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1. 已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则
（
A.$AP^2 = AB · PB$
B.$AB^2 = AP · PB$
C.$PB^2 = AP · AB$
D.$AP · BP = AB$
（
C
）A.$AP^2 = AB · PB$
B.$AB^2 = AP · PB$
C.$PB^2 = AP · AB$
D.$AP · BP = AB$
答案
1. C 解析:
∵ P为线段AB的黄金分割点,且AP＜PB,根据黄金分割的定义得 PB²=AP·AB.故选 C.
技法点拨 把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫作黄金分割,它们的比值$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$叫作黄金比.
∵ P为线段AB的黄金分割点,且AP＜PB,根据黄金分割的定义得 PB²=AP·AB.故选 C.
技法点拨 把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫作黄金分割,它们的比值$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$叫作黄金比.
2. 黄金分割数$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算$2(\sqrt{5}-1)$的值 （
A.在1和2之间
B.在2和3之间
C.在3和4之间
D.在4和5之间
B
）A.在1和2之间
B.在2和3之间
C.在3和4之间
D.在4和5之间
答案
2. B 解析:
∵ 2＜√5＜2.5,
∴ 4＜2√5＜5.又
∵ 2(√5-1)=2√5-2,
∴ 2＜2√5-2＜3,
∴ 2(√5-1)的值在2和3之间.故选 B.
∵ 2＜√5＜2.5,
∴ 4＜2√5＜5.又
∵ 2(√5-1)=2√5-2,
∴ 2＜2√5-2＜3,
∴ 2(√5-1)的值在2和3之间.故选 B.
3. (2026·深圳期中)黄金分割率被视为最美丽的几何学比率,广泛地应用于建筑和艺术中.如图,已知点P是笛子AB的黄金分割点(BP＞AP),若笛子AB长50 cm,则PB长为 (
A.$25(\sqrt{5}-1)\mathrm{cm}$
B.$25(3-\sqrt{5})\mathrm{cm}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\mathrm{cm}$
D.$\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\mathrm{cm}$
A
)A.$25(\sqrt{5}-1)\mathrm{cm}$
B.$25(3-\sqrt{5})\mathrm{cm}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\mathrm{cm}$
D.$\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\mathrm{cm}$
答案
3. A 解析:
∵ 点P是笛子AB的黄金分割点,BP＞AP,
∴ $\frac{BP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
∵ 笛子AB长50 cm,
∴ $BP=50×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=25(\sqrt{5}-1)\mathrm{cm}$,
∴ PB长为$25(\sqrt{5}-1)\mathrm{cm}$.故选 A.
∵ 点P是笛子AB的黄金分割点,BP＞AP,
∴ $\frac{BP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
∵ 笛子AB长50 cm,
∴ $BP=50×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=25(\sqrt{5}-1)\mathrm{cm}$,
∴ PB长为$25(\sqrt{5}-1)\mathrm{cm}$.故选 A.
4. 如图,若$S_1$表示以BC为边的正方形面积,$S_2$表示以AB为长、AC为宽的矩形面积,且$S_1 = S_2$,则图中可看作线段黄金分割点的是
(
A.点C
B.点D
C.点C和点D
D.没有
(
C
)A.点C
B.点D
C.点C和点D
D.没有
答案
4. C 解析:
∵ $S_1=BC^2$,$S_2=AC·AB$,$S_1=S_2$,
∴ $BC^2=AC·AB$,
∴ 点C是线段AB的黄金分割点.
∵ AB=CE,BC=CD,
∴ AC=DE,
∴ $CD^2=DE·CE$,
∴ 点D是线段CE的黄金分割点,故选 C.
∵ $S_1=BC^2$,$S_2=AC·AB$,$S_1=S_2$,
∴ $BC^2=AC·AB$,
∴ 点C是线段AB的黄金分割点.
∵ AB=CE,BC=CD,
∴ AC=DE,
∴ $CD^2=DE·CE$,
∴ 点D是线段CE的黄金分割点,故选 C.
5. (2025·成都期中)C为线段AB的黄金分割点，AB长度为15 cm，则AC的长度为
$\frac{15\sqrt{5}-15}{2}$或$\frac{45-15\sqrt{5}}{2}$
cm.(结果保留根号)答案
5. $\frac{15\sqrt{5}-15}{2}$或$\frac{45-15\sqrt{5}}{2}$ 解析:
∵ 点C是线段AB的黄金分割点,AB=15 cm,
∴ 当AC＞BC时,$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×15=\frac{15\sqrt{5}-15}{2}$(cm);当AC＜BC时,$BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×15=\frac{15\sqrt{5}-15}{2}$(cm),
∴ $AC=AB-BC=15-\frac{15\sqrt{5}-15}{2}=\frac{45-15\sqrt{5}}{2}$(cm).故答案为$\frac{15\sqrt{5}-15}{2}$或$\frac{45-15\sqrt{5}}{2}$.
