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整式的加减运算法则
几个整式相加减,如果有括号就先，
然后再合并.
几个整式相加减,如果有括号就先，
然后再合并.
答案
解：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
答案依次为：去括号；同类项。
答案依次为：去括号；同类项。
解析
【分析】
本题考查整式加减的基本运算法则，解题时先回忆整式加减的运算顺序：整式加减运算时，首先要处理式子中的括号，再对同类项进行合并，结合法则内容即可完成填空。
【解析】
根据整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，去括号时要注意括号前的符号对括号内各项符号的影响；去括号完成后，再将式子中的同类项进行合并，最终将整式化为最简形式，因此两个空依次对应去括号、同类项。
【答案】去括号；同类项
【知识点】整式的加减运算法则，去括号，合并同类项
【点评】本题属于基础识记类题目，直接考查整式加减的核心运算步骤，掌握整式加减的基本法则是解题的关键。
【难度系数】0.9
本题考查整式加减的基本运算法则，解题时先回忆整式加减的运算顺序：整式加减运算时，首先要处理式子中的括号，再对同类项进行合并，结合法则内容即可完成填空。
【解析】
根据整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，去括号时要注意括号前的符号对括号内各项符号的影响；去括号完成后，再将式子中的同类项进行合并，最终将整式化为最简形式，因此两个空依次对应去括号、同类项。
【答案】去括号；同类项
【知识点】整式的加减运算法则，去括号，合并同类项
【点评】本题属于基础识记类题目，直接考查整式加减的核心运算步骤，掌握整式加减的基本法则是解题的关键。
【难度系数】0.9
【例1】(1)已知$A=4x^2 -4xy + y^2$，$B=x^2 + xy -5y^2$，求$A-3B$；
(2)求$10x^2 -2x -9$与$7x^2 -6x +12$的差。
解透重点
(1)几个多项式相减，减式一定要先用括号括起来；
(2)去括号时，要注意符号问题，尤其是有多重括号时；
(3)遇到相同的多项式，可将它视为一个整体进行合并。
(2)求$10x^2 -2x -9$与$7x^2 -6x +12$的差。
解透重点
(1)几个多项式相减，减式一定要先用括号括起来；
(2)去括号时，要注意符号问题，尤其是有多重括号时；
(3)遇到相同的多项式，可将它视为一个整体进行合并。
答案
解：
(1) 将$A=4x^2 -4xy + y^2$，$B=x^2 + xy -5y^2$代入$A-3B$：
$\begin{aligned}A-3B&=(4x^2 -4xy + y^2)-3(x^2 + xy -5y^2)\\&=4x^2 -4xy + y^2 -3x^2 -3xy +15y^2\\&=x^2 -7xy +16y^2\end{aligned}$
(2) 根据题意列式计算：
$\begin{aligned}&(10x^2 -2x -9)-(7x^2 -6x +12)\\=&10x^2 -2x -9 -7x^2 +6x -12\\=&3x^2 +4x -21\end{aligned}$
(1) 将$A=4x^2 -4xy + y^2$，$B=x^2 + xy -5y^2$代入$A-3B$：
$\begin{aligned}A-3B&=(4x^2 -4xy + y^2)-3(x^2 + xy -5y^2)\\&=4x^2 -4xy + y^2 -3x^2 -3xy +15y^2\\&=x^2 -7xy +16y^2\end{aligned}$
(2) 根据题意列式计算：
$\begin{aligned}&(10x^2 -2x -9)-(7x^2 -6x +12)\\=&10x^2 -2x -9 -7x^2 +6x -12\\=&3x^2 +4x -21\end{aligned}$
解析
【分析】
这两道题都属于整式的加减运算问题，解题思路如下：
第(1)问：已知A、B的表达式求A-3B，首先要将A、B对应的多项式整体代入式子，注意3B是3乘整个B，代入时要给B加上括号避免符号错误；接下来先运用乘法分配律把3乘进B的括号内，再按去括号法则去掉括号，最后合并同类项（同类项系数相加减，字母和字母的指数不变）即可得到结果。
第(2)问：求两个多项式的差，首先要明确被减式是$10x^2 -2x -9$，减式是$7x^2 -6x +12$，列式时要把两个多项式都用括号括起来，用被减式减去减式；之后按去括号法则去掉括号，注意减式前是负号，去括号后减式的每一项都要变号，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 将$A=4x^2 -4xy + y^2$，$B=x^2 + xy -5y^2$代入$A-3B$：
