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1. 阅读材料：
我们知道，$4x - 2x + x = (4 - 2 + 1)x = 3x$，类似地，我们把$a + b$看成一个整体，则$4(a + b) - 2(a + b) + (a + b) = (4 - 2 + 1)(a + b) = 3(a + b)$。“整体思想”是一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛。
尝试应用：
(1)把$(a - b)^2$看成一个整体，合并$3(a - b)^2 - 6(a - b)^2 + 2(a - b)^2$的结果是
(2)已知$x^2 - 2y = 4$，求$3x^2 - 6y - 21$的值。
我们知道，$4x - 2x + x = (4 - 2 + 1)x = 3x$，类似地，我们把$a + b$看成一个整体，则$4(a + b) - 2(a + b) + (a + b) = (4 - 2 + 1)(a + b) = 3(a + b)$。“整体思想”是一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛。
尝试应用：
(1)把$(a - b)^2$看成一个整体，合并$3(a - b)^2 - 6(a - b)^2 + 2(a - b)^2$的结果是
$-(a-b)^2$
；(2)已知$x^2 - 2y = 4$，求$3x^2 - 6y - 21$的值。
答案
(1) $-(a-b)^2$
(2) 因为 $x^2 - 2y = 4$, 所以原式 $= 3(x^2 - 2y) - 21 = 12 - 21 = -9$.
(2) 因为 $x^2 - 2y = 4$, 所以原式 $= 3(x^2 - 2y) - 21 = 12 - 21 = -9$.
解析
【分析】
本题运用整体思想解题：(1)将$(a-b)^2$看作一个整体，按照合并同类项的法则，只把整体前面的系数相加减，整体部分保持不变即可得到结果；(2)观察所求代数式$3x^2-6y-21$，发现前两项提取公因数3后，可变形为$3(x^2-2y)$，正好对应已知条件$x^2-2y=4$，将已知值整体代入计算即可求出结果。
【解析】
(1) 将$(a-b)^2$看作一个整体，合并同类项：
$3(a-b)^2 - 6(a-b)^2 + 2(a-b)^2 = (3-6+2)(a-b)^2 = -(a-b)^2$
(2) 已知$x^2 - 2y = 4$，先对所求代数式变形：
$3x^2 - 6y - 21 = 3(x^2 - 2y) - 21$
将$x^2 - 2y = 4$代入上式：
原式$=3×4 -21 =12-21=-9$
【答案】
(1) $-(a-b)^2$；(2) $-9$
【知识点】
整体思想，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题重点考查整体思想在整式运算中的应用，解题的核心是准确识别可以看作整体的结构，将待求式转化为含已知整体的形式后代入计算，掌握整体思想可以有效简化运算步骤，降低计算难度。
【难度系数】
0.8
本题运用整体思想解题：(1)将$(a-b)^2$看作一个整体，按照合并同类项的法则，只把整体前面的系数相加减，整体部分保持不变即可得到结果；(2)观察所求代数式$3x^2-6y-21$，发现前两项提取公因数3后，可变形为$3(x^2-2y)$，正好对应已知条件$x^2-2y=4$，将已知值整体代入计算即可求出结果。
【解析】
(1) 将$(a-b)^2$看作一个整体，合并同类项：
$3(a-b)^2 - 6(a-b)^2 + 2(a-b)^2 = (3-6+2)(a-b)^2 = -(a-b)^2$
(2) 已知$x^2 - 2y = 4$，先对所求代数式变形：
$3x^2 - 6y - 21 = 3(x^2 - 2y) - 21$
将$x^2 - 2y = 4$代入上式：
原式$=3×4 -21 =12-21=-9$
【答案】
(1) $-(a-b)^2$；(2) $-9$
【知识点】
整体思想，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题重点考查整体思想在整式运算中的应用，解题的核心是准确识别可以看作整体的结构，将待求式转化为含已知整体的形式后代入计算，掌握整体思想可以有效简化运算步骤，降低计算难度。
【难度系数】
0.8
2. 如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为$ l_1 $，图2中阴影部分周长为$ l_2 $。
(1)若$ a=7,b=5,c=3 $，则长方形的周长为
(2)用含$ a,b,c $的代数式表示$ l_1 - l_2 $的值。
(1)若$ a=7,b=5,c=3 $，则长方形的周长为
48
；(2)用含$ a,b,c $的代数式表示$ l_1 - l_2 $的值。
答案
(1) 48 【解析】由题图1知,大长方形的长为$a+b+c$,由题图2知,大长方形的宽为$a+b-c$,所以长方形的周长为$2(a+b+c+a+b-c)=4a+4b$.当$a=7$,$b=5$时,$4a+4b=28+20=48$,故长方形的周长为48.