易错提醒 注意分情况讨论:分AC＞BC和AC＜BC两种情况.
∵ 点C是线段AB的黄金分割点,AB=15 cm,
∴ 当AC＞BC时,$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×15=\frac{15\sqrt{5}-15}{2}$(cm);当AC＜BC时,$BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×15=\frac{15\sqrt{5}-15}{2}$(cm),
∴ $AC=AB-BC=15-\frac{15\sqrt{5}-15}{2}=\frac{45-15\sqrt{5}}{2}$(cm).故答案为$\frac{15\sqrt{5}-15}{2}$或$\frac{45-15\sqrt{5}}{2}$.
易错提醒 注意分情况讨论:分AC＞BC和AC＜BC两种情况.
6. 一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体.若舞台AB长为20米,一个主持人现在站在A处,则主持人应至少再走
7.64
米才最理想.(结果精确到0.01米)答案
6. 7.64 解析:设他应至少再走x米站在C处才最理想,则易知AC＜BC,则$\frac{x}{20-x}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,解得$x=30-10\sqrt{5}$,经检验,$x=30-10\sqrt{5}$是原方程的解.
∴ 他应至少再走$30-10\sqrt{5}≈7.64$(米)才最理想.
∴ 他应至少再走$30-10\sqrt{5}≈7.64$(米)才最理想.
7. (2026·成都期中)矩形的短边与长边的比等于黄金比(即$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$)，则该矩形叫黄金矩形. 黄金矩形给我们以协调的美感. 如图，黄金矩形ABCD的长边AB = 1，则它的周长为
$1+\sqrt{5}$
.答案
7. $1+\sqrt{5}$ 解析:
∵ 矩形ABCD为黄金矩形,
∴ $\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
∵ AB=1,
∴ $BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴ 矩形的周长为2(AB+BC)=$1+\sqrt{5}$,故答案为$1+\sqrt{5}$.
∵ 矩形ABCD为黄金矩形,
∴ $\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
∵ AB=1,
∴ $BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴ 矩形的周长为2(AB+BC)=$1+\sqrt{5}$,故答案为$1+\sqrt{5}$.
8. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=36°$,$BD$是$∠ ABC$的平分线.求证:点$D$是线段$AC$的黄金分割点.
答案
8.
∵ AB=AC,∠A=36°,
∴ ∠ABC=∠ACB=72°.
∵ BD是∠ABC的平分线,
∴ ∠ABD=∠DBC=36°,
∴ ∠A=∠CBD=∠ABD.又
∵ ∠C=∠C,
∴ △BDC∽△ABC,
∴ $\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{AC}$,
∴ $BC^2=AC·CD$.
∵ ∠A=∠ABD,
∴ DA=DB.
∵ ∠C=72°,∠BDC=180°-∠CBD-∠C=72°,
∴ ∠C=∠BDC,
∴ BC=DB,
∴ BC=AD,
∴ $AD^2=AC·CD$,
∴ 点D是线段AC的黄金分割点.
∵ AB=AC,∠A=36°,
∴ ∠ABC=∠ACB=72°.
∵ BD是∠ABC的平分线,
∴ ∠ABD=∠DBC=36°,
∴ ∠A=∠CBD=∠ABD.又
∵ ∠C=∠C,
∴ △BDC∽△ABC,
∴ $\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{AC}$,
∴ $BC^2=AC·CD$.
∵ ∠A=∠ABD,
∴ DA=DB.
∵ ∠C=72°,∠BDC=180°-∠CBD-∠C=72°,
∴ ∠C=∠BDC,
∴ BC=DB,
∴ BC=AD,
∴ $AD^2=AC·CD$,
∴ 点D是线段AC的黄金分割点.
9. 宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（约0.618）的矩形叫作黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感。我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图，作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD的长为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则下列矩形是黄金矩形的是（
A.矩形ABFE
B.矩形EFCD
C.矩形EFGH
D.矩形DCGH
D
）A.矩形ABFE
B.矩形EFCD
C.矩形EFGH
D.矩形DCGH
答案
9. D 解析:设正方形ABCD的边长为2,则CD=2,CF=1.在Rt△DCF中,$DF=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$,
∴ FG=$\sqrt{5}$,
∴ CG=$\sqrt{5}-1$,
∴ $\frac{CG}{CD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴ 矩形DCGH为黄金矩形.故选 D.
∴ FG=$\sqrt{5}$,
∴ CG=$\sqrt{5}-1$,
∴ $\frac{CG}{CD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴ 矩形DCGH为黄金矩形.故选 D.
