$。
3台监视器仅能覆盖$3×110°=330°＜360°$，存在监控盲区，因此最少需要安装4台。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理，进一法取整，周角性质
【点评】
本题结合生活场景考查圆的相关性质的应用，解题的关键是将监控的圆周角转化为对应圆心角，易错点是直接对计算结果四舍五入取3，忽略实际监控需要完全覆盖的要求，整体难度不高，贴近生活实际。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确点P处的监控角是圆周角，可结合圆周角定理求出该角所对弧对应的圆心角；要监控整个圆形展区，需要所有监视器的监控范围覆盖整个圆周，因此用周角360°除以单个监视器对应可监控的圆心角度数即可，注意结果需向上取整，避免出现监控盲区。
【解析】
根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
已知监控角即圆周角$∠ P=55°$，则该圆周角所对弧对应的圆心角为$2×55°=110°$。
要覆盖整个圆形展区即覆盖360°的圆周，计算所需监视器数量：$360°÷110°=3\frac{3}{11}$。
3台监视器仅能覆盖$3×110°=330°＜360°$，存在监控盲区，因此最少需要安装4台。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理，进一法取整，周角性质
【点评】
本题结合生活场景考查圆的相关性质的应用，解题的关键是将监控的圆周角转化为对应圆心角，易错点是直接对计算结果四舍五入取3，忽略实际监控需要完全覆盖的要求，整体难度不高，贴近生活实际。
【难度系数】
0.7
6. ★★★ (长沙中考)如图,点A,B,C在半径为2的$\odot O$上,$∠ ACB=60°$,$OD ⊥ AB$,垂足为E,交$\odot O$于点D,连接OA,则OE的长度为
1
.答案
6. 1 解析:连接 $OB$,$\because ∠ACB=60°$,$\therefore ∠AOB=2∠ACB=120°.\because OD ⊥ AB$,$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$,$∠OEA=90°$,$\therefore ∠AOD=∠BOD=\frac{1}{2}∠AOB=60°$,$\therefore ∠OAE=90°-60°=30°$,$\therefore OE=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}×2=1$.
解析
【分析】
要计算OE的长度，已知⊙O半径OA为2，可通过分析Rt△OAE的内角度数求解：首先根据圆周角定理，由已知圆周角∠ACB求出对应圆心角∠AOB的度数；再结合OD⊥AB的条件，利用垂径定理得到∠AOE的度数，进而推出Rt△OAE中∠OAE的度数，最后根据含30°角的直角三角形的性质即可求出OE的长。
【解析】
连接OB，
∵ ∠ACB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，∠AOB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，
∴ 根据圆周角定理得：$∠ AOB=2∠ ACB=2×60°=120°$，
∵ $OD⊥ AB$，OD是$\odot O$的半径，
∴ 根据垂径定理得：$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，$∠ OEA=90°$，
∴ $∠ AOD=∠ BOD=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$，
在$Rt△ OAE$中，$∠ OAE=90°-∠ AOD=90°-60°=30°$，
∵ $OA=2$，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴ $OE=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
1
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和垂径定理，将圆中的角度条件转化为直角三角形的特殊角度，进而结合直角三角形的性质求解线段长度，是圆章节的常见考题。
【难度系数】
0.7
要计算OE的长度，已知⊙O半径OA为2，可通过分析Rt△OAE的内角度数求解：首先根据圆周角定理，由已知圆周角∠ACB求出对应圆心角∠AOB的度数；再结合OD⊥AB的条件，利用垂径定理得到∠AOE的度数，进而推出Rt△OAE中∠OAE的度数，最后根据含30°角的直角三角形的性质即可求出OE的长。
【解析】
连接OB，
∵ ∠ACB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，∠AOB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，
∴ 根据圆周角定理得：$∠ AOB=2∠ ACB=2×60°=120°$，
∵ $OD⊥ AB$，OD是$\odot O$的半径，
∴ 根据垂径定理得：$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，$∠ OEA=90°$，
∴ $∠ AOD=∠ BOD=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$，
在$Rt△ OAE$中，$∠ OAE=90°-∠ AOD=90°-60°=30°$，
∵ $OA=2$，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴ $OE=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
1
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和垂径定理，将圆中的角度条件转化为直角三角形的特殊角度，进而结合直角三角形的性质求解线段长度，是圆章节的常见考题。
【难度系数】
0.7
7. ★★★ (2026·六安模拟)如图，△ABC内接于⊙O，连接OA,OB,OC.
(1)若∠COB=100°,∠ACB=40°,求∠COA的度数.
(2)若AC//OB,AB=5,OC=4,求BC的长.
(1)若∠COB=100°,∠ACB=40°,求∠COA的度数.
(2)若AC//OB,AB=5,OC=4,求BC的长.
答案
7. (1) $\because ∠ACB=40°$,$\therefore ∠AOB=2∠ACB=80°.\because ∠COB=100°$,$\therefore ∠COA=∠COB-∠AOB=20°$.