(2) 因为$l_1=2(a+b+c)+2(a+b-c-c)=4a+4b-2c$,$l_2=2(a+b+c-b)+2(a+b-c)=4a+2b$,所以$l_1-l_2=(4a+4b-2c)-(4a+2b)=2b-2c$.
(2) 因为$l_1=2(a+b+c)+2(a+b-c-c)=4a+4b-2c$,$l_2=2(a+b+c-b)+2(a+b-c)=4a+2b$,所以$l_1-l_2=(4a+4b-2c)-(4a+2b)=2b-2c$.
解析
【分析】
(1) 求解长方形周长首先需要确定长方形的长和宽：观察图1可得长方形的长为三个正方形边长之和，即$a+b+c$；观察图2可得长方形的宽为A、B边长之和减去C的边长，即$a+b-c$，再代入长方形周长公式，代入数值计算即可。
(2) 计算$l_1-l_2$需先分别求出两个阴影部分的周长：利用平移法将阴影不规则的边转化为和长方形、正方形边长相关的规则线段，分别化简得到$l_1$、$l_2$的代数式，再作差合并同类项即可得到结果。
【解析】
(1) 由图1可知大长方形的长为$a+b+c$，由图2可知大长方形的宽为$a+b-c$。
根据长方形周长公式：$周长=2×(长+宽)$，代入得：
$\begin{aligned}周长&=2[(a+b+c)+(a+b-c)]\\&=2(2a+2b)\\&=4a+4b\end{aligned}$
将$a=7,b=5$代入得：$4×7+4×5=28+20=48$。
(2) 计算图1阴影周长$l_1$，通过平移阴影的边可得：
$\begin{aligned}l_1&=2(a+b+c)+2(a+b-c)-2c\\&=4a+4b-2c\end{aligned}$
计算图2阴影周长$l_2$，通过平移阴影的边可得：
$\begin{aligned}l_2&=2(a+b+c-b)+2(a+b-c)\\&=4a+2b\end{aligned}$
因此两周长作差得：
$l_1-l_2=(4a+4b-2c)-(4a+2b)=2b-2c$
【答案】
(1) $\boxed{48}$
(2) $\boxed{2b-2c}$
【知识点】
长方形周长计算；整式加减运算；平移法求周长
【点评】
本题将图形观察和整式运算结合，重点考查数形结合思想的应用，解题核心是准确提取图形中的边长关系，利用平移法简化不规则周长的计算，能够有效锻炼图形分析能力和代数式化简能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求解长方形周长首先需要确定长方形的长和宽：观察图1可得长方形的长为三个正方形边长之和，即$a+b+c$；观察图2可得长方形的宽为A、B边长之和减去C的边长，即$a+b-c$，再代入长方形周长公式，代入数值计算即可。
(2) 计算$l_1-l_2$需先分别求出两个阴影部分的周长：利用平移法将阴影不规则的边转化为和长方形、正方形边长相关的规则线段，分别化简得到$l_1$、$l_2$的代数式，再作差合并同类项即可得到结果。
【解析】
(1) 由图1可知大长方形的长为$a+b+c$，由图2可知大长方形的宽为$a+b-c$。
根据长方形周长公式：$周长=2×(长+宽)$，代入得：
$\begin{aligned}周长&=2[(a+b+c)+(a+b-c)]\\&=2(2a+2b)\\&=4a+4b\end{aligned}$
将$a=7,b=5$代入得：$4×7+4×5=28+20=48$。
(2) 计算图1阴影周长$l_1$，通过平移阴影的边可得：
$\begin{aligned}l_1&=2(a+b+c)+2(a+b-c)-2c\\&=4a+4b-2c\end{aligned}$
计算图2阴影周长$l_2$，通过平移阴影的边可得：
$\begin{aligned}l_2&=2(a+b+c-b)+2(a+b-c)\\&=4a+2b\end{aligned}$
因此两周长作差得：
$l_1-l_2=(4a+4b-2c)-(4a+2b)=2b-2c$
【答案】
(1) $\boxed{48}$
(2) $\boxed{2b-2c}$
【知识点】
长方形周长计算；整式加减运算；平移法求周长
【点评】
本题将图形观察和整式运算结合，重点考查数形结合思想的应用，解题核心是准确提取图形中的边长关系，利用平移法简化不规则周长的计算，能够有效锻炼图形分析能力和代数式化简能力。
【难度系数】
0.6
3.定义:若$a+b=ab$,则称$a,b$是一组“相伴数”.
