12.如图，将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转$90°$，得到$△ DEC$，若点$D$恰好在$AB$的延长线上，$AB=3$，$BC=4$，则$BD$的长为。

$\sqrt{23}$

【分析】解决这道题首先利用旋转的性质，得出AC=DC且旋转角∠ACD=90°，可知△ACD是等腰直角三角形，得到∠A=45°。接下来通过作BH⊥AC构造直角三角形，利用勾股定理分别求出AH、BH、HC的长度，进而得到AC的长度，再根据等腰直角三角形斜边与直角边的关系求出AD的长度，最后用AD减去AB的长度即可得到BD的长。
【解析】
解：
∵△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，
∴AC=DC，∠ACD=90°，即△ACD为等腰直角三角形，
∴∠A=∠ADC=45°。
过点B作BH⊥AC，垂足为H。
在Rt△ABH中，∠A=45°，故AH=BH，设AH=BH=x，
由勾股定理得：$AH^2 + BH^2 = AB^2$，即$2x^2=3^2=9$，
解得$x=\frac{3\sqrt{2}}{2}$（边长为正，舍去负解），
即$AH=BH=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
在Rt△BCH中，BC=4，由勾股定理得：
$HC^2=BC^2 - BH^2=4^2 - (\frac{3\sqrt{2}}{2})^2=16-\frac{9}{2}=\frac{23}{2}$，
∴$HC=\sqrt{\frac{23}{2}}=\frac{\sqrt{46}}{2}$，
∴$AC=AH+HC=\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{46}}{2}=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{46}}{2}$。
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴$AD=\sqrt{2}AC=\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{46}}{2}=\frac{6 + 2\sqrt{23}}{2}=3+\sqrt{23}$。
∵点D在AB的延长线上，
∴$AD=AB+BD$，
∴$BD=AD-AB=(3+\sqrt{23})-3=\sqrt{23}$。
【答案】$\sqrt{23}$
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】本题属于中等难度的几何计算题，核心是利用旋转的性质得到等腰直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，结合勾股定理求解线段长度，解题时要注意旋转前后对应边、对应角的对应关系，避免混淆。
【难度系数】0.6

13.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,若点$E$是$BC$边上任意一点,将$△ AEC$绕点$A$逆时针旋转得到$△ ADB$,点$E$的对应点为点$D$,连接$DE$.
(1)求证:$∠ ABC=∠ ABD$;
(2)若$AC// BD$,求$∠ AED$的度数.

(1) 证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ C$。
∵ $△ AEC$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到 $△ ADB$，
∴ $∠ ABD = ∠ C$，
∴ $∠ ABC = ∠ ABD$。
---
(2) 解：
∵ $AC// BD$，
∴ $∠ BAC = ∠ ABD$。
由(1)知 $∠ ABD = ∠ ABC$，
∴ $∠ BAC = ∠ ABC$。
又∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ ACB$，
∴ $∠ BAC = ∠ ABC = ∠ ACB$，
即 $△ ABC$ 是等边三角形，
∴ $∠ BAC = 60°$。
由旋转的性质得：$AD=AE$，$∠ DAE = ∠ BAC = 60°$，
∴ $△ ADE$ 是等边三角形，
∴ $∠ AED = 60°$。
最终结论：$∠ AED$ 的度数为 $\boldsymbol{60°}$。