$\begin{aligned}A-3B&=(4x^2 -4xy + y^2)-3(x^2 + xy -5y^2)\\&=4x^2 -4xy + y^2 -3x^2 -3xy +15y^2\\&=(4x^2-3x^2)+(-4xy-3xy)+(y^2+15y^2)\\&=x^2 -7xy +16y^2\end{aligned}$
(2) 根据题意列式计算：
$\begin{aligned}&(10x^2 -2x -9)-(7x^2 -6x +12)\\=&10x^2 -2x -9 -7x^2 +6x -12\\=&(10x^2-7x^2)+(-2x+6x)+(-9-12)\\=&3x^2 +4x -21\end{aligned}$
【答案】
(1) $x^2 -7xy +16y^2$
(2) $3x^2 +4x -21$
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式加减的基础常规题，核心考查整式加减的运算步骤，解题关键是注意代入多项式或列式求差时要给多项式加括号，去括号时注意符号变化，括号前有系数时要乘遍括号内每一项，避免漏乘、符号错误等问题。
【难度系数】
0.8
这两道题都属于整式的加减运算问题，解题思路如下：
第(1)问：已知A、B的表达式求A-3B，首先要将A、B对应的多项式整体代入式子，注意3B是3乘整个B，代入时要给B加上括号避免符号错误；接下来先运用乘法分配律把3乘进B的括号内，再按去括号法则去掉括号，最后合并同类项（同类项系数相加减，字母和字母的指数不变）即可得到结果。
第(2)问：求两个多项式的差，首先要明确被减式是$10x^2 -2x -9$，减式是$7x^2 -6x +12$，列式时要把两个多项式都用括号括起来，用被减式减去减式；之后按去括号法则去掉括号，注意减式前是负号，去括号后减式的每一项都要变号，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 将$A=4x^2 -4xy + y^2$，$B=x^2 + xy -5y^2$代入$A-3B$：
$\begin{aligned}A-3B&=(4x^2 -4xy + y^2)-3(x^2 + xy -5y^2)\\&=4x^2 -4xy + y^2 -3x^2 -3xy +15y^2\\&=(4x^2-3x^2)+(-4xy-3xy)+(y^2+15y^2)\\&=x^2 -7xy +16y^2\end{aligned}$
(2) 根据题意列式计算：
$\begin{aligned}&(10x^2 -2x -9)-(7x^2 -6x +12)\\=&10x^2 -2x -9 -7x^2 +6x -12\\=&(10x^2-7x^2)+(-2x+6x)+(-9-12)\\=&3x^2 +4x -21\end{aligned}$
【答案】
(1) $x^2 -7xy +16y^2$
(2) $3x^2 +4x -21$
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式加减的基础常规题，核心考查整式加减的运算步骤，解题关键是注意代入多项式或列式求差时要给多项式加括号，去括号时注意符号变化，括号前有系数时要乘遍括号内每一项，避免漏乘、符号错误等问题。
【难度系数】
0.8
【变式1】计算$-3(2a^2b - ab^2) - 2(\frac{1}{2}ab^2 - 2a^2b).$
答案
解：
原式$=-6a^2b + 3ab^2 - ab^2 + 4a^2b$
$=(-6a^2b + 4a^2b) + (3ab^2 - ab^2)$
$=-2a^2b + 2ab^2$
原式$=-6a^2b + 3ab^2 - ab^2 + 4a^2b$
$=(-6a^2b + 4a^2b) + (3ab^2 - ab^2)$
$=-2a^2b + 2ab^2$
解析
【分析】
这是一道整式的加减运算题，解题遵循“先去括号，再合并同类项”的步骤。第一步去括号时要注意两个要点：一是括号前的系数要乘遍括号内的每一项，不能漏乘；二是括号前是负号时，去掉括号后括号内的每一项都要改变符号。第二步合并同类项时，先找准所含字母相同、相同字母指数也相同的同类项，再将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变即可。
【解析】
解：先去括号，将括号外的系数乘到括号内每一项：
原式$=-3×2a^2b + (-3)×(-ab^2) -2×\frac{1}{2}ab^2 + (-2)×(-2a^2b)$
$=-6a^2b + 3ab^2 - ab^2 + 4a^2b$
