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1.在平面直角坐标系中，抛物线$y=x^2 -1$的顶点坐标为（
A.$(1,0)$
B.$(-1,0)$
C.$(0,1)$
D.$(0,-1)$
D
）.A.$(1,0)$
B.$(-1,0)$
C.$(0,1)$
D.$(0,-1)$
答案
1.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二次函数顶点坐标的求解思路。本题中抛物线解析式没有一次项，属于$y=ax^2+k$（$a≠0$）的形式，这类二次函数的对称轴是y轴（即直线$x=0$），顶点在对称轴上，因此只需将$x=0$代入解析式求出对应的$y$值，即可得到顶点坐标。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=x^2-1$，属于$y=ax^2+k$（$a≠0$）的形式，其对称轴为直线$x=0$。
将$x=0$代入解析式，得$y=0^2-1=-1$，因此该抛物线的顶点坐标为$(0,-1)$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点坐标求法；二次函数的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数顶点坐标的计算，熟练掌握不同形式二次函数的性质和顶点求解方法就能快速得分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆二次函数顶点坐标的求解思路。本题中抛物线解析式没有一次项，属于$y=ax^2+k$（$a≠0$）的形式，这类二次函数的对称轴是y轴（即直线$x=0$），顶点在对称轴上，因此只需将$x=0$代入解析式求出对应的$y$值，即可得到顶点坐标。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=x^2-1$，属于$y=ax^2+k$（$a≠0$）的形式，其对称轴为直线$x=0$。
将$x=0$代入解析式，得$y=0^2-1=-1$，因此该抛物线的顶点坐标为$(0,-1)$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点坐标求法；二次函数的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数顶点坐标的计算，熟练掌握不同形式二次函数的性质和顶点求解方法就能快速得分。
【难度系数】
0.9
2.在平面直角坐标系中,二次函数$y=-x^2+3$的图象大致是(
C
). 答案
2.C
解析
【分析】
解决二次函数图象判断类题目，可按照“先定开口方向，再定对称轴/顶点位置，最后排除错项”的思路解题：首先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，排除开口不符合的选项；再根据一次项系数判断对称轴位置，排除对称轴不符合的选项，最终锁定正确答案。
【解析】
解：对于二次函数$y=-x^2+3$：
1. 判定开口方向：二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，直接排除开口向上的A、B选项；
2. 判定对称轴：函数的一次项系数$b=0$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得对称轴为直线$x=0$，即抛物线对称轴为$y$轴，顶点在$y$轴上；
3. 排除剩余错项：D选项的抛物线顶点在第二象限，对称轴不是$y$轴，不符合性质，排除D；C选项抛物线开口向下、对称轴为$y$轴、顶点在$y$轴正半轴，完全符合$y=-x^2+3$的图象特征。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，开口方向判断，对称轴识别
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，重点考察二次函数各项系数对图象特征的影响，掌握由系数判断开口、对称轴的方法就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解决二次函数图象判断类题目，可按照“先定开口方向，再定对称轴/顶点位置，最后排除错项”的思路解题：首先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，排除开口不符合的选项；再根据一次项系数判断对称轴位置，排除对称轴不符合的选项，最终锁定正确答案。
【解析】
解：对于二次函数$y=-x^2+3$：
1. 判定开口方向：二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，直接排除开口向上的A、B选项；
2. 判定对称轴：函数的一次项系数$b=0$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得对称轴为直线$x=0$，即抛物线对称轴为$y$轴，顶点在$y$轴上；
3. 排除剩余错项：D选项的抛物线顶点在第二象限，对称轴不是$y$轴，不符合性质，排除D；C选项抛物线开口向下、对称轴为$y$轴、顶点在$y$轴正半轴，完全符合$y=-x^2+3$的图象特征。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，开口方向判断，对称轴识别
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，重点考察二次函数各项系数对图象特征的影响，掌握由系数判断开口、对称轴的方法就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3.关于二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$和$y=\frac{1}{2}x^2 -2$，下列结论不正确的是（
A.图象的开口方向相同
B.图象的形状相同
C.图象的顶点坐标相同
D.当$x＜0$时，$y$随着$x$的增大而减小
C
）。A.图象的开口方向相同
B.图象的形状相同
C.图象的顶点坐标相同
