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例 三张卡片的正面分别写有数字3,4,4,卡片除数字外完全相同,将它们洗匀后,背面朝上放置在桌面上.学校将组织歌咏比赛,小明和小亮都想去,于是利用上述三张卡片做游戏决定谁去,游戏规则是:从中任意抽取一张卡片,记下数字后放回,洗匀后再任意抽取一张,将抽取的两张卡片上的数字相加,若和等于8,小明去;若和等于7,小亮去;和是其他数,游戏重新开始.你认为游戏对双方公平吗?请说明理由.
答案
这个游戏公平.理由如下:从这三张卡片中先后抽取出两张,可能出现的结果如下：
共有9种结果,它们出现的可能性相同.记事件A=“两张卡片上的数字之和为 7”,共包含 6 种结果,所以 $P(A)=\frac{4}{9}$,记事件B=“两张卡片上的数字之和为 8”,共包含 6 种结果,所以 $P(B)=\frac{4}{9}$,所以这个游戏是公平的
共有9种结果,它们出现的可能性相同.记事件A=“两张卡片上的数字之和为 7”,共包含 6 种结果,所以 $P(A)=\frac{4}{9}$,记事件B=“两张卡片上的数字之和为 8”,共包含 6 种结果,所以 $P(B)=\frac{4}{9}$,所以这个游戏是公平的
解析
【分析】
判断游戏是否公平的核心依据是双方获胜的概率是否相等。本题是有放回的抽取试验，两次抽取相互独立，所有结果出现的可能性相等。解题时先列举出两次抽取卡片的所有等可能结果，再分别统计两张卡片数字和为7、和为8的结果数，结合概率公式计算两人获胜的概率，对比概率大小即可判断游戏公平性。
【解析】
将两张写有数字4的卡片分别记为$4_1$、$4_2$，便于区分所有等可能结果。因为是有放回抽取，两次抽取的所有可能结果如下：
$(3,3)$，和为6；$(3,4_1)$，和为7；$(3,4_2)$，和为7；
$(4_1,3)$，和为7；$(4_1,4_1)$，和为8；$(4_1,4_2)$，和为8；
$(4_2,3)$，和为7；$(4_2,4_1)$，和为8；$(4_2,4_2)$，和为8。
总共有9种等可能的结果。
其中和为7（小亮获胜）的结果有4种，因此小亮获胜的概率$P(小亮去)=\frac{4}{9}$；
和为8（小明获胜）的结果有4种，因此小明获胜的概率$P(小明去)=\frac{4}{9}$。
因为$P(小明去)=P(小亮去)$，所以该游戏对双方公平。
【答案】
这个游戏公平，理由如下：两次抽取共有9种等可能结果，其中和为7、和为8的结果各有4种，两人获胜的概率均为$\frac{4}{9}$，概率相等，因此游戏公平。
【知识点】
概率计算；游戏公平性判断；列表法求概率
【点评】
本题是概率应用的典型题型，解题关键是明确游戏公平的判断标准为双方获胜概率相等。解题时要注意有放回抽取的特征，准确列举所有等可能结果，避免漏数或多数导致概率计算错误。
【难度系数】
0.7
判断游戏是否公平的核心依据是双方获胜的概率是否相等。本题是有放回的抽取试验，两次抽取相互独立，所有结果出现的可能性相等。解题时先列举出两次抽取卡片的所有等可能结果，再分别统计两张卡片数字和为7、和为8的结果数，结合概率公式计算两人获胜的概率，对比概率大小即可判断游戏公平性。
【解析】
将两张写有数字4的卡片分别记为$4_1$、$4_2$，便于区分所有等可能结果。因为是有放回抽取，两次抽取的所有可能结果如下：
$(3,3)$，和为6；$(3,4_1)$，和为7；$(3,4_2)$，和为7；
$(4_1,3)$，和为7；$(4_1,4_1)$，和为8；$(4_1,4_2)$，和为8；
$(4_2,3)$，和为7；$(4_2,4_1)$，和为8；$(4_2,4_2)$，和为8。
总共有9种等可能的结果。
其中和为7（小亮获胜）的结果有4种，因此小亮获胜的概率$P(小亮去)=\frac{4}{9}$；
和为8（小明获胜）的结果有4种，因此小明获胜的概率$P(小明去)=\frac{4}{9}$。
因为$P(小明去)=P(小亮去)$，所以该游戏对双方公平。
【答案】
这个游戏公平，理由如下：两次抽取共有9种等可能结果，其中和为7、和为8的结果各有4种，两人获胜的概率均为$\frac{4}{9}$，概率相等，因此游戏公平。
【知识点】
概率计算；游戏公平性判断；列表法求概率
【点评】
本题是概率应用的典型题型，解题关键是明确游戏公平的判断标准为双方获胜概率相等。解题时要注意有放回抽取的特征，准确列举所有等可能结果，避免漏数或多数导致概率计算错误。
【难度系数】
0.7
1. 如图，有三条绳子穿过一片木板，两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一段绳子.若每边每段绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的概率为