再分组合并同类项：
$=(-6a^2b + 4a^2b) + (3ab^2 - ab^2)$
$=-2a^2b + 2ab^2$
【答案】
$-2a^2b + 2ab^2$
【知识点】
去括号法则，合并同类项，整式的加减
【点评】
本题是整式加减的基础常规题，核心考查去括号的符号处理、系数分配以及同类项的合并方法，易错点为去括号时漏乘括号内的项、符号变化错误，按步骤仔细运算即可得分。
【难度系数】
0.7
这是一道整式的加减运算题，解题遵循“先去括号，再合并同类项”的步骤。第一步去括号时要注意两个要点：一是括号前的系数要乘遍括号内的每一项，不能漏乘；二是括号前是负号时，去掉括号后括号内的每一项都要改变符号。第二步合并同类项时，先找准所含字母相同、相同字母指数也相同的同类项，再将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变即可。
【解析】
解：先去括号，将括号外的系数乘到括号内每一项：
原式$=-3×2a^2b + (-3)×(-ab^2) -2×\frac{1}{2}ab^2 + (-2)×(-2a^2b)$
$=-6a^2b + 3ab^2 - ab^2 + 4a^2b$
再分组合并同类项：
$=(-6a^2b + 4a^2b) + (3ab^2 - ab^2)$
$=-2a^2b + 2ab^2$
【答案】
$-2a^2b + 2ab^2$
【知识点】
去括号法则，合并同类项，整式的加减
【点评】
本题是整式加减的基础常规题，核心考查去括号的符号处理、系数分配以及同类项的合并方法，易错点为去括号时漏乘括号内的项、符号变化错误，按步骤仔细运算即可得分。
【难度系数】
0.7
【例2】[教材例题变式]做大、小长方体纸盒各一个，尺寸如下表(单位:cm)：
(1)做一个大纸盒比做一个小纸盒多用材料多少平方厘米？(2)当$a=10,b=5,c=2$时，做这两个纸盒共用材料多少平方厘米？
(1)做一个大纸盒比做一个小纸盒多用材料多少平方厘米？(2)当$a=10,b=5,c=2$时，做这两个纸盒共用材料多少平方厘米？答案
解：
根据长方体表面积公式，先计算两个纸盒的用料面积：
小纸盒的表面积为：
$2(2a· 3b + 2a· c + 3b· c) = 12ab + 4ac + 6bc \ (\mathrm{cm}^2)$
大纸盒的表面积为：
$2(3a· 4b + 3a· 2c + 4b· 2c) = 24ab + 12ac + 16bc \ (\mathrm{cm}^2)$
(1) 做大纸盒比小纸盒多用材料的面积为：
$\begin{aligned}&(24ab + 12ac + 16bc) - (12ab + 4ac + 6bc)\\=&24ab +12ac +16bc -12ab -4ac -6bc\\=&12ab +8ac +10bc \ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
(2) 做两个纸盒共用材料的面积为：
$\begin{aligned}&(24ab + 12ac + 16bc) + (12ab + 4ac + 6bc)\\=&36ab +16ac +22bc \ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
将$a=10,b=5,c=2$代入上式：
$\begin{aligned}&36×10×5 + 16×10×2 + 22×5×2\\=&1800 + 320 + 220\\=&2340 \ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
答：(1) 做一个大纸盒比做一个小纸盒多用材料$(12ab +8ac +10bc)$平方厘米；(2) 做这两个纸盒共用材料2340平方厘米。
根据长方体表面积公式，先计算两个纸盒的用料面积：
小纸盒的表面积为：
$2(2a· 3b + 2a· c + 3b· c) = 12ab + 4ac + 6bc \ (\mathrm{cm}^2)$
大纸盒的表面积为：
$2(3a· 4b + 3a· 2c + 4b· 2c) = 24ab + 12ac + 16bc \ (\mathrm{cm}^2)$
(1) 做大纸盒比小纸盒多用材料的面积为：
$\begin{aligned}&(24ab + 12ac + 16bc) - (12ab + 4ac + 6bc)\\=&24ab +12ac +16bc -12ab -4ac -6bc\\=&12ab +8ac +10bc \ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
(2) 做两个纸盒共用材料的面积为：
