6.如图,两个全等正方形ABCD和CDEF挨在一起,旋转正方形ABCD能和正方形CDEF重合,则可以作为旋转中心的点有 ()

A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个

C

【分析】首先回忆旋转的性质：旋转中心是旋转过程中固定不动的点，图形旋转后与目标图形完全重合。我们结合两个正方形的位置，逐个验证可能的不动点：先看公共顶点C，判断绕C旋转特定角度能否重合；再看公共顶点D，判断绕D旋转特定角度能否重合；最后看公共边CD的中点，判断绕中点旋转180°能否重合，即可得出所有符合要求的旋转中心个数。
【解析】根据旋转的性质逐一验证：
1. 以点C为旋转中心：将正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°，可与正方形CDEF完全重合，符合要求；
2. 以点D为旋转中心：将正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°，可与正方形CDEF完全重合，符合要求；
3. 以CD的中点为旋转中心：将正方形ABCD绕CD的中点旋转180°，可与正方形CDEF完全重合，符合要求。
综上，共有3个点可以作为旋转中心。
【答案】C
【知识点】旋转的性质、正方形的性质
【点评】本题考查旋转中心的判定，解题关键是熟练掌握旋转的性质，注意不要遗漏公共边中点作为旋转中心的情况，避免漏解。
【难度系数】0.7

7.将$△ ABC$在平面内绕点$A$逆时针旋转$50°$到$△ AB'C'$的位置，若$AB// CC'$，则$∠ CAB'$的度数为________.

$\boldsymbol{15°}$

【分析】
解题时先从旋转的性质入手，首先明确旋转前后对应边相等、旋转角相等，可得AC=AC'，旋转角∠CAC'=∠BAB'=50°，由此可判断△ACC'为等腰三角形，计算出其底角∠ACC'的度数；再结合AB//CC'的平行线性质，利用内错角相等求出∠CAB的度数；最后用∠CAB减去旋转角∠BAB'即可求出∠CAB'的度数。
【解析】
解：
∵△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△AB'C'，
∴AC=AC'，∠CAC'=∠BAB'=50°，
∴△ACC'为等腰三角形，
∴∠ACC'=∠AC'C=(180°-∠CAC')÷2=(180°-50°)÷2=65°，
又
∵AB//CC'，
∴∠CAB=∠ACC'=65°（两直线平行，内错角相等），
∴∠CAB'=∠CAB - ∠BAB'=65°-50°=15°。
【答案】
15°
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是角度计算的基础题型，将旋转、等腰三角形、平行线的性质结合考查，解题的关键是准确把握旋转前后的边角对应关系，结合几何图形的性质逐步推导角度，是旋转章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.7

8.如图,在$△ ABC$中,$AB=2$,$BC=3.6$,$∠ B=60°$,将$△ ABC$绕点$A$按顺时针方向旋转一定的角度得到$△ ADE$,当点$B$的对应点$D$恰好落在$BC$边上时,$CD$的长为$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.

$\boldsymbol{1.6}$

【分析】
本题可根据旋转的性质结合等边三角形的判定求解：首先由旋转前后对应边相等，得到AB=AD；结合已知∠B=60°，可判定△ABD为等边三角形，从而得到BD的长度；最后用BC的长度减去BD的长度即可求出CD的长。
【解析】
∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ADE，点B的对应点为D
∴根据旋转的性质，对应边相等，可得AB=AD
又
∵∠B=60°，AB=AD
∴△ABD是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）
∴BD=AB=2
已知BC=3.6
∴CD=BC - BD = 3.6 - 2 = 1.6
【答案】
$\boldsymbol{1.6}$
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；线段的和差计算
【点评】
本题是图形旋转相关的基础题型，解题的核心是抓住旋转前后对应边相等的性质，结合特殊三角形的判定求出对应线段长度，解题思路清晰，考查的知识点较为基础。
【难度系数】
0.75

9.如图,将$△ ABC$绕点$A$顺时针旋转$85°$,得到$△ ADE$.若点$E$恰好在$CB$的延长线上,则$∠ BED=$.