（第1题）
$\frac{1}{3}$
. （第1题）答案
1. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
这是一道两步试验的概率求解问题，解题思路如下：首先明确计算等可能事件概率的核心公式是“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”。第一步先算总情况数：左边的人有3种等可能的选绳结果，右边的人也独立有3种等可能的选绳结果，总共有3×3种等可能的结果；第二步找符合条件的情况数：两人选到同一条绳子的情况，就是同时选第一条、同时选第二条、同时选第三条，共3种；最后将两个数值代入概率公式即可得到结果。
【解析】
设三条绳子分别记为1、2、3。
左边人选绳的等可能结果共3种：1、2、3；右边人选绳的等可能结果也共3种：1、2、3。
两人选绳的所有等可能结果总数为：$ 3 × 3 = 9 $种，分别为$(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)$。
其中两人选到同一条绳子的结果有$(1,1)、(2,2)、(3,3)$，共3种。
根据概率公式可得：
$ P(\mathrm{两人选到同一条绳子})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} $
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
等可能事件概率，列举法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，重点考查对列举法求概率的掌握，只要准确梳理出所有等可能结果和符合要求的结果，结合概率公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是一道两步试验的概率求解问题，解题思路如下：首先明确计算等可能事件概率的核心公式是“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”。第一步先算总情况数：左边的人有3种等可能的选绳结果，右边的人也独立有3种等可能的选绳结果，总共有3×3种等可能的结果；第二步找符合条件的情况数：两人选到同一条绳子的情况，就是同时选第一条、同时选第二条、同时选第三条，共3种；最后将两个数值代入概率公式即可得到结果。
【解析】
设三条绳子分别记为1、2、3。
左边人选绳的等可能结果共3种：1、2、3；右边人选绳的等可能结果也共3种：1、2、3。
两人选绳的所有等可能结果总数为：$ 3 × 3 = 9 $种，分别为$(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)$。
其中两人选到同一条绳子的结果有$(1,1)、(2,2)、(3,3)$，共3种。
根据概率公式可得：
$ P(\mathrm{两人选到同一条绳子})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} $
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
等可能事件概率，列举法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，重点考查对列举法求概率的掌握，只要准确梳理出所有等可能结果和符合要求的结果，结合概率公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 从1~9这九个自然数中任取一个,取到的数是2的倍数的概率是(
A.$\frac{2}{9}$
B.$\frac{4}{9}$
C.$\frac{5}{9}$
D.$\frac{2}{3}$
B
).A.$\frac{2}{9}$
B.$\frac{4}{9}$
C.$\frac{5}{9}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
2. B
解析
【分析】
本题考查简单概率的计算，解题思路如下：第一步先确定所有等可能的总情况数，从1~9任取一个数，每个数被取到的可能性相等，总共有9种等可能结果；第二步找出符合“取到的数是2的倍数”的结果数，即找出1~9中所有2的倍数；第三步根据概率计算公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