$\begin{aligned}&(24ab + 12ac + 16bc) + (12ab + 4ac + 6bc)\\=&36ab +16ac +22bc \ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
将$a=10,b=5,c=2$代入上式：
$\begin{aligned}&36×10×5 + 16×10×2 + 22×5×2\\=&1800 + 320 + 220\\=&2340 \ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
答：(1) 做一个大纸盒比做一个小纸盒多用材料$(12ab +8ac +10bc)$平方厘米；(2) 做这两个纸盒共用材料2340平方厘米。
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确“用料面积”对应长方体的表面积，长方体表面积公式为$S=2(长×宽+长×高+宽×高)$。解题思路如下：①先根据公式分别计算小纸盒、大纸盒的表面积，展开后合并同类项得到整式形式；②第(1)问求多用的材料，用大纸盒表面积减去小纸盒表面积，做整式减法运算即可；③第(2)问求总用料，先将两个纸盒表面积相加得到总用料的代数式，再代入$a、b、c$的数值计算结果即可。
【解析】
首先计算两个纸盒的表面积：
小纸盒的表面积：
$2(2a·3b + 2a·c + 3b·c) = 12ab + 4ac + 6bc \ (\mathrm{cm}^2)$
大纸盒的表面积：
$2(3a·4b + 3a·2c + 4b·2c) = 24ab + 12ac + 16bc \ (\mathrm{cm}^2)$
(1) 做大纸盒比小纸盒多用的材料面积为大纸盒表面积减小纸盒表面积：
$\begin{aligned}&(24ab + 12ac + 16bc) - (12ab + 4ac + 6bc)\\=&24ab +12ac +16bc -12ab -4ac -6bc\\=&12ab +8ac +10bc \ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
(2) 做两个纸盒共用的材料面积为两个纸盒表面积之和：
$\begin{aligned}&(24ab + 12ac + 16bc) + (12ab + 4ac + 6bc)\\=&36ab +16ac +22bc \ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
将$a=10,b=5,c=2$代入上式计算：
$\begin{aligned}&36×10×5 + 16×10×2 + 22×5×2\\=&1800 + 320 + 220\\=&2340 \ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
(1) $(12ab +8ac +10bc)$平方厘米；(2) $2340$平方厘米
【知识点】
长方体表面积计算，整式的加减，代数式求值
【点评】
本题结合生活实际场景命题，既考查了基础几何公式的应用，又考查了整式加减运算、代数式代值计算的能力，解题时要注意合并同类项时系数计算准确，代值计算时遵循运算顺序，避免低级错误。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，首先明确“用料面积”对应长方体的表面积，长方体表面积公式为$S=2(长×宽+长×高+宽×高)$。解题思路如下：①先根据公式分别计算小纸盒、大纸盒的表面积，展开后合并同类项得到整式形式；②第(1)问求多用的材料，用大纸盒表面积减去小纸盒表面积，做整式减法运算即可；③第(2)问求总用料，先将两个纸盒表面积相加得到总用料的代数式，再代入$a、b、c$的数值计算结果即可。
【解析】
首先计算两个纸盒的表面积：
小纸盒的表面积：
$2(2a·3b + 2a·c + 3b·c) = 12ab + 4ac + 6bc \ (\mathrm{cm}^2)$
大纸盒的表面积：
$2(3a·4b + 3a·2c + 4b·2c) = 24ab + 12ac + 16bc \ (\mathrm{cm}^2)$
(1) 做大纸盒比小纸盒多用的材料面积为大纸盒表面积减小纸盒表面积：
$\begin{aligned}&(24ab + 12ac + 16bc) - (12ab + 4ac + 6bc)\\=&24ab +12ac +16bc -12ab -4ac -6bc\\=&12ab +8ac +10bc \ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
(2) 做两个纸盒共用的材料面积为两个纸盒表面积之和：