例如:$3+1.5=3×1.5$,因此3和1.5是一组“相伴数”.若$m,n$是一组“相伴数”,则$2mn-\frac{1}{2}[3m+2(\frac{1}{2}n-m)+3mn-6]=$
例如:$3+1.5=3×1.5$,因此3和1.5是一组“相伴数”.若$m,n$是一组“相伴数”,则$2mn-\frac{1}{2}[3m+2(\frac{1}{2}n-m)+3mn-6]=$
3
.答案
3
解析
【分析】
首先明确“相伴数”的定义核心：若m、n是相伴数，则满足m+n=mn。要求给定代数式的值，解题思路分为两步：第一步先对代数式进行去括号、合并同类项的化简，第二步将m+n=mn作为整体代入化简后的式子，即可计算出结果，无需单独求出m、n的具体值。
【解析】
∵m、n是一组“相伴数”，
∴根据定义得：$m + n = mn$。
先化简代数式：
$\begin{aligned}&2mn-\frac{1}{2}[3m+2(\frac{1}{2}n-m)+3mn-6]\\=&2mn-\frac{1}{2}[3m + n - 2m + 3mn -6]\\=&2mn-\frac{1}{2}[m + n + 3mn -6]\\=&2mn - \frac{1}{2}m - \frac{1}{2}n - \frac{3}{2}mn + 3\\=&\frac{1}{2}mn - \frac{1}{2}(m + n) + 3\end{aligned}$
将$m + n = mn$代入上式，得：
原式$=\frac{1}{2}mn - \frac{1}{2}mn + 3 = 3$
【答案】
3
【知识点】
整式的加减运算，新定义运算，代数式求值
【点评】
本题结合新定义考查整式化简求值，解题的关键是准确理解新定义得到等量关系，熟练掌握整式去括号、合并同类项的法则，再采用整体代入的方法计算即可，避免不必要的单独求解m、n的运算。
【难度系数】
0.7
首先明确“相伴数”的定义核心：若m、n是相伴数，则满足m+n=mn。要求给定代数式的值，解题思路分为两步：第一步先对代数式进行去括号、合并同类项的化简，第二步将m+n=mn作为整体代入化简后的式子，即可计算出结果，无需单独求出m、n的具体值。
【解析】
∵m、n是一组“相伴数”，
∴根据定义得：$m + n = mn$。
先化简代数式：
$\begin{aligned}&2mn-\frac{1}{2}[3m+2(\frac{1}{2}n-m)+3mn-6]\\=&2mn-\frac{1}{2}[3m + n - 2m + 3mn -6]\\=&2mn-\frac{1}{2}[m + n + 3mn -6]\\=&2mn - \frac{1}{2}m - \frac{1}{2}n - \frac{3}{2}mn + 3\\=&\frac{1}{2}mn - \frac{1}{2}(m + n) + 3\end{aligned}$
将$m + n = mn$代入上式，得：
原式$=\frac{1}{2}mn - \frac{1}{2}mn + 3 = 3$
【答案】
3
【知识点】
整式的加减运算，新定义运算，代数式求值
【点评】
本题结合新定义考查整式化简求值，解题的关键是准确理解新定义得到等量关系，熟练掌握整式去括号、合并同类项的法则，再采用整体代入的方法计算即可，避免不必要的单独求解m、n的运算。
【难度系数】
0.7
4. 如果多项式 $x^4 + ax^3 + 3x^2 + 5x^3 - 7x^2 - bx^2 + 6x - 2$ 合并同类项后不含 $x^3$ 和 $x^2$ 项，求 $2a + 3b$ 的值.