解：从1~9这九个自然数中任取一个，共有9种等可能的结果。
1~9中是2的倍数的数为：2、4、6、8，共4种符合条件的结果。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得取到的数是2的倍数的概率为$\frac{4}{9}$。
【答案】
B
【知识点】
概率公式应用；2的倍数判定
【点评】
本题属于基础题型，考查对古典概型概率计算的掌握，解题的关键是准确统计总情况数和符合条件的情况数，代入公式计算即可，注意避免因漏数或多数符合条件的数导致出错。
【难度系数】
0.85
本题考查简单概率的计算，解题思路如下：第一步先确定所有等可能的总情况数，从1~9任取一个数，每个数被取到的可能性相等，总共有9种等可能结果；第二步找出符合“取到的数是2的倍数”的结果数，即找出1~9中所有2的倍数；第三步根据概率计算公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
解：从1~9这九个自然数中任取一个，共有9种等可能的结果。
1~9中是2的倍数的数为：2、4、6、8，共4种符合条件的结果。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得取到的数是2的倍数的概率为$\frac{4}{9}$。
【答案】
B
【知识点】
概率公式应用；2的倍数判定
【点评】
本题属于基础题型，考查对古典概型概率计算的掌握，解题的关键是准确统计总情况数和符合条件的情况数，代入公式计算即可，注意避免因漏数或多数符合条件的数导致出错。
【难度系数】
0.85
3. 小红与小颖玩掷骰子的游戏，双方约定当两枚骰子的点数之积为奇数时，小红赢；当两枚骰子的点数之积为偶数时，小颖赢.你认为这个游戏约定(
A.对小红有利
B.对小颖有利
C.对双方是公平的
D.公平性无法确定
B
).A.对小红有利
B.对小颖有利
C.对双方是公平的
D.公平性无法确定
答案
3. B
解析
【分析】
判断游戏是否公平的核心是比较双方获胜的概率是否相等，若概率相等则公平，否则对概率更大的一方有利。首先根据有理数乘法的奇偶性规律：只有两个乘数均为奇数时，乘积才是奇数，只要有一个乘数是偶数，乘积就为偶数，因此可将问题转化为分别计算“两枚骰子点数均为奇数”和“至少有一枚骰子点数为偶数”的概率，再比较二者大小即可得出结论。
【解析】
解：判断游戏公平性需先计算双方获胜的概率：
1. 计算总等可能结果数：掷两枚骰子，每枚骰子有6种等可能结果，因此总共有$6×6=36$种等可能的结果。
2. 计算小红获胜的概率：
乘积为奇数时，两枚骰子的点数都必须是奇数。每枚骰子的奇数点数有1、3、5共3种，因此两枚均为奇数的结果数为$3×3=9$种。
则小红获胜的概率$P_{\mathrm{小红}}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$。
3. 计算小颖获胜的概率：
小颖获胜的情况是点数积为偶数，与小红获胜为对立事件，因此$P_{\mathrm{小颖}}=1-P_{\mathrm{小红}}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
4. 比较概率大小：$\frac{3}{4}＞\frac{1}{4}$，小颖获胜概率更高，因此游戏对小颖有利。
【答案】
B
【知识点】
游戏公平性判断；古典概型概率计算；有理数乘法奇偶性
【点评】
本题以常见的掷骰子游戏为背景，考查概率的实际应用，解题的关键是先明确乘积奇偶性的判定规则，再准确计算双方获胜的概率，属于概率应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
判断游戏是否公平的核心是比较双方获胜的概率是否相等，若概率相等则公平，否则对概率更大的一方有利。首先根据有理数乘法的奇偶性规律：只有两个乘数均为奇数时，乘积才是奇数，只要有一个乘数是偶数，乘积就为偶数，因此可将问题转化为分别计算“两枚骰子点数均为奇数”和“至少有一枚骰子点数为偶数”的概率，再比较二者大小即可得出结论。
【解析】
解：判断游戏公平性需先计算双方获胜的概率：
1. 计算总等可能结果数：掷两枚骰子，每枚骰子有6种等可能结果，因此总共有$6×6=36$种等可能的结果。
2. 计算小红获胜的概率：
乘积为奇数时，两枚骰子的点数都必须是奇数。每枚骰子的奇数点数有1、3、5共3种，因此两枚均为奇数的结果数为$3×3=9$种。
则小红获胜的概率$P_{\mathrm{小红}}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$。
3. 计算小颖获胜的概率：