$\begin{aligned}&(24ab + 12ac + 16bc) + (12ab + 4ac + 6bc)\\=&36ab +16ac +22bc \ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
将$a=10,b=5,c=2$代入上式计算：
$\begin{aligned}&36×10×5 + 16×10×2 + 22×5×2\\=&1800 + 320 + 220\\=&2340 \ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
(1) $(12ab +8ac +10bc)$平方厘米；(2) $2340$平方厘米
【知识点】
长方体表面积计算，整式的加减，代数式求值
【点评】
本题结合生活实际场景命题，既考查了基础几何公式的应用，又考查了整式加减运算、代数式代值计算的能力，解题时要注意合并同类项时系数计算准确，代值计算时遵循运算顺序，避免低级错误。
【难度系数】
0.75
【变式2】如图，从边长为$(a+1)$cm的正方形纸片中剪去一个边长为$(a-1)$cm的正方形$(a＞1)$，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠，无缝隙），则长方形的长为（）。
单位：cm
A.2 cm
B.$4a$ cm
C.$2a$ cm
D.$(2a-2)$ cm
单位：cm
A.2 cm
B.$4a$ cm
C.$2a$ cm
D.$(2a-2)$ cm
答案
C
解析
【分析】
解决这道题的核心是抓住剪拼前后图形的面积不变这一特点。第一步先计算原图形剩余部分的面积，即边长为$(a+1)$的大正方形面积减去边长为$(a-1)$的小正方形面积；第二步观察剪拼后长方形的宽，可知宽等于大、小正方形的边长差；最后根据长方形面积公式“长=面积÷宽”，代入计算即可得到长方形的长。
【解析】
1. 计算剩余部分的面积：
大正方形面积为$(a+1)^2 \ \mathrm{cm}^2$，剪去的小正方形面积为$(a-1)^2 \ \mathrm{cm}^2$，因此剩余部分面积：
$\begin{aligned}S&=(a+1)^2-(a-1)^2\\&=(a^2+2a+1)-(a^2-2a+1)\\&=4a \ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
2. 确定拼成长方形的宽：
观察图形可得，长方形的宽等于大、小正方形的边长差，即：
$宽=(a+1)-(a-1)=2 \ \mathrm{cm}$
3. 求长方形的长：
根据长方形面积公式$S=长×宽$，可得$长=S÷宽=4a÷2=2a \ \mathrm{cm}$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 等积变换原理
2. 整式的加减运算
3. 正方形、长方形面积计算
【点评】
本题将图形剪拼和整式运算结合，解题的关键是把握剪拼过程中面积不变的规律，既考查了基础的面积计算能力，也渗透了数形结合的思想，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心是抓住剪拼前后图形的面积不变这一特点。第一步先计算原图形剩余部分的面积，即边长为$(a+1)$的大正方形面积减去边长为$(a-1)$的小正方形面积；第二步观察剪拼后长方形的宽，可知宽等于大、小正方形的边长差；最后根据长方形面积公式“长=面积÷宽”，代入计算即可得到长方形的长。
【解析】
1. 计算剩余部分的面积：
大正方形面积为$(a+1)^2 \ \mathrm{cm}^2$，剪去的小正方形面积为$(a-1)^2 \ \mathrm{cm}^2$，因此剩余部分面积：
$\begin{aligned}S&=(a+1)^2-(a-1)^2\\&=(a^2+2a+1)-(a^2-2a+1)\\&=4a \ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
2. 确定拼成长方形的宽：
观察图形可得，长方形的宽等于大、小正方形的边长差，即：
$宽=(a+1)-(a-1)=2 \ \mathrm{cm}$
3. 求长方形的长：
根据长方形面积公式$S=长×宽$，可得$长=S÷宽=4a÷2=2a \ \mathrm{cm}$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 等积变换原理
2. 整式的加减运算
3. 正方形、长方形面积计算
【点评】
本题将图形剪拼和整式运算结合，解题的关键是把握剪拼过程中面积不变的规律，既考查了基础的面积计算能力，也渗透了数形结合的思想，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