D.当$x＜0$时，$y$随着$x$的增大而减小
答案
3.C
解析
【分析】
拿到本题首先观察两个二次函数的特征：二者二次项系数相同，仅常数项不同，可按照以下思路解题：第一步，回忆二次函数参数的作用，二次项系数a决定开口方向和图象形状，a相同则开口方向、形状完全一致；第二步，回忆二次函数上下平移的规律，y=ax²+k是y=ax²上下平移|k|个单位得到的，平移后仅顶点纵坐标改变，对称轴、增减性均不变；第三步，逐一比对四个选项的结论，选出描述错误的选项即可。
【解析】
我们分别分析两个二次函数的性质，逐一判断选项：
1. 判断A、B选项：两个函数的二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，且|a|相等。根据二次函数性质，a的正负决定开口方向，|a|决定图象形状，因此两个函数开口方向都向上，图象形状相同，A、B结论正确。
2. 判断C选项：$y=\frac{1}{2}x^2$的顶点坐标为$(0,0)$；$y=\frac{1}{2}x^2-2$是前者向下平移2个单位得到的，顶点坐标变为$(0,-2)$，二者顶点坐标不同，C结论错误。
3. 判断D选项：两个函数的对称轴均为y轴（直线$x=0$），且开口向上，因此当$x＜0$时，y都随x的增大而减小，D结论正确。
综上，结论不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数平移规律；二次函数增减性
【点评】
本题侧重考查二次函数基础性质的应用，解题核心是明确不同参数对二次函数图象的影响，区分平移前后不变和变化的性质，掌握基础知识点即可快速判断。
【难度系数】
0.8
拿到本题首先观察两个二次函数的特征：二者二次项系数相同，仅常数项不同，可按照以下思路解题：第一步，回忆二次函数参数的作用，二次项系数a决定开口方向和图象形状，a相同则开口方向、形状完全一致；第二步，回忆二次函数上下平移的规律，y=ax²+k是y=ax²上下平移|k|个单位得到的，平移后仅顶点纵坐标改变，对称轴、增减性均不变；第三步，逐一比对四个选项的结论，选出描述错误的选项即可。
【解析】
我们分别分析两个二次函数的性质，逐一判断选项：
1. 判断A、B选项：两个函数的二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，且|a|相等。根据二次函数性质，a的正负决定开口方向，|a|决定图象形状，因此两个函数开口方向都向上，图象形状相同，A、B结论正确。
2. 判断C选项：$y=\frac{1}{2}x^2$的顶点坐标为$(0,0)$；$y=\frac{1}{2}x^2-2$是前者向下平移2个单位得到的，顶点坐标变为$(0,-2)$，二者顶点坐标不同，C结论错误。
3. 判断D选项：两个函数的对称轴均为y轴（直线$x=0$），且开口向上，因此当$x＜0$时，y都随x的增大而减小，D结论正确。
综上，结论不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数平移规律；二次函数增减性
【点评】
本题侧重考查二次函数基础性质的应用，解题核心是明确不同参数对二次函数图象的影响，区分平移前后不变和变化的性质，掌握基础知识点即可快速判断。
【难度系数】
0.8
4.在平面直角坐标系中，将抛物线$y=2x^2$向
下
平移1
个单位长度，得到抛物线$y=2x^2 -1$；将抛物线$y=3x^2 +2$向下
平移2
个单位长度，得到抛物线$y=3x^2$.答案
4.下 1 下 2
解析
【分析】
要解决抛物线平移的问题，首先回忆二次函数图象上下平移的规律：上下平移只改变函数表达式的常数项，遵循“上加下减”的原则，即常数项增加n就向上平移n个单位，常数项减少n就向下平移n个单位。我们只需要分别对比每组平移前后抛物线表达式的常数项差值，就能确定平移的方向和单位长度。
【解析】
我们根据二次函数上下平移“上加下减常数项”的规律解题：
1. 对比抛物线$y=2x^2$和$y=2x^2-1$：
$y=2x^2$可以写成$y=2x^2+0$，平移后常数项从0变为-1，减少了1，因此是将$y=2x^2$向下平移1个单位长度得到$y=2x^2-1$。
2. 对比抛物线$y=3x^2+2$和$y=3x^2$：
$y=3x^2$可以写成$y=3x^2+0$，平移后常数项从2变为0，减少了2，因此是将$y=3x^2+2$向下平移2个单位长度得到$y=3x^2$。
【答案】
下；1；下；2
【知识点】
二次函数平移规律
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，核心考查上下平移的变化规律，牢记“上加下减常数项，左加右减自变量”的平移口诀，就能快速准确得出答案，注意平移时要区分是改变常数项还是自变量，避免混淆上下和左右平移的规律。
【难度系数】
0.9
要解决抛物线平移的问题，首先回忆二次函数图象上下平移的规律：上下平移只改变函数表达式的常数项，遵循“上加下减”的原则，即常数项增加n就向上平移n个单位，常数项减少n就向下平移n个单位。我们只需要分别对比每组平移前后抛物线表达式的常数项差值，就能确定平移的方向和单位长度。
【解析】
我们根据二次函数上下平移“上加下减常数项”的规律解题：
1. 对比抛物线$y=2x^2$和$y=2x^2-1$：
$y=2x^2$可以写成$y=2x^2+0$，平移后常数项从0变为-1，减少了1，因此是将$y=2x^2$向下平移1个单位长度得到$y=2x^2-1$。
2. 对比抛物线$y=3x^2+2$和$y=3x^2$：
$y=3x^2$可以写成$y=3x^2+0$，平移后常数项从2变为0，减少了2，因此是将$y=3x^2+2$向下平移2个单位长度得到$y=3x^2$。
【答案】
下；1；下；2
【知识点】
二次函数平移规律
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，核心考查上下平移的变化规律，牢记“上加下减常数项，左加右减自变量”的平移口诀，就能快速准确得出答案，注意平移时要区分是改变常数项还是自变量，避免混淆上下和左右平移的规律。
【难度系数】
0.9
5.在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为$(0,4)$，且经过点$(-1,0)$，求此抛物线的解析式.
