2026年课堂点睛八年级数学上册人教版第68页答案
9. $∠ AOB$的边$OA$上有$M,N$两点，在$∠ AOB$的平分线$OC$上找一点$P$，使$MP+NP$最小，正确的作法是（
D
）

答案

9.D
10. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $AB = AC$, $BC = 4$, $△ ABC$ 的面积是 14, $AC$ 的垂直平分线 $EF$ 分别交 $AC$, $AB$ 于 $E$, $F$ 点. 若点 $D$ 为 $BC$ 边的中点, 点 $M$ 为线段 $EF$ 上一动点, 则 $CM + DM$ 的最小值为 (
B
)

A.21
B.7
C.4
D.2

答案

10.B
11.(随州市期末)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ B=30°,BC=8,D$为$AB$的中点,$P$为$BC$上一动点,连接$AP,DP$,则$AP+DP$的最小值是
8
.

答案

11.8
12.【原创题】如图，OE为$∠ AOB$的平分线，$∠ AOB=30°$，$OB=6$，点$P$，$C$分别为射线$OE$，$OB$上的动点，求$PC+PB$的最小值.

答案

12. 解:在OA上截取OD=OC,连接PD,易证△POC≌△POD(SAS),
∴PD=PC,过点B作BF⊥OA于点F,
∵∠AOB=30°,
∴BF=1/2 OB=3,
∴PC+PB=PD+PB≥BF=3,故PC+PB的最小值为3.
13.【项目式学习】如图①，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
【思考】如图②，如果A，B两地之间有两条平行的河流，我们要建的桥都是要与河岸垂直的，我们应该如何找到这个最短的距离？
【进一步思考】如图③，如果A，B两地之间有三条平行的河流，该如何确定桥的位置？
【拓展】如图④，如果在上述其他条件不变的情况下，两条河并不平行，又该如何确定桥的位置？
请将你的思考在下面准备好的图形中表示出来，保留作图痕迹，将行走的路线用实线画出来。

答案


13. 解:如图①所示,从A到B的路径AMNB最短.
【思考】如图②所示,从A到B的路径AMNEFB最短.
【进一步思考】如图③所示,从A到B的路径AMNGHFEB最短.
【拓展】如图④所示,从A到B的路径AMNEFB最短.