(2)如图
,延长 $CO$ 交 $\odot O$ 于点 $D$,连接 $BD$. $\because CD$ 是 $\odot O$ 的直径,$\therefore ∠CBD=90°.\because OC=4,AB=5$,$\therefore CD=2OC=8.\because OA=OC$,$\therefore ∠OCA=∠OAC.\because AC // OB$,$\therefore ∠OCA=∠DOB,∠OAC=∠AOB$,$\therefore ∠DOB=∠AOB$.又 $\because OA=OD,OB=OB$,$\therefore △DOB ≌ △AOB(\mathrm{SAS})$,$\therefore DB=AB=5$,$\therefore BC=\sqrt{CD^2-DB^2}=\sqrt{8^2-5^2}=\sqrt{39}$.解析
【分析】
(1) 求解∠COA的度数时，先运用圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，根据已知的圆周角∠ACB求出对应圆心角∠AOB的度数，再用∠COB的度数减去∠AOB的度数，即可得到∠COA的度数。
(2) 求BC的长时，首先利用“直径所对的圆周角是直角”的性质构造直角三角形：延长CO交⊙O于D，连接BD，得到Rt△CBD；先算出直径CD的长度，再结合AC//OB的条件推导角相等，证明△DOB和△AOB全等，将BD转化为已知长度的AB，最后用勾股定理计算BC的长度即可。
【解析】
(1) 根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠AOB和∠ACB都是弧AB对应的角，因此：
$\because ∠ACB=40°$，$\therefore ∠AOB=2∠ACB=80°$
$\because ∠COB=100°$，$\therefore ∠COA=∠COB-∠AOB=100°-80°=20°$
(2) 如图，延长 $CO$ 交 $\odot O$ 于点 $D$,连接 $BD$。
$\because CD$ 是 $\odot O$ 的直径，$\therefore ∠CBD=90°$
$\because OC=4$，$\therefore CD=2OC=8$
$\because OA=OC$，$\therefore ∠OCA=∠OAC$
$\because AC // OB$，$\therefore ∠OCA=∠DOB,∠OAC=∠AOB$，$\therefore ∠DOB=∠AOB$
在$△ DOB$和$△ AOB$中：
$\begin{cases} OD=OA \\ ∠DOB=∠AOB \\ OB=OB \end{cases}$
$\therefore △DOB ≌ △AOB(\mathrm{SAS})$，$\therefore DB=AB=5$
在$Rt△ CBD$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{CD^2-DB^2}=\sqrt{8^2-5^2}=\sqrt{39}$
【答案】
(1) $∠ COA=20°$
(2) $BC=\sqrt{39}$，辅助线如图
【知识点】
圆周角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆的性质综合应用题，第一问考查圆周角定理的基础应用，难度较低；第二问需要合理构造直径作为辅助线，结合平行线性质、全等三角形判定和勾股定理解题，掌握圆中常见辅助线的构造思路是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.6
(1) 求解∠COA的度数时，先运用圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，根据已知的圆周角∠ACB求出对应圆心角∠AOB的度数，再用∠COB的度数减去∠AOB的度数，即可得到∠COA的度数。
(2) 求BC的长时，首先利用“直径所对的圆周角是直角”的性质构造直角三角形：延长CO交⊙O于D，连接BD，得到Rt△CBD；先算出直径CD的长度，再结合AC//OB的条件推导角相等，证明△DOB和△AOB全等，将BD转化为已知长度的AB，最后用勾股定理计算BC的长度即可。
【解析】
(1) 根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠AOB和∠ACB都是弧AB对应的角，因此：
$\because ∠ACB=40°$，$\therefore ∠AOB=2∠ACB=80°$
$\because ∠COB=100°$，$\therefore ∠COA=∠COB-∠AOB=100°-80°=20°$
(2) 如图
，延长 $CO$ 交 $\odot O$ 于点 $D$,连接 $BD$。$\because CD$ 是 $\odot O$ 的直径，$\therefore ∠CBD=90°$
$\because OC=4$，$\therefore CD=2OC=8$
$\because OA=OC$，$\therefore ∠OCA=∠OAC$
$\because AC // OB$，$\therefore ∠OCA=∠DOB,∠OAC=∠AOB$，$\therefore ∠DOB=∠AOB$
在$△ DOB$和$△ AOB$中：
$\begin{cases} OD=OA \\ ∠DOB=∠AOB \\ OB=OB \end{cases}$
$\therefore △DOB ≌ △AOB(\mathrm{SAS})$，$\therefore DB=AB=5$
在$Rt△ CBD$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{CD^2-DB^2}=\sqrt{8^2-5^2}=\sqrt{39}$
【答案】
(1) $∠ COA=20°$
(2) $BC=\sqrt{39}$，辅助线如图
【知识点】
圆周角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆的性质综合应用题，第一问考查圆周角定理的基础应用，难度较低；第二问需要合理构造直径作为辅助线，结合平行线性质、全等三角形判定和勾股定理解题，掌握圆中常见辅助线的构造思路是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.6