【分析】
（1）要证明$∠ABC=∠ABD$，首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质，由$AB=AC$可得$∠ABC=∠C$；再结合旋转的性质，旋转前后对应角相等，可知$△AEC$旋转得到$△ADB$后，$∠ABD$与$∠C$是对应角，即$∠ABD=∠C$，通过等量代换即可完成证明。
（2）求$∠AED$的度数时，先根据平行线“内错角相等”的性质，由$AC// BD$可得$∠BAC=∠ABD$，结合（1）的结论可推出$∠BAC=∠ABC$，再结合$AB=AC$可知$△ABC$三个内角相等，即$△ABC$是等边三角形，得到$∠BAC=60°$；再根据旋转的性质，旋转前后对应边相等（$AD=AE$）、旋转角相等（$∠DAE=∠BAC=60°$），可判定$△ADE$是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到$∠AED$的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ C$。
∵ $△ AEC$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到 $△ ADB$，
∴ $∠ ABD = ∠ C$，
∴ $∠ ABC = ∠ ABD$。
(2) 解：
∵ $AC// BD$，
∴ $∠ BAC = ∠ ABD$。
由(1)知 $∠ ABD = ∠ ABC$，
∴ $∠ BAC = ∠ ABC$。
又
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ ACB$，
∴ $∠ BAC = ∠ ABC = ∠ ACB$，
即 $△ ABC$ 是等边三角形，
∴ $∠ BAC = 60°$。
由旋转的性质得：$AD=AE$，$∠ DAE = ∠ BAC = 60°$，
∴ $△ ADE$ 是等边三角形，
∴ $∠ AED = 60°$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{60°}$
【知识点】
旋转的性质；等腰（等边）三角形的性质与判定；平行线的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是灵活运用旋转的性质，结合等腰三角形、平行线的性质推导角的等量关系，通过判定等边三角形求解角度，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

14.如图,已知点P是等边三角形ABC内一点,且$PA=6$,$PB=8$,$PC=10$.
(1)在图中画出将$△ BPC$绕点B逆时针旋转$60°$后得到的$△ BEA$;
(2)求$∠ APB$的度数.

解：
(1) 作图：以点B为旋转中心，将BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BE，连接AE，△BEA即为所求的图形。
(2) 连接PE。
∵ △BEA是△BPC绕点B逆时针旋转60°后得到的，
∴ BE=BP，EA=PC=10，∠EBP=60°，
∴ △EBP是等边三角形，
∴ EP=PB=8，∠EPB=60°。
在△AEP中，PA=6，EP=8，EA=10，
∵ $6^2 + 8^2 = 100 = 10^2$，即 $PA^2 + EP^2 = EA^2$，
∴ △AEP是直角三角形，∠APE=90°，
∴ ∠APB = ∠APE + ∠EPB = 90° + 60° = 150°。
答：∠APB的度数为150°。

【分析】
(1) 作图首先明确旋转三要素：旋转中心为点B，旋转方向为逆时针，旋转角度为60°。因为△ABC是等边三角形，BC绕点B逆时针旋转60°后与BA重合，所以只需将点P绕点B逆时针旋转60°得到点E，连接AE即可得到所求的△BEA。
(2) 直接在△APB中仅已知PA、PB的长度，无法直接求∠APB的度数。可利用旋转的性质将PC转化为EA，同时结合旋转角为60°且BE=BP，可证△EBP是等边三角形，得到EP=PB、∠EPB=60°，此时PA、EP、EA三条已知长度的线段被集中到△AEP中，用勾股定理逆定理可判定△AEP为直角三角形，得到∠APE=90°，最后将两个角相加即可得到∠APB的度数。
【解析】
(1) 作图：以点B为旋转中心，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BE，连接AE，△BEA即为所求图形。
(2) 连接PE，
∵ △BEA是△BPC绕点B逆时针旋转60°后得到的，
∴ BE=BP，EA=PC=10，∠EBP=60°，
∴ △EBP是等边三角形，
∴ EP=PB=8，∠EPB=60°。
在△AEP中，PA=6，EP=8，EA=10，
∵ $6^2 + 8^2 = 100 = 10^2$，即 $PA^2 + EP^2 = EA^2$，
∴ △AEP是直角三角形，∠APE=90°，
∴ ∠APB = ∠APE + ∠EPB = 90° + 60° = 150°。
【答案】
(1) 作图见解析；(2) $\boxed{150°}$
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是旋转应用的典型题型，核心是通过旋转变换将分散的已知条件集中到同一个三角形中，结合特殊三角形的性质求解角度，掌握旋转转化的思想是解决此类题目的关键。
【难度系数】
0.6