答案
5.设抛物线的解析式为 $y=a(x-h)^2+k$,
$\because$ 抛物线的顶点为$(0,4)$,$\therefore h=0,k=4$,
将$(-1,0)$代入抛物线的解析式得 $0=a(-1-0)^2+4$,解得 $a=-4$,
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=-4x^2+4$.
$\because$ 抛物线的顶点为$(0,4)$,$\therefore h=0,k=4$,
将$(-1,0)$代入抛物线的解析式得 $0=a(-1-0)^2+4$,解得 $a=-4$,
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=-4x^2+4$.
解析
【分析】
已知抛物线的顶点坐标，优先选择二次函数顶点式设解析式，可简化计算步骤。首先回忆二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$是顶点坐标，先将已知顶点坐标代入顶点式确定$h$、$k$的值，此时解析式仅含未知参数$a$，再将抛物线上已知的另一个点的坐标代入解析式，求解得到$a$的值，整理后即可得到抛物线的解析式。
【解析】
设抛物线的解析式为 $y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），
$\because$ 抛物线的顶点为$(0,4)$，$\therefore h=0,k=4$，
此时解析式可写为$y=ax^2+4$，
将$(-1,0)$代入上述解析式得 $0=a(-1-0)^2+4$，解得 $a=-4$，
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=-4x^2+4$。
【答案】
$y=-4x^2+4$
【知识点】
二次函数顶点式；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，已知顶点坐标时选择顶点式求解比一般式更简便，解题时注意代入坐标计算时符号不要出错。
【难度系数】
0.8
已知抛物线的顶点坐标，优先选择二次函数顶点式设解析式，可简化计算步骤。首先回忆二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$是顶点坐标，先将已知顶点坐标代入顶点式确定$h$、$k$的值，此时解析式仅含未知参数$a$，再将抛物线上已知的另一个点的坐标代入解析式，求解得到$a$的值，整理后即可得到抛物线的解析式。
【解析】
设抛物线的解析式为 $y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），
$\because$ 抛物线的顶点为$(0,4)$，$\therefore h=0,k=4$，
此时解析式可写为$y=ax^2+4$，
将$(-1,0)$代入上述解析式得 $0=a(-1-0)^2+4$，解得 $a=-4$，
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=-4x^2+4$。
【答案】
$y=-4x^2+4$
【知识点】
二次函数顶点式；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，已知顶点坐标时选择顶点式求解比一般式更简便，解题时注意代入坐标计算时符号不要出错。
【难度系数】
0.8
6.若$a＞0,c＜0$,则二次函数$y=ax^2+c$的图象大致是(
A
). 答案
6.A
解析
【分析】
要判断二次函数$y=ax^2+c$的图象，我们可以分三步分析：第一步先根据$a$的符号判断开口方向，排除不符合的选项；第二步根据一次项系数$b=0$判断对称轴位置，进一步排除错误选项；第三步根据$c$的符号判断抛物线与$y$轴的交点位置，最终确定正确答案。
【解析】
1. 判断开口方向：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，$a＞0$时抛物线开口向上，已知本题中$a＞0$，因此开口向下的B、D选项不符合要求，排除；
2. 判断对称轴：本题二次函数解析式无一次项，即$b=0$，因此对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=0$，也就是$y$轴，抛物线关于$y$轴对称，C选项的抛物线不关于$y$轴对称，排除；
3. 判断与$y$轴交点：当$x=0$时，$y=c$，已知$c＜0$，因此抛物线与$y$轴交于负半轴，A选项符合该特征。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质，开口方向判断，函数与坐标轴交点
【点评】
本题是二次函数图象与系数关系的基础题型，核心考查$a$、$c$对二次函数图象的影响以及对称轴的判断规则，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数$y=ax^2+c$的图象，我们可以分三步分析：第一步先根据$a$的符号判断开口方向，排除不符合的选项；第二步根据一次项系数$b=0$判断对称轴位置，进一步排除错误选项；第三步根据$c$的符号判断抛物线与$y$轴的交点位置，最终确定正确答案。
【解析】
1. 判断开口方向：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，$a＞0$时抛物线开口向上，已知本题中$a＞0$，因此开口向下的B、D选项不符合要求，排除；
2. 判断对称轴：本题二次函数解析式无一次项，即$b=0$，因此对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=0$，也就是$y$轴，抛物线关于$y$轴对称，C选项的抛物线不关于$y$轴对称，排除；
3. 判断与$y$轴交点：当$x=0$时，$y=c$，已知$c＜0$，因此抛物线与$y$轴交于负半轴，A选项符合该特征。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质，开口方向判断，函数与坐标轴交点
【点评】
本题是二次函数图象与系数关系的基础题型，核心考查$a$、$c$对二次函数图象的影响以及对称轴的判断规则，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