小颖获胜的情况是点数积为偶数，与小红获胜为对立事件，因此$P_{\mathrm{小颖}}=1-P_{\mathrm{小红}}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
4. 比较概率大小：$\frac{3}{4}＞\frac{1}{4}$，小颖获胜概率更高，因此游戏对小颖有利。
【答案】
B
【知识点】
游戏公平性判断；古典概型概率计算；有理数乘法奇偶性
【点评】
本题以常见的掷骰子游戏为背景，考查概率的实际应用，解题的关键是先明确乘积奇偶性的判定规则，再准确计算双方获胜的概率，属于概率应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
4. 小明与小亮做抛硬币游戏，连续抛四次硬币，当其中恰有三次结果相同时，小明赢，而当恰有两次结果相同时，小亮赢，其他情况不计输赢。你认为这个游戏对双方公平吗？
答案
4. 连续抛四次硬币,恰好有三次结果相同的概率是$\frac{1}{2}$,恰有两次结果相同的概率是$\frac{3}{8}$.所以这个游戏对小明有利,不公平
解析
【分析】
要判断游戏是否公平，只需比较小明和小亮赢的概率是否相等：若概率相等则游戏公平，否则不公平。解题时首先算出抛4次硬币所有等可能的总结果数，再分别数出“恰有三次结果相同”“恰有两次结果相同”对应的结果数，最后计算两者概率并比较大小即可。
【解析】
连续抛1次硬币有正面、反面2种等可能的结果，因此连续抛4次硬币的总等可能结果数为：$2×2×2×2=16$种。
1. 计算小明赢的概率：
“恰有三次结果相同”分为两种情况：①三次正面、1次反面：反面可以出现在第1、2、3、4次，共4种情况；②三次反面、1次正面：正面可以出现在第1、2、3、4次，共4种情况。
因此小明赢的结果共有$4+4=8$种，概率为$\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$。
2. 计算小亮赢的概率：
“恰有两次结果相同”即两次正面、两次反面，列举所有情况：正正反反、正反正反、正反反正、反正正反、反正反正、反反正正，共6种情况。
因此小亮赢的概率为$\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。
因为$\frac{1}{2}＞\frac{3}{8}$，小明赢的概率更大，所以游戏不公平。
【答案】
连续抛四次硬币,恰好有三次结果相同的概率是$\frac{1}{2}$,恰有两次结果相同的概率是$\frac{3}{8}$.所以这个游戏对小明有利,不公平
【知识点】
等可能事件概率计算，游戏公平性判断，列举法求概率
【点评】
本题是概率在实际生活中的典型应用，解题的核心是准确统计两类事件对应的结果数量，计算概率后比较大小即可得出结论，需要注意列举情况时不要漏数或重复计数。
【难度系数】
0.6
要判断游戏是否公平，只需比较小明和小亮赢的概率是否相等：若概率相等则游戏公平，否则不公平。解题时首先算出抛4次硬币所有等可能的总结果数，再分别数出“恰有三次结果相同”“恰有两次结果相同”对应的结果数，最后计算两者概率并比较大小即可。
【解析】
连续抛1次硬币有正面、反面2种等可能的结果，因此连续抛4次硬币的总等可能结果数为：$2×2×2×2=16$种。
1. 计算小明赢的概率：
“恰有三次结果相同”分为两种情况：①三次正面、1次反面：反面可以出现在第1、2、3、4次，共4种情况；②三次反面、1次正面：正面可以出现在第1、2、3、4次，共4种情况。
因此小明赢的结果共有$4+4=8$种，概率为$\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$。
2. 计算小亮赢的概率：
“恰有两次结果相同”即两次正面、两次反面，列举所有情况：正正反反、正反正反、正反反正、反正正反、反正反正、反反正正，共6种情况。
因此小亮赢的概率为$\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。
因为$\frac{1}{2}＞\frac{3}{8}$，小明赢的概率更大，所以游戏不公平。
【答案】
连续抛四次硬币,恰好有三次结果相同的概率是$\frac{1}{2}$,恰有两次结果相同的概率是$\frac{3}{8}$.所以这个游戏对小明有利,不公平
【知识点】
等可能事件概率计算，游戏公平性判断，列举法求概率
【点评】
本题是概率在实际生活中的典型应用，解题的核心是准确统计两类事件对应的结果数量，计算概率后比较大小即可得出结论，需要注意列举情况时不要漏数或重复计数。
【难度系数】
0.6
