9. 将$△ ABC$按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点$B'$,折痕为EF,已知$AB=AC=8$,$BC=10$,若以点$B'$,$F$,$C$为顶点的三角形与$△ ABC$相似,那么$BF$的长度是.

9. $\frac{40}{9}$或5 解析:设 BF=x,
∴ B'F=BF=x,
∴ FC=BC-BF=10-x.
∵ ∠FCB'=∠BCA,
∴ 当$\frac{CF}{CB}=\frac{CB'}{CA}=\frac{FB'}{AB}$时,△CFB'∽△CBA,即$\frac{10-x}{10}=\frac{x}{8}$,解得$x=\frac{40}{9}$;当$\frac{CF}{CA}=\frac{CB'}{CB}=\frac{FB'}{AB}$时,△CFB'∽△CAB,即$\frac{10-x}{8}=\frac{x}{8}$,解得 x=5.综上所述,当 BF=$\frac{40}{9}$或5时,以点 B',F,C 为顶点的三角形与△ABC 相似.

10. (菏泽中考)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,P₁,P₂,P₃,P₄,P₅是△DEF边上的5个格点,请按要求完成下列各题:
(1)求证:△ABC为直角三角形;
(2)判断△ABC与△DEF是否相似,并说明理由;
(3)画一个三角形,使它的三个顶点为P₁,P₂,P₃,P₄,P₅中的3个格点并且与△ABC相似.

10. (1)
∵AB²=20,AC²=5,BC²=25,
∴AB²+AC²=BC²,根据勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形.(2)△ABC与△DEF相似.理由:由(1)中数据得AB=2√5,AC=√5,BC=5.又由勾股定理得DE=4√2,DF=2√2,EF=2√10,
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{\sqrt{10}}{4}$,
∴ △ABC∽△DEF.(3)如图,连接P₂P₅,P₂P₄,P₄P₅,则△P₂P₄P₅符合要求,由勾股定理得P₂P₅=√10,P₂P₄=√2,P₄P₅=2√2.又
∵AB=2√5,AC=√5,BC=5,
∴$\frac{P_2P_5}{BC}=\frac{P_4P_5}{AB}=\frac{P_2P_4}{AC}=\frac{\sqrt{10}}{5}$,
∴ △ABC∽△P₄P₅P₂.

11. (南京中考)如图,在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中, $D,D'$分别是$AB,A'B'$上一点,$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$.

(1)当$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$时,求证:$△ ABC ∽ △ A'B'C'$.
证明的途径可以用下面的框图表示,请填写其中的空格.

(2)当$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$时,判断$△ ABC$与$△ A'B'C'$是否相似,并说明理由.

11. (1)$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AD}{A'D'}$ ∠A=∠A'(2)△ABC∽△A'B'C'.理由:如图,过点 D,D'分别作DE//BC,D'E'//B'C',DE交AC于点E,D'E'交A'C'于点E'.
∵ DE//BC,
∴ △ADE∽△ABC,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$.同理,$\frac{A'D'}{A'B'}=\frac{D'E'}{B'C'}=\frac{A'E'}{A'C'}$.又
∵$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$,
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{D'E'}{B'C'}$,
∴$\frac{DE}{D'E'}=\frac{BC}{B'C'}$.同理,$\frac{AE}{AC}=\frac{A'E'}{A'C'}$,
∴ 1-$\frac{AE}{AC}$=1-$\frac{A'E'}{A'C'}$,
∴$\frac{AC-AE}{AC}=\frac{A'C'-A'E'}{A'C'}$,即$\frac{EC}{AC}=\frac{E'C'}{A'C'}$,
∴$\frac{EC}{E'C'}=\frac{AC}{A'C'}$.又
∵$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$,
∴$\frac{CD}{C'D'}=\frac{EC}{E'C'}=\frac{DE}{D'E'}$,
∴ △DCE∽△D'C'E',
∴ ∠CED=∠C'E'D'.
∵ DE//BC,
∴ ∠CED+∠ACB=180°.同理,∠C'E'D'+∠A'C'B'=180°,
∴ ∠ACB=∠A'C'B'.又
∵$\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$,
∴ △ABC∽△A'B'C'.