$\boldsymbol{95°}$

【分析】
本题可结合旋转的性质与四边形内角和定理求解，思考步骤如下：首先回忆旋转的性质，旋转前后对应角相等、旋转角大小固定；其次根据点E在CB延长线的位置，得到邻补角的关系，结合旋转的对应角相等，得到四边形中一组对角互补；最后利用四边形内角和为360°，代入已知角度计算即可得到∠BED的度数。
【解析】
解：
∵ 将△ABC绕点A顺时针旋转85°得到△ADE，
∴ 根据旋转的性质可得：∠ABC=∠ADE，旋转角∠BAD=85°，
∵ 点E在CB的延长线上，
∴ ∠ABC和∠ABE是邻补角，即∠ABC + ∠ABE = 180°，
通过等量代换可得：∠ADE + ∠ABE = 180°，
∵ 四边形ABED的内角和为$(4-2)×180°=360°$，即$∠ ABE + ∠ BED + ∠ ADE + ∠ BAD = 360°$，
将$∠ ADE + ∠ ABE = 180°$，$∠ BAD=85°$代入上式：
$180° + 85° + ∠ BED = 360°$，
解得：$∠ BED=360°-180°-85°=95°$。
【答案】
$\boldsymbol{95°}$
【知识点】
旋转的性质；四边形内角和；邻补角定义
【点评】
本题属于图形旋转的基础应用类题目，核心考查旋转前后图形的性质，结合邻补角、多边形内角和的知识点即可解答，解题关键是准确找到旋转前后相等的角，结合角度关系推导计算。
【难度系数】
0.7

10.如图,在等边△ABC中,点D是BC边上的点,以AD为边作等边△ADE,连接BE.
(1)△ABE可以看成△以点为旋转中心,时针旋转度得到；
(2)若∠DAC=42°,则∠AEB =.

解：
(1) ∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=60°，
可得∠BAE=∠CAD，△ABE ≌ △ACD，
因此△ABE可以看成△$\boldsymbol{ACD}$以点$\boldsymbol{A}$为旋转中心，逆时针旋转$\boldsymbol{60}$度得到。
(2) 由△ABE ≌ △ACD，得∠AEB = ∠ADC。
在△ADC中，∠C=60°，∠DAC=42°，
∴∠ADC = 180° - ∠C - ∠DAC = 180° - 60° - 42° = 78°，
∴∠AEB = $\boldsymbol{78°}$。

【分析】
首先解决第(1)问：结合旋转的定义可知，旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。已知△ABC和△ADE均为等边三角形，可得到两组等边，以及两个60°的顶角，通过角度等量代换得到相等的夹角，即可证明△ABE和△ACD全等，再结合两个三角形的公共顶点、对应边的旋转方向和夹角，就能确定旋转的相关要素。
再解决第(2)问：由全等三角形的对应角相等，可得∠AEB=∠ADC，只需在△ADC中计算∠ADC的度数即可，利用等边三角形的内角为60°，结合已知的∠DAC的度数，根据三角形内角和180°即可求出结果。
【解析】
(1)
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC - ∠BAD = ∠DAE - ∠BAD，即∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\∠BAE=∠CAD \\AE=AD\end{array} $
∴△ABE≌△ACD（SAS），
因此△ABE可以看成△ACD以点A为旋转中心，逆时针旋转60度得到。
(2) 由(1)的全等结论可得∠AEB = ∠ADC，
在△ADC中，△ABC是等边三角形，故∠C=60°，已知∠DAC=42°，
根据三角形内角和为180°，得：
∠ADC = 180° - ∠C - ∠DAC = 180° - 60° - 42° = 78°，
∴∠AEB = 78°。
【答案】
(1) ACD，A，逆，60；(2) 78°
【知识点】
等边三角形的性质，旋转的定义，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是等边三角形、图形旋转和全等三角形的综合基础题，解题核心是利用等边三角形的性质推导全等所需的边、角条件，再结合旋转特征和三角形内角和定理求解，能够帮助学生巩固图形变换与全等的关联知识点。
【难度系数】
0.75

11. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点M为对角线BD上任意一点（可与B，D重合），连接AM，将线段AM绕点A逆时针旋转90°得到线段AN，连接MN，DN。
(1)求证：BM=DN；
(2)当$BM=\sqrt{2}$时，求MN的长。

(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AB=AD$，$∠ BAD=90°$。
由旋转的性质得：$AM=AN$，$∠ MAN=90°$，
∴ $∠ BAD - ∠ MAD = ∠ MAN - ∠ MAD$，
即 $∠ BAM=∠ DAN$。
在$△ ABM$和$△ ADN$中：
$\begin{cases}AB=AD \\∠ BAM=∠ DAN \\AM=AN\end{cases}$
∴ $△ ABM ≌ △ ADN$（SAS），
∴ $BM=DN$。
---
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $∠ BAD=90°$，$AB=AD=4$，
∴ $∠ ABD=∠ ADB=45°$，
对角线 $BD=\sqrt{AB^2 + AD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
∵ $BM=\sqrt{2}$，
∴ $DM=BD - BM=4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
由(1)中$△ ABM ≌ △ ADN$，得：
$∠ ADN=∠ ABM=45°$，$DN=BM=\sqrt{2}$，
∴ $∠ MDN=∠ ADB + ∠ ADN=45°+45°=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ MDN$中，由勾股定理：
$MN=\sqrt{DM^2 + DN^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2}=\sqrt{18+2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
最终结论：$MN$的长为$2\sqrt{5}$。

【分析】
(1) 要证明线段BM=DN，可通过证明两线段所在的三角形全等实现。首先由正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=90°；再结合旋转的性质得到AM=AN，∠MAN=90°，推导可得∠BAM=∠DAN，进而利用SAS判定△ABM≌△ADN，即可证得BM=DN。
(2) 要求MN的长，先根据正方形的边长求出对角线BD的长度，结合已知BM的长度算出DM的长；由(1)的全等结论可得∠ADN=∠ABM=45°，结合正方形中∠ADB=45°，可推出∠MDN=90°，最后在Rt△MDN中利用勾股定理即可求出MN的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AB=AD$，$∠ BAD=90°$。
由旋转的性质得：$AM=AN$，$∠ MAN=90°$，
∴ $∠ BAD - ∠ MAD = ∠ MAN - ∠ MAD$，
即 $∠ BAM=∠ DAN$。
在$△ ABM$和$△ ADN$中：
$\begin{cases}AB=AD \\∠ BAM=∠ DAN \\AM=AN\end{cases}$
∴ $△ ABM ≌ △ ADN$（SAS），
∴ $BM=DN$。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $∠ BAD=90°$，$AB=AD=4$，
∴ $∠ ABD=∠ ADB=45°$，
对角线 $BD=\sqrt{AB^2 + AD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
∵ $BM=\sqrt{2}$，
∴ $DM=BD - BM=4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
由(1)中$△ ABM ≌ △ ADN$，得：
$∠ ADN=∠ ABM=45°$，$DN=BM=\sqrt{2}$，
∴ $∠ MDN=∠ ADB + ∠ ADN=45°+45°=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ MDN$中，由勾股定理：
$MN=\sqrt{DM^2 + DN^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2}=\sqrt{18+2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
【答案】
(1) BM=DN得证；
(2) $2\sqrt{5}$
【知识点】
正方形的性质、旋转的性质、全等三角形判定与性质
【点评】
本题是几何综合基础题，将正方形、旋转与全等三角形、勾股定理结合考查，解题的关键是抓住旋转前后线段、角的对应关系，通过全等实现线段和角的转化，再利用勾股定理求解未知线段。
【难度系数】
0.7