答案
$x^4+ax^3+3x^2+5x^3-7x^2-bx^2+6x-2=x^4+(a+5)x^3+(3-7-b)x^2+6x-2$,由该多项式合并同类项后不含$x^3$和$x^2$项,得$a+5=0$,$3-7-b=0$,解得$a=-5$,$b=-4$. 所以$2a+3b=2×(-5)+3×(-4)=-22$.
解析
【分析】
解题时首先要明确：多项式合并同类项后不含某一项，意味着该项的系数为0。我们的解题步骤可分为三步：第一步先对给定的多项式合并同类项，分别整理出含$x^3$和$x^2$的项，写出它们的系数；第二步令$x^3$和$x^2$项的系数分别等于0，列方程求出a、b的值；第三步将a、b的值代入$2a+3b$计算即可得到结果。
【解析】
先对多项式合并同类项：
$x^4 + ax^3 + 3x^2 + 5x^3 - 7x^2 - bx^2 + 6x - 2$
$=x^4 + (a+5)x^3 + (3-7-b)x^2 + 6x - 2$
因为合并同类项后不含$x^3$和$x^2$项，所以这两项的系数为0，可得：
$\begin{cases}a+5=0 \\ 3-7-b=0\end{cases}$
解第一个方程得：$a=-5$
解第二个方程：$3-7=-4$，即$-4 - b=0$，得$b=-4$
将$a=-5$，$b=-4$代入$2a+3b$：
$2a+3b=2×(-5) + 3×(-4) = -10 -12 = -22$
【答案】
$-22$
【知识点】
合并同类项，多项式的项与系数，代数式求值
【点评】
本题是整式加减的常规题型，核心考点是“多项式不含某类项则对应项系数为0”的应用，解题时需准确合并同类项，避免计算系数时出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确：多项式合并同类项后不含某一项，意味着该项的系数为0。我们的解题步骤可分为三步：第一步先对给定的多项式合并同类项，分别整理出含$x^3$和$x^2$的项，写出它们的系数；第二步令$x^3$和$x^2$项的系数分别等于0，列方程求出a、b的值；第三步将a、b的值代入$2a+3b$计算即可得到结果。
【解析】
先对多项式合并同类项：
$x^4 + ax^3 + 3x^2 + 5x^3 - 7x^2 - bx^2 + 6x - 2$
$=x^4 + (a+5)x^3 + (3-7-b)x^2 + 6x - 2$
因为合并同类项后不含$x^3$和$x^2$项，所以这两项的系数为0，可得：
$\begin{cases}a+5=0 \\ 3-7-b=0\end{cases}$
解第一个方程得：$a=-5$
解第二个方程：$3-7=-4$，即$-4 - b=0$，得$b=-4$
将$a=-5$，$b=-4$代入$2a+3b$：
$2a+3b=2×(-5) + 3×(-4) = -10 -12 = -22$
【答案】
$-22$
【知识点】
合并同类项，多项式的项与系数，代数式求值
【点评】
本题是整式加减的常规题型，核心考点是“多项式不含某类项则对应项系数为0”的应用，解题时需准确合并同类项，避免计算系数时出错。
【难度系数】
0.8
5.分别连接一个三角形三边的中点,构成4个小三角形,挖去中间的一个小三角形(如图1),对剩下的三个小三角形再分别重复以上的做法,将这种做法继续下去(如图2,3…),观察图形,解答下列各题:
(1)填写下表:
|图形序号|挖去三角形的个数|
|----|----|
|1|1|
|2|图1 1+3|
|3|1+3+9|
|4| |
(2)根据这个规律,求图n中挖去三角形的个数$a_n$(用含n的代数式表示);
(3)求$a_{n+1}-a_n$.
…
(1)填写下表:
|图形序号|挖去三角形的个数|
|----|----|
|1|1|
|2|图1 1+3|
|3|1+3+9|
|4| |
(2)根据这个规律,求图n中挖去三角形的个数$a_n$(用含n的代数式表示);
(3)求$a_{n+1}-a_n$.
…答案
(1) $1+3+9+27$
(2) 由(1)得,图$n$中挖去三角形的个数$a_n=3^{n-1}+3^{n-2}+\dots+3^2+3+1$.
(3) 因为$a_{n+1}=3^n+3^{n-1}+\dots+3^2+3+1$,$a_n=3^{n-1}+3^{n-2}+\dots+3^2+3+1$,所以$a_{n+1}-a_n=3^n$.
(2) 由(1)得,图$n$中挖去三角形的个数$a_n=3^{n-1}+3^{n-2}+\dots+3^2+3+1$.
(3) 因为$a_{n+1}=3^n+3^{n-1}+\dots+3^2+3+1$,$a_n=3^{n-1}+3^{n-2}+\dots+3^2+3+1$,所以$a_{n+1}-a_n=3^n$.
解析
【分析】
解决本题先从已知的前3个图形挖去三角形的个数入手找规律：观察发现每往后一个图形，新增挖去的三角形个数是前一个新增个数的3倍。
(1) 图3挖去的总个数是1+3+9，图4就在这个基础上新增$3^3=27$个，即可得到图4的总个数；
(2) 归纳前几个图形的表达式特征：序号为n时，挖去的三角形个数是从$3^0$（即1）开始，依次加$3^1$、$3^2$……直到$3^{n-1}$的和，据此写出$a_n$的表达式；
(3) 先写出$a_{n+1}$的表达式，再和$a_n$作差，相同的项相互抵消即可得到结果。
【解析】
(1) 观察规律：
图1挖去个数：$1=3^0$
图2挖去个数：$1+3=3^0+3^1$
图3挖去个数：$1+3+9=3^0+3^1+3^2$
因此图4挖去个数为$3^0+3^1+3^2+3^3=1+3+9+27$
(2) 结合上述规律，当图形序号为n时，挖去的三角形个数是从$3^0$到$3^{n-1}$的和，即：
$a_n=3^{n-1}+3^{n-2}+\dots+3^2+3+1$
(3) 先写出$a_{n+1}$的表达式：
$a_{n+1}=3^{n}+3^{n-1}+\dots+3^2+3+1$
将两式作差：
$a_{n+1}-a_n=(3^{n}+3^{n-1}+\dots+3+1)-(3^{n-1}+\dots+3+1)=3^n$
【答案】
(1) $\boldsymbol{1+3+9+27}$
(2) $\boldsymbol{a_n=3^{n-1}+3^{n-2}+\dots+3^2+3+1}$
(3) $\boldsymbol{3^n}$
【知识点】
图形规律探究，列代数式，整式加减
【点评】
本题是图形变化类规律探究的典型题型，需要通过观察特殊情况归纳出一般规律，再结合整式加减的运算性质求解，能有效锻炼归纳推理和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
解决本题先从已知的前3个图形挖去三角形的个数入手找规律：观察发现每往后一个图形，新增挖去的三角形个数是前一个新增个数的3倍。
(1) 图3挖去的总个数是1+3+9，图4就在这个基础上新增$3^3=27$个，即可得到图4的总个数；
(2) 归纳前几个图形的表达式特征：序号为n时，挖去的三角形个数是从$3^0$（即1）开始，依次加$3^1$、$3^2$……直到$3^{n-1}$的和，据此写出$a_n$的表达式；
(3) 先写出$a_{n+1}$的表达式，再和$a_n$作差，相同的项相互抵消即可得到结果。
【解析】
(1) 观察规律：
图1挖去个数：$1=3^0$
图2挖去个数：$1+3=3^0+3^1$
图3挖去个数：$1+3+9=3^0+3^1+3^2$
因此图4挖去个数为$3^0+3^1+3^2+3^3=1+3+9+27$
(2) 结合上述规律，当图形序号为n时，挖去的三角形个数是从$3^0$到$3^{n-1}$的和，即：
$a_n=3^{n-1}+3^{n-2}+\dots+3^2+3+1$
(3) 先写出$a_{n+1}$的表达式：
$a_{n+1}=3^{n}+3^{n-1}+\dots+3^2+3+1$
将两式作差：
$a_{n+1}-a_n=(3^{n}+3^{n-1}+\dots+3+1)-(3^{n-1}+\dots+3+1)=3^n$
【答案】
(1) $\boldsymbol{1+3+9+27}$
(2) $\boldsymbol{a_n=3^{n-1}+3^{n-2}+\dots+3^2+3+1}$
(3) $\boldsymbol{3^n}$
【知识点】
图形规律探究，列代数式，整式加减
【点评】
本题是图形变化类规律探究的典型题型，需要通过观察特殊情况归纳出一般规律，再结合整式加减的运算性质求解，能有效锻炼归纳推理和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
